2023~2024學(xué)年上海靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺試題5月帶解析

2023-2024學(xué)年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（5月）一?填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，則_________．【正確答案】分析】解分式不等式得到集合，求交集即可.【詳解】對(duì)于集合，解不等式，所以，即，等價(jià)于，解得或，所以，，則.故答案為.2.若復(fù)數(shù)滿足，則________．【正確答案】【分析】設(shè)，，依題意可得，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程，即可求出、的值，從而求出其模.【詳解】設(shè)，，由，所以，即，所以，所以，所以，則.故3.某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出8名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖所示，其中甲班學(xué)生成績的平均分是86，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，則的值為_______．【正確答案】13【分析】根據(jù)平均數(shù)的算法，可得，將乙班的學(xué)生成績按從小到大的順序排好序，以及中位數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】觀察莖葉圖，甲班學(xué)生成績的平均分是，故；乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是，故.∴．故13本題主要根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)與平均數(shù)，屬基礎(chǔ)題.4.已知若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實(shí)數(shù)_______．【正確答案】3【分析】根據(jù)數(shù)量投影公式，代入求值.【詳解】由條件可知，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，解得.故35.已知等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則______．【正確答案】4【分析】由已知可得，觀察所求分式即可得．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，所以，且，所以，解得或，為保證有意義，則，所以，所以．故4．6.（n為正整數(shù)）的二項(xiàng)展開式中，若第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．【正確答案】20【分析】根據(jù)第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，建立方程求出，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等，，得，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故20．7.已知，則的最小值為___________.【正確答案】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，則的最小值為.故答案為.8.已知是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖象，得到，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時(shí)，的最小值，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，又由曲線，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得，要使得取得最小值，只需使得點(diǎn)與重合，此時(shí)與重合，即，當(dāng)且僅當(dāng)在一條直線上時(shí)，所以的最小值為.故答案為.9.若關(guān)于x的不等式的解集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)換為對(duì)任意的，都有不等式恒成立，則按照絕對(duì)值不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】關(guān)于x的不等式的解集，則對(duì)任意的，都有不等式恒成立此時(shí)，故原不等式化為，故，則對(duì)任意的成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.10.已知平面向量滿足，則的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】不妨設(shè)，則，得到，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式，即可求解.【詳解】不妨設(shè)，則，由，可得，則，所以的取值范圍是.故答案為.11.已知函數(shù)點(diǎn)M?N是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是_________．【正確答案】【分析】根據(jù)給定的條件，求出過原點(diǎn)與曲線相切的切線斜率，曲線的漸近線，再確定的范圍，進(jìn)而求出的范圍作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得，于是函數(shù)的圖象是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線在第二象限的部分，是其漸近線，如圖，令過原點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，則，整理得，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則的解為，即過原點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，切線方程為，設(shè)其傾斜角為，有，因?yàn)辄c(diǎn)M、N是函數(shù)圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則，而正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，又，所以的取值范圍是.故12.若存在實(shí)數(shù)及正整數(shù)，使得在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則所有滿足條件的正整數(shù)的值共有_________個(gè)．【正確答案】【分析】利用換元思想將問題轉(zhuǎn)化為方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定有兩個(gè)異號(hào)的根，根據(jù)方程與函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行討論分析.【詳解】由題意知，，令，，此時(shí)，而，，，則上述方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一定有兩個(gè)異號(hào)的根，當(dāng)時(shí)，，一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則或；當(dāng)時(shí)，，一個(gè)周期內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，則需要個(gè)周期，即；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得，若，此時(shí)，則一個(gè)周期內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，則需要個(gè)周期，即；若，此時(shí)，，則一個(gè)周期內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，則需要個(gè)周期，即；若，此時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則或.綜上所述，這樣的正整數(shù)有個(gè)，分別是.故關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用分類討論思想進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二?選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】利用兩直線平行求出實(shí)數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若直線與直線平行，則且，因?yàn)椤啊薄扒摇?，但“”“且”，因此，“”是“直線與直線平行”的必要不充分條件.故選：B.14.從2，3，4，5，6，7，8，9中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)比m大的概率為，若m為上述數(shù)據(jù)中的第x百分位數(shù)，則x的取值可能為（）A.50 B.60 C.70 D.80【正確答案】C【分析】先求出，再結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解．