湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析）

2025年4月高一數(shù)學(xué)月考試題一、單選題（每題5分，共40分）1.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，再求得其共軛復(fù)數(shù)，然后求模.【詳解】復(fù)數(shù),所以，，故選：C2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程組，結(jié)合交集的定義可求得集合.【詳解】解方程組得或，因?yàn)椋?，則.故選：C.3.已知向量不共線，，且，則實(shí)數(shù)（）A.1或4 B.1或 C.或1 D.或1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量的共線的充要條件建立方程組，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，又向量不共線，得到，消得到，解得或，故選：B.4.非零向量，滿足，若，則，的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意利用求向量的模的方法，求得，從而利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】∵非零向量，滿足，且，

設(shè)，的夾角為，

則，且，所以.∴.

∵，∴.

故選:B．5.已知，，且，的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】因?yàn)?，，且，的夾角為，所以在上的投影向量為，，故選：C6.已知，，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知算出，根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，設(shè)的夾角為，所以，在上的投影為：，所以在上的投影向量為.故選：C.7.已知，，則右圖表示的函數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可排除CD，根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)可排除A，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】由圖象可得題設(shè)中圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，而，故為偶函數(shù)；的定義域?yàn)椋摱x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，而，故為定義域上的偶函數(shù)，故CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；故選：B.8.如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中點(diǎn)，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)P.以AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)球和一個(gè)圓臺(tái).給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）①圓臺(tái)的母線長為4；②球的直徑為；③將圓臺(tái)的母線延長交DA的延長線于點(diǎn)H，則得到的圓錐的高為；④點(diǎn)P的軌跡的長度是．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由球體、圓臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及已知條件確定圓臺(tái)的母線長、高和球的半徑，再根據(jù)圓錐與圓臺(tái)的相關(guān)線段相似比求得圓錐的高，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡，由此得出結(jié)論是否正確，得到答案.【詳解】對于①中，由題意知，圓臺(tái)的上下底面半徑分別為，設(shè)圓臺(tái)的母線長為，高為，則球的直徑為，因?yàn)榕c半圓相切于點(diǎn)，則，所以，所以①不正確；對于②中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以，所以球的直徑為，所以②不正確；對于③中，因?yàn)?，可得，則，所以，所以③正確；對于④中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長與交于，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，作與點(diǎn)，可得，則，即，解得，所以點(diǎn)P的軌跡的長度是，所以④錯(cuò)誤.故選：A.二、多選題（共20分）9.已知平面向量，下列說法不正確的有（）A.若，，則 B.C. D.若，則【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量共線、線性運(yùn)算以及數(shù)量積定義即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，，但不一定成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)槭浅?shù)，則表示與共線的向量；同理表示與共線的向量，所以與關(guān)系不確定，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，，選項(xiàng)C正確；對于D，由得，，即，，即，選項(xiàng)D正確.故選：AB10.已知平面向量，，則（）A. B.與可作為一組基底向量C.與夾角的余弦值為 D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】【分析】對A：計(jì)算即可得；對B：借助基底向量的定義即可得；對C：借助平面向量夾角公式計(jì)算即可得；對D：借助投影向量定義計(jì)算即可得.【詳解】對A：，則，故A錯(cuò)誤；對B：易得與為不共線的向量，故與可作為一組基底向量，故B正確；對C：，故C正確；對D：，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.11.如圖所示，已知正方體的棱長為分別是，的中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面截正方體所得的截面可能是五邊形B.一定是銳角三角形C.當(dāng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為D.的最小值是【答案】AD【解析】【分析】對于A：截面形狀，依據(jù)平面與正方體各面的相交情況判斷；對于B：三角形是否為銳角三角形，選取特殊位置通過余弦定理判斷角的余弦值正負(fù)；對于C：截面面積，需確定截面形狀并計(jì)算；對于D：的最小值，可轉(zhuǎn)化為共平面結(jié)合將軍飲馬計(jì)算兩點(diǎn)間距離．【詳解】對于A，如圖，當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，將線段向兩端延長，分別交的延長線于點(diǎn)，連接分別交，于R，S兩點(diǎn)，連接此時(shí)截面為五邊形，所以A正確；對于B，考慮，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，，，，此時(shí)因?yàn)?，故為鈍角，所以B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面如圖所示,其截面為矩形,易知，所以其截面面積為，故C錯(cuò)誤；對于D，取的中點(diǎn)H，連接，在的延長線上取使得，連接與于P點(diǎn)，此時(shí)，故D正確.