2023~2024學年上海徐匯區(qū)高考數(shù)學沖刺試題5月帶解析

2023-2024學年上海市徐匯區(qū)高考數(shù)學沖刺模擬試題（5月）一、填空題1．集合，，則______．【正確答案】【分析】直接計算交集得到答案.【詳解】，，則.故答案為.2．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則________.【正確答案】1【分析】利用復數(shù)的四則運算求出，再求其模．【詳解】因為，所以，則.故1.本題考查復數(shù)的四則運算，考查復數(shù)模的運算，屬于基礎題．3．函數(shù)的最小正周期為______．【正確答案】/【分析】直接根據(jù)周期公式計算得到答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期為.故答案為.4．的展開式中的常數(shù)項為______．【正確答案】70【分析】利用二項展開式的通項即可求得結果.【詳解】的展開式的通項為，令得，，故常數(shù)項為，故70.5．已知，且，則的最大值為________.【正確答案】【分析】由題意結合均值不等式即可求得xy的最大值.【詳解】由均值不等式可得：，求解不等式可得：，當且僅當時等號成立.即的最大值為.故答案為．本題主要考查基本不等式的應用，由基本不等式求最大值的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6．拋物線的準線方程為__________．【正確答案】【分析】拋物線的標準形式為∴拋物線的準線方程為故答案為:7．首項為1，公比為的無窮等比數(shù)列的各項和為______．【正確答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】由由等比數(shù)列前項和公式可得，當趨于無窮大的時候，的各項和為.故8．已知某圓錐體的底面半徑，沿圓錐體的母線把側面展開后得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐體的表面積是______．【正確答案】【詳解】試題分析：由已知沿圓錐體的母線把側面展開后得到的扇形的弧長為，從而其母線長為，從而圓錐體的表面積為；故答案為圓錐體的表面積．9．已知兩個隨機變量X、Y，其中，，若，且，則______．【正確答案】/【分析】確定得到，確定，再根據(jù)得到答案.【詳解】，則，，故，，，故，.故答案為.10．已知甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和4個紅球．若先隨機取一只袋，再從該袋中先后隨機取2個球，則在第一次取出的球是紅球的前提下，第二次取出的球是白球的概率為______．【正確答案】【分析】設出事件，根據(jù)全概率公式得到，，再利用條件概率公式計算得到答案.【詳解】設第一次取出紅球的事件為，第二次取出的球是白球的事件為，取到甲袋，乙袋的事件分別為，，則，，則.故答案為.11．函數(shù)，的值城為______．【正確答案】【分析】確定，確定，利用二項式定理展開，確定函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，計算得到值域.【詳解】，設，，為偶函數(shù)，不妨取，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，，故函數(shù)值域為.故答案為.12．已知平面向量，，，滿足，，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】建立直角坐標系，在直線，上，取，，根據(jù)向量的運算確定的軌跡，確定圓心和半徑，結合點到直線的距離得到范圍.【詳解】如圖所示的平面直角坐標系中，設，，，不妨取在第一象限，則在直線，上，，，取，，則，，故，故在如圖所示的關于軸對稱的兩段圓弧上，取在第一象限，則，，故，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，，的最小值為，故答案為.本題考查了軌跡方程，向量的運算，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中建立坐標系，確定的軌跡，將題目轉化為圓上的點到直線的距離是解題的關鍵.二、單選題13．若,則下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】∵∴設代入可知均不正確對于，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷正確故選D14．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是

A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】A在定義域內(nèi)不是增函數(shù);B不是奇函數(shù);C滿足要求；D是偶函數(shù)．15．設是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)嚴格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”必要條件；對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項和負項，，即，或，即，當時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，當時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”充分條件故選：C16．已知定義在上的可導函數(shù)，對任意的實數(shù)，都有，且當時，恒成立，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題意可得，令，根據(jù)奇偶性的定義，可得為偶函數(shù)，利用導數(shù)可得的單調(diào)性，將題干條件化簡可得，即，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，計算求解，即可得答案.【詳解】由，得，記，則有，即為偶函數(shù)，又當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，即，所以，即，解得，故選：A.三、解答題17．直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，是側棱上一點，設．(1)若，求的值；(2)若，求直線與平面所成的角．【正確答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）以為坐標原點，以射線、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，求出，，利用，求出的值；（2）求出直線的方向向量與平面的法向量，求出向量的夾角的余弦值可得結果.試題解析：（1）以為坐標原點，以射線、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則,，，