【詳解】從2，3，4，5，6，7，8，9中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)比大的概率為，則，為數(shù)據(jù)2，3，4，5，6，7，8，9的第6個(gè)數(shù)，為上述數(shù)據(jù)中的第百分位數(shù)，，則的取值可能為70．故選：C．15.已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長為，高為1，P?Q為底面圓周上任意兩點(diǎn)．有以下三個(gè)結(jié)論：①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐體積的最大值為；③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為．以上所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】B【分析】首先確定的最大值，再結(jié)合三角形面積公式，即可判斷①；利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化，再集合三角形面積公式，即可判斷②；首先表示四面體SOPQ外接球的半徑，再判斷有無最值.【詳解】①如圖，由條件可知，，點(diǎn)是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，，所以是鈍角，，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值是，故①錯(cuò)誤；②，，當(dāng)時(shí)，的最大值是，所有三棱錐的最大值是，故②正確；③設(shè)外接圓的半徑為，四面體SOPQ外接球的半徑，中，根據(jù)正弦定理可得，，得，，所以，則外接球的半徑也無最小值，所以四面體SOPQ外接球表面積無最小值，故③錯(cuò)誤.故選：B16.設(shè)是兩個(gè)非零向量的夾角，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，的最小值為1．命題p：若確定，則唯一確定；命題q：若確定，則唯一確定．下列說法正確的是（）A.命題p是真命題，命題q是假命題B.命題p假命題，命題q是真命題C.命題p和命題q都是真命題D.命題p和命題q都假命題【正確答案】B【分析】由向量的最小值為1，分析可得，然后判斷命題真假即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值.所以，化簡得所以若確定，則唯一確定，若確定，則不唯一.所以命題p為假命題，命題q為真命題.故選：B.三?解答題（本大題共5題，滿分78分）17.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，半徑為2，母線SA?SB的長為，且M為線段AB的中點(diǎn)．（1）證明：平面SOM平面SAB；（2）求直線SM與平面SOA所成角的大?。菊_答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明線面垂直再由面面垂直判定定理證明即可；（2）由線面角定義求線面角求正切再求角即可【小問1詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈酌?，所?平面，平面，,所以平面，所以即是直線與平面所成角．因?yàn)閳A錐的底面半徑為2，母線長為，所以高，得．因?yàn)?，所以，所以?8.全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重舉行．為做好考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；（2）在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績在[80，90)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；【正確答案】（1），中位數(shù)；（2）分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積為1，結(jié)合中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合古典概型公式、數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，，解得，設(shè)中位數(shù)為，解得；【小問2詳解】的三組頻率之比為0.28：0.12：0.04=7：3：1從中分別抽取7人，3人，1人，所有可能取值為0，1，2，3，，，，故的分布列為：0123故19.若數(shù)列滿足（n為正整數(shù)，p為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，p為公方差．（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明理由；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，求正整數(shù)m的值；（3）在（1）?（2）的條件下，若在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．【正確答案】（1）數(shù)列為等方差數(shù)列，數(shù)列不是等方差數(shù)列，理由見解析；（2）40（3）11522【分析】（1）根據(jù)等方差數(shù)列的定義，即可判斷；（2）首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式，即可求解；（3）首先確定的取值，再根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋ǔ?shù)），所以數(shù)列為等方差數(shù)列，1為公方差；因?yàn)?，所以?shù)列不是等方差數(shù)列．【小問2詳解】由題意得，，顯然，解得．【小問3詳解】由題意得：新數(shù)列中，（含）前共有：項(xiàng)，由，得，所以新數(shù)列中的前50項(xiàng)含有數(shù)列的前9項(xiàng)，含有數(shù)列的前41項(xiàng)，即20.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，短軸長為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，A，B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線AB的斜率為①求四邊形APBQ的面積的最大值②設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.【正確答案】（1）；（2）①，②是常數(shù)，理由見解析．【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題可得，再結(jié)合，即可求得,從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，整理得：，四邊形的面，而易求，代入韋達(dá)定理即可求得的表達(dá)式，從而求得的最大值；②直線的斜率，直線的斜率，代入韋達(dá)定理化簡整理可得的值為常數(shù)．【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為．由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①由（1）可求得點(diǎn)、的坐標(biāo)為，，則，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，整理得：，由，可得.由韋達(dá)定理知：，，四邊形的面積，故當(dāng)時(shí)，；②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，則.所以的值為常數(shù)．方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，及橢圓中最值，定值問題,圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略：(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．21.已知函數(shù)（?）．（1）當(dāng)a=2，b=0時(shí)，求函數(shù)圖象過點(diǎn)的切線方程；（2）當(dāng)b=1時(shí)，既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)，b=1時(shí)，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點(diǎn)的切線方程即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值求參數(shù)的取值范圍即可.（3）利用導(dǎo)數(shù)分析的極值，從而求得恒成立求參數(shù)k的取值范圍，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)分類討論求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以切線方程為，即為．小問2詳解】，一方面，因?yàn)楹瘮?shù)既存在極大值，又存在極小值，則必有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，由可得，且，解得且；另一方面，