2023~2024學(xué)年上海高考數(shù)學(xué)試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年上海市高考數(shù)學(xué)模擬試題（一模）一、填空題（1-4每題4分，5-6每題5分，共26分）1.已知集合，，則______.【正確答案】【分析】先求函數(shù)的值域，即可化簡集合，再求函數(shù)的定義域，即可化簡集合，最后由集合的交集運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的值域，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以為函?shù)的定義域，由得，即，所以，所以.故2.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則______.【正確答案】分析】化簡復(fù)數(shù)z，再求出，進(jìn)而求出.【詳解】∵，∴，∴故答案為.3.已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影為______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的投影公式，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以在方向上的?shù)量投影為.故答案為.4.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【正確答案】【分析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，轉(zhuǎn)化為不等式在R上恒成立，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，即不等式在R上恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)與，不符合題意；則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中把函數(shù)的定義域?yàn)镽，轉(zhuǎn)化為不等式在R上恒成立，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及分析問題和解答問題的能力.5.等差數(shù)列中，，則的值是______.【正確答案】【分析】先由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡得到，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式把化為即可求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，所以.所以.故6.過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長為______.【正確答案】【分析】寫出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用定義和焦點(diǎn)弦長公式，計(jì)算即可得到.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線的傾斜角為，設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則直線的方程為，代入得，則，，，，，則，故二、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共50分）7.設(shè)，，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】解分式不等式得，由是的充分條件等價(jià)于包含，根據(jù)包含關(guān)系列不等式求解即可【詳解】，解得或，由是的充分條件，則有.故選：C8.函數(shù)的奇偶性為（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.非奇非偶函數(shù) D.既奇又偶函數(shù)【正確答案】C【分析】求出的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷為非奇非偶函數(shù).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù).故選：C.9.已知事件A與事件B是互斥事件，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、必然事件的概念可得答案.【詳解】因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，則不一定是互斥事件，所以不一定為0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，所以，則，而不一定為0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，不一定是對(duì)立事件，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，是必然事件，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：D.10.甲，乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑捉M：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83乙組：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲組學(xué)生”記為事件A；“抽出的學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績不低于85分”記為事件B，則的值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用條件概率公式求解即可得到答案.【詳解】由題意知，，表示20人隨機(jī)抽取一人，既是甲組又是數(shù)學(xué)測(cè)試成績不低于85分概率，，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式得.故選：A11.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn).則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.平面平面ABNC.直線GB與AM是異面直線 D.直線GB與平面AMD無公共點(diǎn)【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，證明判斷A；利用線面、面面平行的判定推理判斷B；取DM中點(diǎn)O，證得四邊形是梯形判斷CD作答.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，取中點(diǎn)，連接，如圖，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn)，則，且，于是四邊形是平行四邊形，，在正方形中，，則，因此四邊形為平行四邊形，，而，點(diǎn)G為MC的中點(diǎn)，有，所以，A正確；因?yàn)?，平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，而平面，所以平面平面ABN，B正確；取DM中點(diǎn)O，連接，則有，即四邊形為梯形，因此直線必相交，而平面AMD，于是直線GB與平面AMD有公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤；顯然點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，直線平面，點(diǎn)直線，所以直線GB與AM是異面直線，C正確.故選：D結(jié)論點(diǎn)睛：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)和外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.12.