2025屆貴州省安順市高三下學期3月聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1貴州省安順市2025屆高三下學期3月聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C2.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復數，在復平面內對應的點為，位于第四象限.故選：D.3.已知，角的終邊過點，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因為角的終邊過點，所以，所以.故選：B.4.若拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.2 B.4 C. D.12【答案】B【解析】由題意得，拋物線的焦點坐標為，∴焦點到直線的距離，解得或（舍去），∴.故選：B.5.已知，是夾角為的兩個單位向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，向量在向量上的投影向量為，∵，是夾角為的兩個單位向量，∴，∴向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.已知直線與曲線相切，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】設切點坐標為.∵，∴，則，由②得，，代入①得，，整理得，解得，故.故選：A7.曲線與直線的交點個數為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】，，，作出與的大致圖象，易知共有3個交點.故選：A.8.已知A，B是球O的球面上兩點，且，C是該球面上的動點，D是該球面與平面交線上的動點，若四面體體積的最大值為，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設球的半徑為，記的中點為，則，易知，當點在的延長線上，且棱錐的高等于求的半徑時，棱錐體積最大.因為，所以，.當點在的延長線上時，的面積最大，為，四面體體積的最大值為，解得，從而球的體積為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現有一組樣本數據，則這組數據的（）A.眾數為6 B.平均數為7.6C.中位數為6.5 D.第72百分位數為10【答案】AD【解析】將數據按從小到大的順序排列為，出現次數最多的數為6，故A正確；平均數為，故B錯誤；中位數為，故C錯誤；∵，∴第72百分位數為從小到大排列的第8個數，即為10，故D正確.故選：AD.10.已知函數，則（）A.是奇函數 B.C.在上單調遞減 D.在上單調遞增【答案】ACD【解析】要使得函數有意義，則，解得且，所以的定義域關于原點對稱，且，從而是奇函數，A正確；，B錯誤；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞減，C正確；當時，，在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.11.記為等比數列的前項和，若，，則__________.【答案】【解析】設等比數列的公比為，則，所以，所以.故答案為：12.已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，是圓上一點，則的最小值為__________.【答案】【解析】設雙曲線的左焦點為，連接，.由題知，長軸長，由雙曲線定義知，，則，當P，D，三點共線時，取得最小值，且最小值為.故答案為：13.若關于的方程恰有一個實數解，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，作出的圖象，如圖所示.由圖可知，當時，只需當時，直線的圖象恒在圖象的下方，此時令直線為曲線的切線，函數在時的解析式為，則，所以，則的取值范圍為；當時，顯然符合題意；當時，只需當時，直線的圖象恒在圖象的上方，此時令直線為曲線的切線，函數在時的解析式為，則，所以，則的取值范圍為.綜上，實數的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.14.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面積.解：（1）由，可得.由余弦定理可知，所以，又，所以.（2）由，可知.由正弦定理可知，所以，因，所以，又，所以，則.又，所以的面積為.15.如圖，在三棱柱中，，平面平面.（1）證明：.（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）由（1）得平面，∵平面，∴，∵，，∴.以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，.設平面的法向量為，則，令，則，故.設直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.16.為了解某地小學生對中國古代四大名著內容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個經典故事，進行尋找經典故事出處的答題游戲（不同的經典故事不能搭配同一本名著）.規(guī)定：每答對1個經典故事的出處，可獲得10分.（1）小王同學的答題情況如圖所示，①求小王同學的得分；②老師指出了小王同學答錯的試題，并要求他重新作答錯誤試題，求小王同學避開此次錯誤答案后隨機作答并全部答對的概率（2）小李同學將這4個經典故事與四大名著隨機地搭配進行答題，記他的得分為X，求X的分布列與期望.解：（1）①由圖可知，小王同學答對1道試題，故他的得分為10分.②經過老師的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”對應的出處錯誤，針對錯誤試題進行分析后，給出的答案可能為{（草船借箭，三國演義），（黛玉葬花，紅樓夢），（武松打虎，水滸傳）}，{（草船借箭，水滸傳），（黛玉葬花，三國演義），（武松打虎，紅樓夢）}，共2種情況，其中錯誤試題全部答對的情況為{（草船借箭，三國演義），（黛玉葬花，紅樓夢），（武松打虎，水滸傳）}，故所求的概率為.（2）由題可知，的所有取值可能為0，10，20，40.，，，\\.X的分布列為：X0102040P故.17.已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓C的方程.（2）已知O為坐標原點，直線與相交于M，N兩個不同點.①求k的取值范圍；②若，求的面積.解：（1）由已知得.因為，所以，解得，，故橢圓的方程為.（2）①將代入，得，則，解得或，故的取值范圍為.②設，，由（1）可知，.因，所以.又，所以，所以或.易知直線與軸交于點，所以.當時，；當時，.故的面積為或.18.