廣東省佛山市S6高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析）

2024-2025學(xué)年下學(xué)期佛山市S6高質(zhì)量發(fā)展聯(lián)盟高一年級期中聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)學(xué)科考試范圍：必修一第5章，必修二第6、7章；滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘2025年4月注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必清楚地將自己的姓名、考號填寫在規(guī)定的位置2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用黑色墨水簽字筆或鋼筆作答，字體工整、筆跡清楚．3．考生必須在答題卡各題目的規(guī)定答題區(qū)域內(nèi)答題，超出答題區(qū)域范圍書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．4．保持答題卡清潔、完整、不得折疊．嚴(yán)禁在答題卡上做任何標(biāo)記，嚴(yán)禁使用涂改液和修正帶．第Ⅰ卷（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念判斷即可.【詳解】復(fù)數(shù)虛部為.故選：B2.在邊長為1的等邊三角形中，的值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義求解即可.【詳解】由已知可得與的夾角為，所以.故選：.3.如圖，在中，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AN的中點(diǎn)，設(shè)，，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合平面向量基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)樵谥?，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AN的中點(diǎn)，，，所以.故選：A4.已知非零空間向量，且，則一定共線的三點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法求出、，結(jié)合已知向量及向量共線定理判斷點(diǎn)共線即可.【詳解】由題設(shè)，，結(jié)合題設(shè)中的向量，顯然只有，即一定共線.故選：B5.在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角，再由和角公式化簡可得或，最后分類討論即可.【詳解】由正弦定理，得，所以，故，所以或，即或，故為直角三角形或等腰三角形．選：D．6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將平方，結(jié)合可得，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.詳解】將平方得，結(jié)合可得，即，即，即，故CD錯(cuò)誤又，故A對，B錯(cuò)；故選：A7.在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的余弦值.【詳解】因?yàn)椋?，，由余弦定理得，所以，所以為直角三角形，且，以為原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系：所以，所以，所以.故選：C8.已知函數(shù)，對于任意的，都有恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，令，結(jié)合已知可得為上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，可解不等式.【詳解】，即，所以.設(shè)，則所求的式子轉(zhuǎn)化為.由，可知，所以為上的偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又為上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，解?故選：B.二、選擇題．本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.為純虛數(shù) B.對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C. D.和是方程的兩個(gè)根【答案】BC【解析】分析】先化簡，然后結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，對于A，顯然不是純虛數(shù)，A不正確；對于B，，對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，B正確；對于C，，C正確；對于D，，所以和不是方程的根,D不正確.故選：BC10.設(shè)是三個(gè)非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則不與垂直D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長、向量垂直得關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】對于A，由平方可得，故A正確；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若，則或或舍去，故可能與垂直，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，與可以垂直；當(dāng)時(shí)，，綜上，故D錯(cuò)誤．故選：AB11.對于函數(shù)．下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)B.若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍為C.若函數(shù)在時(shí)取得最小值，在時(shí)取得最大值，且，則D.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象，若為偶函數(shù)，則的最小值為2【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算零點(diǎn)，然后判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；B選項(xiàng)，利用整體代入法求的單調(diào)遞增區(qū)間，然后列不等式即可；C選項(xiàng)，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到，然后利用誘導(dǎo)公式計(jì)算；D選項(xiàng)，根據(jù)圖象平移得到，然后根據(jù)偶函數(shù)列方程，解得即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，即，則或，，整理得或，，所以在上有和兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)；令，，整理得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，解得，即，當(dāng)時(shí)，，無解，所以，故B正確；由得，則，，，所以，故C正確；由題意得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以或，即，，，整理得，，又，所以的最小值為2，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：B選項(xiàng)的解題關(guān)鍵在于根據(jù)的解析式得到遞增區(qū)間，然后讓在增區(qū)間里即可.