數(shù)列的前項(xiàng)和，，關(guān)于數(shù)列有以下命題：①一定是等比數(shù)列，但不可能是等差數(shù)列；②一定是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列；③可能是等比數(shù)列，也可能是等差數(shù)列；④可能既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列；⑤可能既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】分，，且三種情況討論，由求出，根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征可作出判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，且，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.由以上分析知，正確的說法為③④．故選：B.本題考查數(shù)列通項(xiàng)與的關(guān)系及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確把握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式特征是解決問題的關(guān)鍵．13.已知參數(shù)方程，，則下列曲線方程符合該方程的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用特殊值法即可選出答案.【詳解】令得，將其分別代入得，所以該方程所表示的曲線恒過點(diǎn)，顯然只有B項(xiàng)滿足.故選：B.14.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，則m的最小值為A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先求，再由存在唯一確定的，使得，得，從而得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，所以.在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，所以存在唯一確定的，使得.，所以.故選B.本題主要考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了函數(shù)與方程的思想，正確理解兩變量的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.15.若曲線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先分析出表示起點(diǎn)為的兩條斜率分別為1和-1的射線.若曲線為橢圓，只需點(diǎn)落在橢圓內(nèi)，列不等式求出的范圍；若當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，只需把表示的射線與漸近線比較，列不等式求出的范圍.【詳解】如圖示：表示起點(diǎn)為的兩條斜率分別為1和-1的射線.當(dāng)曲線為橢圓時(shí)，即，只需點(diǎn)落在橢圓內(nèi)，即，解得：；當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，即，漸近線方程：要使曲線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C16.已知定義在R上的函數(shù)滿足如下條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②對(duì)于任意，；③當(dāng)時(shí)，；④．若過點(diǎn)的直線l與函數(shù)的圖象在上恰有8個(gè)交點(diǎn)，則直線l斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.【正確答案】A【分析】結(jié)合①②可知是周期為2的函數(shù)，再結(jié)合④可知是周期為的函數(shù)，結(jié)合③作出在上的圖像，然后利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，即，又因?yàn)閷?duì)于任意，，所以，從而，即是周期為2的函數(shù)，因?yàn)?，則圖像是的圖像的橫坐標(biāo)縮短為原來的得到，故也是偶函數(shù)，且周期為，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，可作出在的圖像以及直線的圖像，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，易知，即，則直線的斜率，過點(diǎn)的直線l與函數(shù)的圖象在上恰有8個(gè)交點(diǎn)，則只需，即直線l斜率k的取值范圍是.故選：A.三、解答題（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分）17.已知橢圓的離心率為，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為2.（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且與x軸，y軸交于M，N兩點(diǎn).①若，求k的值；②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求證：為定值.【正確答案】（1）（2）①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積即可求出，則橢圓方程可得；（2）①根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出；②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出．【小問1詳解】，，代入得.又橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2，即，即，以上各式聯(lián)立解得，則橢圓方程為.【小問2詳解】①直線與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，聯(lián)立消去得:，設(shè)，則解得:.由得;②證明：由①知，為定值.方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．（卷二）一、填空題（每題5分，共20分）18.已知圓，直線（不同時(shí)為0），當(dāng)變化時(shí)，圓被直線l截得的弦長的最小值為___________.【正確答案】【分析】由題意知直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)圓心到直線距離取最大值時(shí)，此時(shí)圓被直線l截得的弦長為最小值，即可求出答案.【詳解】把直線化為，恒過定點(diǎn)，當(dāng)圓被直線l截得的弦長的最小值時(shí)，圓心到定點(diǎn)的距離為，圓心到直線距離最大值時(shí)即為，此時(shí)直線弦長為最小值.故答案為.19.若隨機(jī)變量，，若，，則______．【正確答案】【分析】解不等式1﹣（1﹣p）3＝0.657得到p＝0.3，再利用正態(tài)分布求解.【詳解】解：∵P（X≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p）3＝0.657，即（1﹣p）3＝0.343，解得p＝0.3，∴P（0＜Y＜2）＝p＝0.3，∴P（Y＞4）＝＝．故0.2．20.已知在R上的減函數(shù)，若不等式成立，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______.【正確答案】【分析】由對(duì)稱性得函數(shù)是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義及單調(diào)性化簡不等式為具體的不等式，變形為兩個(gè)不等式組，在平面直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)不等式組表示的平面區(qū)域在直線和之間的部分，表示這部分的點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率，由圖可得其取值范圍．【詳解】∵函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即是奇函數(shù)，不等式可化為，又是上的減函數(shù)，∴，即或，作出這兩個(gè)不等式組表示的平面區(qū)域在直線和之間的部分，如圖陰影部分（含邊界），表示陰影部分的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，與分別代入，可得，，，，∴．故．21.