故選：AD12.在中，設(shè)角所對的邊分別為，則下列命題一定成立的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，，，則有唯一解C.若是銳角三角形，，，設(shè)的面積為S，則D.若是銳角三角形，則【答案】BCD【解析】【分析】由余弦定理可判斷；由正弦定理可判斷；利用邊化角結(jié)合面積公式可得，求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，即可判斷；由銳角三角形可得及，利用在上的單調(diào)性結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷.【詳解】，，，為銳角，但不能確定角是否為銳角，故不一定是銳角三角形，故錯(cuò)誤；由正弦定理得，，，有唯一解，故正確；，，，，又，解得，，，，，，即，故正確；是銳角三角形，，又，，，又在上單調(diào)遞增，，，，故正確；故選：.三、填空題（共20分）13.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】令，則由題意可得在上是減函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立，從而列不等式組可求得答案【詳解】令，因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.14.設(shè)向量的夾角的余弦值為，且，則_____【答案】8【解析】【分析】由求解.【詳解】由，得，又因?yàn)橄蛄康膴A角的余弦值為，所以，，故答案為：815.若“”是“”的必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)必要條件的定義直接求解即可.【詳解】由題意，“若，則”為真命題，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：16.已知函數(shù)，且，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)可得，故可求的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故或，所以或，而，故，故答案為：四、解答題（共70分）17.已知復(fù)數(shù)滿足和均為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，化簡和，根據(jù)其為實(shí)數(shù)列方程求解即可；（2）化簡，根據(jù)其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的位置列不等式求解.【小問1詳解】設(shè)，則，所以，因?yàn)楹途鶠閷?shí)數(shù)，所以，解得，故；【小問2詳解】，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知集合，集合．（1）求；（2）已知，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可；（2）求出集合，再由題意可得是的真子集，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解不等式，得，即，解不等式，得，即，所以；【小問2詳解】由，由是的充分不必要條件，可得是B的真子集，所以，解得所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；（2）利用向量的運(yùn)算律，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，然后求出最值即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，因?yàn)樗?，【小?詳解】由（1）知，，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，的最小值為20.三棱臺(tái)中，若平面，，，，，分別是，中點(diǎn)．（1）求與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）求證與平面平行．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證得和，得到為與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解；（2）確定即為平面與平面所成角的平面角，即可求解；（3）通過四邊形為平行四邊形，即可求證.【小問1詳解】解：連接.由分別是中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，得，且，在三棱臺(tái)中，可得，所以，由，可得四邊形是平行四邊形，則，所以為與所成角，在中，由，可得.【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，在平面，所以，又又分別平面與平面內(nèi)，平面與平面的交線為，所以即為平面與平面所成角的平面角，又，，分別中點(diǎn)，所以，即平面與平面所成角的余弦值為；【小問3詳解】由，，由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知，又為的中點(diǎn)，易知與平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在平面外，在平面內(nèi)，所以平面.21.在①；②；③向量與平行,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面題干中,然后解答問題.已知內(nèi)角的對邊分別為,且滿足______.（1）求角；（2）若為銳角三角形,且,求周長的取值范圍；（3）在（2）條件下,若邊中點(diǎn)為,求中線的取值范圍.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】（1）條件選擇見解析,（2）（3）【解析】【分析】（1）選①根據(jù)正弦定理化簡，然后轉(zhuǎn)化成余弦值即可；選②根據(jù)正弦定理化簡即可求到余弦值，然后求出角度；選③先根據(jù)向量條件得到等式，然后根據(jù)正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根據(jù)（1）中結(jié)果和，把周長轉(zhuǎn)化成，然后再求解范圍.（3）根據(jù)中線公式和正弦定理，把轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求解即可.【小問1詳解】選①：因?yàn)椋?即，，,.選②：，,，,,.選③：向量與平行，,,,,.【小問2詳解】,,.為銳角三角形,，，.周長的取值范圍為.【小問3詳解】，又由中線公式可得，.即，為銳角三角形，，,..22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，求在區(qū)間上的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，解方程可得函數(shù)的零點(diǎn)；（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，然后對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可求得的表達(dá)式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，由，可得，解得，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為；（2）令，即求在區(qū)間上的最大值．當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線