第Ⅱ卷（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在B同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C，測得，，，則A，B兩點(diǎn)間的距離為______m.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)得，利用正弦定理求A，B兩點(diǎn)間的距離.【詳解】由題設(shè)，在中，所以m.故答案為：13.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，橫坐標(biāo)縮短為原來的，再將所得的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求解即可.【詳解】圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍得到，橫坐標(biāo)縮短為原來的得到，向右平移個(gè)單位長度得到.故答案為：.14.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值＝______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意求出角的大小，再結(jié)合角平分線的長度得到的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求出的最小值【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)椋?，故，如圖所示，則的面積為，即即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量滿足，且夾角為，（1）求；（2）當(dāng)向量與垂直時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解；（2）向量與垂直，即，利用數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【小問1詳解】由已知得.【小問2詳解】向量與垂直，，，解得.16.（1）已知，且，求的值；（2）已知，且及，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角關(guān)系以及余弦的和差角公式求解，（2）根據(jù)同角關(guān)系以及正弦的和角公式即可求解.【詳解】（1）由，可得，由，可得，則，，（2）由，可得，由，則，，由于，故17.如圖，在中，，，點(diǎn)D在線段BC上.（1）若∠ADC=，求AD的長；（2）若BD=2DC，△ADC的面積為，求AC的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解；（2）由，得到，結(jié)合三角形面積公式求得，再由余弦定理即可求解.【小問1詳解】在中，.在中，由正弦定理得，又，【小問2詳解】.又.，解得：在中，由余弦定理得，所以.18.在月亮和太陽的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化．下圖記錄了某港口某一天整點(diǎn)時(shí)刻的水深y（單位：米）與時(shí)間x（單位：時(shí)）的大致關(guān)系：假設(shè)4月份的每一天水深與時(shí)間的關(guān)系都符合上圖所示．（1）請運(yùn)用函數(shù)模型，根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出水深y與時(shí)間x的函數(shù)的近似表達(dá)式；（2）根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計(jì)劃明天進(jìn)港卸貨．①求該船可以進(jìn)港的時(shí)間段；②該船今天會(huì)到達(dá)港口附近，明天0點(diǎn)可以及時(shí)進(jìn)港并立即開始卸貨，已知卸貨時(shí)吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米．請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)卸貨方案，在保證嚴(yán)格遵守該港口安全條例的前提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計(jì)?？看a頭和駛離碼頭所需時(shí)間）．【答案】（1）；（2）①0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口；②該船在0點(diǎn)進(jìn)港開始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的圖形，求出函數(shù)模型中的各個(gè)參數(shù)作答.（2）①根據(jù)給定條件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函數(shù)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解作答.【小問1詳解】觀察圖形知，，解得，，，解得，顯然函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，又，因此，所以函數(shù)表達(dá)式為.【小問2詳解】①依題意，，整理得，即有，即，解得或，所以該船可以在0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口.②由①的結(jié)論知，該船明日0點(diǎn)即可進(jìn)港開始卸貨，設(shè)自0點(diǎn)起卸貨小時(shí)后，該船符合安全條例的最小水深為，如圖，函數(shù)與的圖像交于點(diǎn)，即卸貨5小時(shí)后，在5點(diǎn)該船必須暫時(shí)駛離港口，此時(shí)該船的吃水深度為4.5米，令，即，，解得，顯然，該船在11點(diǎn)可返回港口繼續(xù)卸貨，5小時(shí)后完成卸貨，此時(shí)為16點(diǎn)，綜上所述，方案如下：該船在0點(diǎn)進(jìn)港開始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)圖象的最高（低）點(diǎn)定A，求出周期定，由圖象上特殊點(diǎn)求.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．（1）記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；（2）設(shè)，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與同向的單位向量；（3）已知為函數(shù)的相伴特征向量，若在中，，若點(diǎn)為該的外心，求的最大值．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）由相伴函數(shù)的定義結(jié)合輔助角公式得函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)一步解三角函數(shù)方程即可；（2）利用兩角和差的余弦公式展開合并以及單位向量