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且是6和的等差中項(xiàng)，若對(duì)任意的，都有，則的最小值為________．【正確答案】【分析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得取值范圍，即得取值范圍，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭?和的等差中項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，因此因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以故本題考查根據(jù)和項(xiàng)求通項(xiàng)、等比數(shù)列定義、等比數(shù)列求和公式、利用函數(shù)單調(diào)性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.二、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共10分）22.在正四面體中，點(diǎn)為所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【正確答案】B【分析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進(jìn)一步計(jì)算與平面所成角為，即時(shí)，軌跡為拋物線，時(shí)，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.23.若在曲線上，若存在過的直線交曲線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，滿足或，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（）A.曲線上所有點(diǎn)都是點(diǎn)B.曲線上僅有有限多個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)C.曲線上所有點(diǎn)都不是點(diǎn)D.曲線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是全部）是點(diǎn)【正確答案】D【分析】設(shè)出,利用相似三角形求得和的關(guān)系,設(shè)出的方程與橢圓方程聯(lián)立求得的表達(dá)式,利用判別式大于0求得和的不等式關(guān)系,最后聯(lián)立①②③求得的范圍,進(jìn)而通過時(shí),,故此時(shí)不存在點(diǎn),進(jìn)而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍,判斷出題設(shè)的選項(xiàng).【詳解】解：由題意，、的位置關(guān)系對(duì)稱，于是不妨設(shè)此時(shí).由相似三角形，即:①設(shè)，與橢圓聯(lián)立方程組，消得解得②，③聯(lián)立①②③，得，而，即，即1，而當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)不存在點(diǎn)又因?yàn)榈奈恢每梢院突Q（互換后即，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值為.故選:D.本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系問題.解題的關(guān)鍵是求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍.屬于較難題.三、多項(xiàng)選擇題（每題6分，共12分）24.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到的半正多面體的表面積為，則關(guān)于該半正多面體的下列說法中正確的是（）A.與AB所成的角是60°的棱共有8條B.AB與平面BCD所成的角為30°C.二面角的余弦值為D.經(jīng)過A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)的球面面積為【正確答案】CD【分析】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體.對(duì)于A選項(xiàng)，由正三角形可得60°角，再利用平行關(guān)系得結(jié)果；B選項(xiàng)，利用正方體找出線面角為∠ABE=45°；C選項(xiàng)，先作出二面角的補(bǔ)角∠AFE，在△AEF中，求出即可得結(jié)果；D選項(xiàng)，由半正多面體的對(duì)稱中心與相應(yīng)的正方體的對(duì)稱中心為同一點(diǎn)，構(gòu)造三角形，求出球的半徑，最后求得經(jīng)過A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)的球面面積.【詳解】補(bǔ)全該半正多面體得到一正方體，設(shè)正方體的棱長為a.由題意，該半正多面體是由6個(gè)全等的正方形與8個(gè)全等的正三角形構(gòu)成，由半正多面體的表面積為，可得，解得a=1.對(duì)于A，在與AB相交的6條棱中，與AB成60°角的棱有4條，這4條棱中，每一條都有3條平行的棱，故與AB所成的角是60°的棱共有16條，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)锳E⊥平面BCD，所以AB與平面BCD所成角為∠ABE=45°，故B不正確；對(duì)于C，取BC中點(diǎn)F，連接EF，AF，則有AF⊥BC，EF⊥BC，故二面角A-BC-D的補(bǔ)角為∠AFE.二面角A-BC-D的余弦值為-cos∠AFE，在Rt△AEF中，，∴，，，故C正確;對(duì)于D，由半正多面體的對(duì)稱中心與相應(yīng)的正方體的對(duì)稱中心為同一點(diǎn)，即為正方體對(duì)角線的中點(diǎn)O，點(diǎn)O在平面ABE的投影為投影點(diǎn)O1，則有，∴，故經(jīng)過A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)的球面的半徑為面積為，故D正確.故選：CD立體幾何中補(bǔ)形是一種常用的方法：(1)一個(gè)不規(guī)則幾何體是由規(guī)則幾何體經(jīng)過截取得到的，通?？梢杂醚a(bǔ)形，還原為規(guī)則幾何體，如正方體，長方體等；(2)通?？梢杂脕砬螈袤w積（距離），②與外接球（內(nèi)切球）相關(guān)的問題.25.在棱長為1的正方體中，已知點(diǎn)P為側(cè)面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)P總保持，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條線段；B.若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一段圓?。籆.若P到直線與直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一段拋物線；D.若P到直線與直線的距離比為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一段雙曲線.【正確答案】ABD【分析】由平面且平面平面，即可判斷A；根據(jù)球的性質(zhì)及與正方體的截面性質(zhì)即可判斷B；作，，連接，作.建立空間直角坐標(biāo)系，由即可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，即可判斷C；根據(jù)題意，由距離比即可求得軌跡方程，進(jìn)而判斷D.【詳解】對(duì)于A，，且，所以平面，平面平面，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段，所以A正確；對(duì)于B，點(diǎn)P的軌跡為以A為球心、半徑為的球面與面的交線，即為一段圓弧，所以B正確；對(duì)于C，作，，連接；作.由，在面內(nèi)，以C為原點(diǎn)、以直線、、為x，y，z軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)，則，化簡得，P點(diǎn)軌跡所在曲線是一段雙曲線，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由題意可知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到直線的距離之比為，結(jié)合C中所建立空間直