2023~2024學(xué)年陜西5月學(xué)業(yè)質(zhì)量高考數(shù)學(xué)文試題帶解析

2023-2024學(xué)年陜西省5月學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測高考數(shù)學(xué)（文）模擬試題一、單選題1．已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】先根據(jù)不等式的運(yùn)算求解得到，進(jìn)而根據(jù)集合的概念以及運(yùn)算，即可得出答案.【詳解】由可得，，等價于，解得，即，.解可得，或，所以，.對于A項，因為，所以，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，故B項錯誤；對于C項，因為，所以，所以，故C項正確；對于D項，因為，所以，故D項錯誤.故選：C.2．設(shè)復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，根據(jù)實部與虛部互為相反數(shù)列式計算，即得答案.【詳解】，由已知得，解得，故選：D3．如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，.若為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．-3 B． C． D．3【正確答案】C【分析】根據(jù)余弦定理得到，確定為圓的直徑，為等邊三角形，建立坐標(biāo)系，確定點(diǎn)坐標(biāo)，計算向量的數(shù)量積得到答案.【詳解】連接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以為圓的直徑，所以，所以，從而，又，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則，所以.故選：C.4．某市為比較甲?乙兩個旅游景點(diǎn)的經(jīng)營狀況，將這兩個旅游景點(diǎn)2021年12個月的月收入（單位：萬元）繪制成了如下莖葉圖：則（

）

A．甲景點(diǎn)的月收入的中位數(shù)小于乙景點(diǎn)的月收入的中位數(shù)B．甲景點(diǎn)的月收入的平均數(shù)小于乙景點(diǎn)的月收入的平均數(shù)C．甲景點(diǎn)的月收入的極差大于乙景點(diǎn)的月收入的極差D．甲景點(diǎn)的月收入的方差小于乙景點(diǎn)的月收入的方差【正確答案】D【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差的概念與性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】甲景點(diǎn)的月收入的中位數(shù)為，乙景點(diǎn)的月收入的中位數(shù)為，故不正確；甲景點(diǎn)的月收入的平均數(shù)為33，乙景點(diǎn)的月收入的平均數(shù)為33，故不正確；甲景點(diǎn)的月收入的極差為，乙景點(diǎn)的月收入的極差為，故C不正確；觀察莖葉圖可知，甲景點(diǎn)的月收入更集中，乙景點(diǎn)收入較分散，所以甲景點(diǎn)的方差小于乙景點(diǎn)的月收入的方差，D選項正確.故選：D.5．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】C【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，進(jìn)而利用直線的截距即可確定最優(yōu)解，進(jìn)而可求最值.【詳解】

作出可行域如圖中陰影部分所示.聯(lián)立，可得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，截距最大，則.故選：C.6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．4 D．【正確答案】A【分析】由已知可得.點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)已知結(jié)合幾何性質(zhì)，可得.然后在在中，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，.

如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為.由題得，所以.根據(jù)拋物線的定義可知，所以是等邊三角形.因為，所以.在中，.故選：A.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，，那么輸出的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【正確答案】B【分析】根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行計算，求出的值，判斷返回繼續(xù)執(zhí)行，直到滿足條件，執(zhí)行輸出，即可得出答案.【詳解】執(zhí)行第一次循環(huán)，得，，，，；執(zhí)行第二次循環(huán)，得，，，，；執(zhí)行第三次循環(huán)，得，，，，；執(zhí)行第四次循環(huán)，得，，，，；執(zhí)行第五次循環(huán)，得，，，，.因為，所以退出循環(huán)，輸出.故選：B.8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．1 B． C．2 D．【正確答案】B【分析】設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，可推得或.根據(jù)，可推得.分別求解以及，即可得出答案.【詳解】設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，則，所以，所以或.又由題圖知，，則，解得.解可得，不滿足條件；解可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意.所以，，此時.故選：B.9．在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則平面與平面的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合【正確答案】A【分析】結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用線線垂直證明線面垂直，證得平面，可得平面平面.【詳解】設(shè)棱的中點(diǎn)分別為，連接，連接，如圖所示，