，

由得，即解得．

(2)解法一：此時設平面的一個法向量為由得

所以

設直線與平面所成的角為則

所以直線與平面所成的角為

解法二：聯(lián)結，則，，平面

平面所以是直線與平面所成的角；在中，

所以

所以所以直線與平面所成的角為點睛：本題主要考查了空間向量在立體幾何中的應用之利用空間向量的數(shù)量積證明垂直關系，利用空間向量求直線與平面所成的角角；兩直線垂直等價于直線的方向向量互相垂直即數(shù)量積為0，直線與平面所成的角與直線的方向向量與平面的法向量之間所成的角相加為或相減為，且滿足.18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若的面積，求a+c值；（2）若2cosC（+）=c2，求角C．【正確答案】（1）5（2）【分析】（1）由已知利用三角形面積公式可求ac=6，結合余弦定理可求a+c的值．（2）利用平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可求cosC=，結合范圍C∈（0，π），可求C的值．【詳解】解：（1）∵的面積，∴=acsinB=ac，可得：ac=6，∵由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-18，解得：a+c=5．（2）∵2cosC（+）=c2，∴2cosC（accosB+bccosA）=c2，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即2cosCsinC=sinC，∵sinC≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴C=．本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，平面向量數(shù)量積的運算，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．19．疫苗在上市前必須經(jīng)過嚴格的檢測，并通過臨床實驗獲得相關數(shù)據(jù)，以保證疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：未感染病毒感染病毒總計未注射疫苗40px注射疫苗60qy總計100100200現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為．(1)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)p，q，x，y的值；(2)是否有95%的把握認為注射此種疫苗有效？說明理由；(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取10只進行病例分析，然后從這10只小白鼠中隨機抽取4只對注射疫苗情況進行核實，記X為4只中未注射疫苗的小白鼠的只數(shù)，求X的分布與期望．附：，其中．0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【正確答案】(1)60,40,100,100；(2)有95%的把握認為注射此種疫苗有效，理由見解析；(3)分布列見解析，.【分析】（1）由統(tǒng)計表列出方程，即可求值；（2）利用列聯(lián)表求出的值，對照臨界值得出結論；（3）寫出X的取值，分別求出相應的概率，進而列出分布列，利用數(shù)學期望公式求出.【詳解】（1）因為從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為，所以，解得，則，，；（2）零假設為：注射此種疫苗無效，由，解得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有95%的把握認為注射此種疫苗有效；（3）因為在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例為，所以抽取的10只小白鼠中，未注射疫苗的有6只，注射疫苗的有4只，由題意X的取值為0，1，2，3，4，，，，X的分布列為X01234P.20．已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設點是橢圓C上一點，求證：過點P的橢圓C的切線方程為；(3)若點M為直線l：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA，MB，切點分別為，求△的面積的最小值．【正確答案】(1)(2)詳見解析；(3)【分析】（1）利用橢圓離心率定義即可求得該橢圓的離心率；（2）利用直線與橢圓位置關系即可求得過點P的橢圓C的切線方程，進而證得結論成立；（3）先求得直線的方程，求得弦的長度，進而求得△的面積表達式，進而求得△的面積的最小值．【詳解】（1）橢圓中，，則，則，則橢圓的離心率為（2）當切線斜率存在時，其方程可設為，由，整理得，則，則此時方程的根為，則切點橫坐標，切點縱坐標，則，，則切線方程為，整理得；當切線斜率不存在時，其切點為或，切線方程為，滿足.綜上，點是橢圓C上一點時，過點P的橢圓C的切線方程為（3）設，，則橢圓C在點的切線方程分別為，，又在兩條切線上，則，，則直線的方程為，即由整理得，，則，則，又點M到直線的距離，則△的面積為令，則，，則，令，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，則當且僅當即點M坐標為時等號成立，則△的面積的最小值為.

21．設函數(shù)，．(1)記，，，．證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設．若對任意均有成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數(shù)使得對任意，，都有成立?若存在，求的最小可能值；若不存在，說明理由．【正確答案】(1)證明見詳解；(2)；(3).【分析】（1）對條件兩邊取倒數(shù)后即可得證；（2）構造函數(shù)，，則問題轉化為恒成立，又，故判斷在單調(diào)性即可求出m的最大值;（3）首先證明，令分別取得，要使存在正整數(shù)使得對任意，，都有成立，只需，從而求出的最小可能值.【詳解】（1）由題，，兩邊取倒數(shù)得，