已知是定義在上的函數，若對任意，恒成立，則稱為上的非負函數.（1）判斷是否為上的非負函數，并說明理由.（2）已知為正整數，為上的非負函數，記的最大值為，證明：為等差數列.（3）已知且，函數，若為上的非負函數，證明：.解：（1）是上的非負函數.理由如下：因為，，所以.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，故是上的非負函數.（2）由，，得.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則因為為上的非負函數，所以，解得，則.因為，所以為等差數列.（3）由，，得.因為且，所以由得，，解得，由得，，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故.由為上的非負函數，得，則，.令，，則在上恒成立，故在上單調遞增，則，從而在上恒成立.令，得，則，從而在上恒成立，故，當且僅當時，等號成立，所以.貴州省安順市2025屆高三下學期3月聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C2.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復數，在復平面內對應的點為，位于第四象限.故選：D.3.已知，角的終邊過點，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因為角的終邊過點，所以，所以.故選：B.4.若拋物線的焦點到直線的距離為，則（）A.2 B.4 C. D.12【答案】B【解析】由題意得，拋物線的焦點坐標為，∴焦點到直線的距離，解得或（舍去），∴.故選：B.5.已知，是夾角為的兩個單位向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，向量在向量上的投影向量為，∵，是夾角為的兩個單位向量，∴，∴向量在向量上的投影向量為.故選：A.6.已知直線與曲線相切，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】設切點坐標為.∵，∴，則，由②得，，代入①得，，整理得，解得，故.故選：A7.曲線與直線的交點個數為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】，，，作出與的大致圖象，易知共有3個交點.故選：A.8.已知A，B是球O的球面上兩點，且，C是該球面上的動點，D是該球面與平面交線上的動點，若四面體體積的最大值為，則球O的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設球的半徑為，記的中點為，則，易知，當點在的延長線上，且棱錐的高等于求的半徑時，棱錐體積最大.因為，所以，.當點在的延長線上時，的面積最大，為，四面體體積的最大值為，解得，從而球的體積為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.現有一組樣本數據，則這組數據的（）A.眾數為6 B.平均數為7.6C.中位數為6.5 D.第72百分位數為10【答案】AD【解析】將數據按從小到大的順序排列為，出現次數最多的數為6，故A正確；平均數為，故B錯誤；中位數為，故C錯誤；∵，∴第72百分位數為從小到大排列的第8個數，即為10，故D正確.故選：AD.10.已知函數，則（）A.是奇函數 B.C.在上單調遞減 D.在上單調遞增【答案】ACD【解析】要使得函數有意義，則，解得且，所以的定義域關于原點對稱，且，從而是奇函數，A正確；，B錯誤；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞減，C正確；當時，，在上單調遞增，在上單調遞增，所以在上單調遞增，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.11.記為等比數列的前項和，若，，則__________.【答案】【解析】設等比數列的公比為，則，所以，所以.故答案為：12.已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，是圓上一點，則的最小值為__________.【答案】【解析】設雙曲線的左焦點為，連接，.由題知，長軸長，由雙曲線定義知，，則，當P，D，三點共線時，取得最小值，且最小值為.故答案為：13.若關于的方程恰有一個實數解，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，作出的圖象，如圖所示.由圖可知，當時，只需當時，直線的圖象恒在圖象的下方，此時令直線為曲線的切線，函數在時的解析式為，則，所以，則的取值范圍為；當時，顯然符合題意；當時，只需當時，直線的圖象恒在圖象的上方，此時令直線為曲線的切線，函數在時的解析式為，則，所以，則的取值范圍為.綜上，實數的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.14.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面積.解：（1）由，可得.由余弦定理可知，所以，又，所以.（2）由，可知.由正弦定理可知，所以，因，所以，又，所以，則.又，所以的面積為.15.如圖，在三棱柱中，，平面平面.（1）證明：.（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）由（1）得平面，∵平面，∴，∵，，∴.以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，.設平面的法向量為，則，令，則，故.設直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.16.為了解某地小學生對中國古代四大名著內容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個經典故事，進行尋找經典故事出處的答題游戲（不同的經典故事不能搭配同一本名著）.規(guī)定：每答對1個經典故事的出處，可獲得10分.（1）小王同學的答題情況如圖所示，①求小王同學的得分；②老師指出了小王同學答錯的試題，并要求他重新作答錯誤試題，求小王同學避開此次錯誤答案后隨機作答并全部答對的概率（2）小李同學將這4個經典故事與四大名著隨機地搭配進行答題，記他的得分為X，求X的分布列與期望.解：（1）①由圖可知，小王同學答對1道試題，故他的得分為10分.②經過老師的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”對應的出處錯誤，針對錯誤試題進行分析后，給出的答案可能為{（草船借箭，三國演義），（黛玉葬花，紅樓夢），（武松打虎，水滸傳）}，{（草船借箭，水滸傳），（黛玉葬花，三國演義），（武松打虎，紅樓夢）}，共2種情況，其中錯誤試題全部答對的情況為{（草船借箭，三