正方體中，平面，平面，，正方形中，，，平面，平面，平面，∴，分別為棱的中點(diǎn)，，，∴，同理可證，平面，，∴平面，平面，∴，同理可證，平面，，∴平面，平面，故平面平面.故選：A.10．中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，分析可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求出的值，即可求得的值.【詳解】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，該馬七天所走的里程為，解得.故該馬第五天行走的里程數(shù)為.故選：D.11．已知函數(shù)，在區(qū)間上，若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用輔助角公式化簡兩函數(shù)，再利用整體代換法結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍即可.【詳解】由題意得.令，由，得.因為在區(qū)間上，為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以，解得，所以.故選：A12．已知四邊形是等腰梯形，，梯形的四個頂點(diǎn)在半徑為4的球面上.若是該球面上的任意一點(diǎn)，當(dāng)四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．6【正確答案】C【分析】先求出四邊形的外接圓的直徑，設(shè)球心為，四邊形的外接圓圓心為，在Rt中，由求出，因為四棱錐的底面的面積為定值，所以當(dāng)高最大時體積最大，求解即可.【詳解】因為四邊形是等腰梯形，，過點(diǎn)作，垂足為，則，所以.在中，，所以，即.同理可得.所以四邊形的外接圓的直徑為.設(shè)球心為，四邊形的外接圓圓心為，如圖所示.

在Rt中，，即，解得.又因為四棱錐的底面的面積為定值，所以當(dāng)高最大時體積最大，其高最大為.故選：C.二、填空題13．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則的公差為__________.【正確答案】【分析】設(shè)的公差為，由已知可得出，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)的公差為，由題意得.則，所以.故答案為.14．志愿者在打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)中貢獻(xiàn)了自己的力量，現(xiàn)從3名男性志愿者和2名女性志愿者中，任選3名參加社區(qū)志愿服務(wù)，則既有男性志愿者又有女性志愿者的概率為__________.【正確答案】/0.9【分析】根據(jù)古典概型的概率計算公式，即可求得答案.【詳解】從5名志愿者中任選3人，共有種選法；男性志愿者和女性志愿者都有人入選，分為2男1女和2女1男兩種情況，共有種選法，因而所求的概率，故15．已知拋物線的頂點(diǎn)為，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，則過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【正確答案】（答案不唯一）【分析】由拋物下方程求得P、A、B、C四點(diǎn)坐標(biāo)，任取三點(diǎn)代入圓的一般方程計算并化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】令，則，解得，不妨設(shè)；令0，得，則；拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)所求圓的方程為.當(dāng)圓過三點(diǎn)時，,所以圓的方程為.當(dāng)圓過三點(diǎn)時，,所以圓的方程為.當(dāng)圓過三點(diǎn)時，,所以圓的程為.當(dāng)圓過三點(diǎn)時，,當(dāng)圓過三點(diǎn)方程為.故（答案不唯一）16．已知函數(shù)，，若有2個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】設(shè)，根據(jù)的范圍，討論求得的解析式.根據(jù)解析式得出函數(shù)的性質(zhì)，作出的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象，即可得出答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，.綜上可得，.函數(shù)的定義域為，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)單調(diào)遞增.又，作出的圖象如圖所示

由圖象可知，當(dāng)時，曲線與恒有兩個交點(diǎn)，即有兩個零點(diǎn)，所以的取值范圍是.故答案為.思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的解析式（或?qū)Ш瘮?shù)）得出函數(shù)的性質(zhì)，然后作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可得出參數(shù)的取值范圍.三、解答題17．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合已知可得，再利用余弦定理化簡可得，利用余弦定理計算即可求得答案.（2）對于，利用正弦定理邊化角可得，結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得.因為，所以由余弦定理可得，兩式聯(lián)立，整理得，即.在中，由余弦定理得.（2）證明：因為，由正弦定理可得，因為，所以，則，所以，由，得，即，則，所以.18．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若，，，求三棱錐的體積.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)已知可判定平面，進(jìn)而即可得出證明；（2）連接，根據(jù)已知求出，.根據(jù)勾股定理求得.進(jìn)而即可判定平面.然后根據(jù)錐體的體積公式，即可得出答案.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.又為的中點(diǎn)，所以.又，所以.因為，所以.又因為，平面，平面，所以平面.因為平面，所以.（2）如圖，連接，因為，，所以.因為，所以.在中，，，，所以，所以.又，，平面，平面，所以平面.，所以三棱錐的體積.19．科教興國，科技強(qiáng)國，人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相結(jié)合，借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術(shù)打造的智能化教育平臺，為了解我國人工智能教育發(fā)展?fàn)顩r，通過中國互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺得到我國2016年—2021年人工智能教育市場規(guī)模統(tǒng)計表.如下表所示，若用x表示年份代碼（2016年用1表示，2017年用2表示……依次類推），用y表示市場規(guī)模（單位：億元），年份編號123456年份201620172018201920202021市場規(guī)模億元25435445495416542054(1)根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，計算市場規(guī)模的平均值，及與的樣本相關(guān)系數(shù)，并判斷兩個變量與的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（若，則認(rèn)為相關(guān)性較強(qiáng)；否則沒有較強(qiáng)的相關(guān)性，精確到0.01）；(2)若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，試求關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2023年中國人工智能教育市場規(guī)模（精確到0.1）.附：線性回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，.【正確答案】(1)，，與具有較強(qiáng)的相關(guān)性(2)，2676.9億元【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，即可求得，，，進(jìn)而根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)公式，求出的值，即可得出答案；（2）根據(jù)已知條件可求得，，即可得出線性回歸方程，代入，即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，.又，所以，，則樣本相關(guān)系數(shù).因為樣本相關(guān)系數(shù)，所以與具有較強(qiáng)的相關(guān)性，且正相關(guān).（2）設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為，其中，，所以關(guān)于的線性回歸方程為.把代入得（億元）.故據(jù)此預(yù)測2023年中國人工智能教育市場規(guī)模將達(dá)到約2676.9億元.20．已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若存在零點(diǎn)且零點(diǎn)的絕對值小于2，求a的取值范圍【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系即可求解，（2）分情況討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最值，進(jìn)而可確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，即可根據(jù)不等式求解.【詳解】（1），因為在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時，，，即而當(dāng)時，，則有，所以若在上單調(diào)遞增，a的取值范圍是（2）若，，單調(diào)遞增，且有，由f（x）存在零點(diǎn)且零點(diǎn)的絕對值小于2，可知存在唯一零點(diǎn)由，則，.若，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.則取極小值，即，又，則，，又，，且當(dāng)趨向于正無窮時,趨向于正無窮，故此時存在兩個零點(diǎn)，分別設(shè)為，又，則，由題意，則有，即，故，綜上，a的取值范圍是.本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值,零點(diǎn)以及不等式恒成立問題．函數(shù)零點(diǎn)問題常見方法：①分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值.②數(shù)形結(jié)合(圖象與圖象的交點(diǎn))；③討論參數(shù).21．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)，.直線（不經(jīng)過點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)，，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且在直線上.(1)求的方程；(2)證明：直線過定點(diǎn)，且存在另一個定點(diǎn)，使為定值.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得出方程組，求解即可得出答案；（2）設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)關(guān)系，得出的方程為.令，整理可得，即可得出定點(diǎn).進(jìn)而由已知可推得，即可得出的軌跡，得出答案.【詳解】（1）設(shè)的方程為，則，解得，所以的方程為.（2）

由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)，，則，.聯(lián)立，消去，得，則，且，.所以，所以的方程為.令，則，所以直線恒過定點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn).又因為，在上，所以，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，從而的中點(diǎn)，使為定值.思路點(diǎn)睛：設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立得出方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系.進(jìn)而整理化簡，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與有公共點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)，(2).【分析】（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程與直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可；（2）寫出曲線的三角參數(shù)方程，與直線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，通過求三角函數(shù)的值域即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，且所以的普通方程為.因為所以的直