空間角幾何法講義（教師版）

空間角—幾何法考法一線線角【方法原理】①定義：設是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．②范圍：=3\*GB3③求法：法一平移法：將異面直線平移到同一平面內（平移方法同線面平行證明的方法法一（A型平行）;法二補形法：常見墻角體、鱉臑體、對棱相等的三棱錐均可考慮補形為長方體或正方體；法三空間余弦定理：適用于由異面直線構成的三棱錐中，每條棱長均可求的情況.比如在空間四邊形中，求的夾角公式如下：【典例1】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，為的中點，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】連，相交于點，連、，因為為的中點，為的中點，有，可得為異面直線與所成的角，不妨設正方形中，，則，由平面，可得，則，，因為，為的中點，所以，．故選：D.【跟蹤訓練】1．在正方體中，是正方形的中心，則直線與直線所成角大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】設正方體的棱長為，連接，，，因為，故或其補角為直線與直線所成角.而，，，故，所以，所以，因為為銳角，故，故選：A.2．在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角．設，則，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A．3．如圖，四面體中，，，E，F(xiàn)分別是的中點，若，則與所成的角的大小是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示：取BC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，因為E，F(xiàn)，G都為中點，所以,所以，分別為異面直線EF與AB，EF與CD所成的角，因為，所以又因為，，所以所以,因為，所以故選：A4．（2324高二上·上?！て谥校┤鐖D，已知分別是正方體的棱的中點，且與相交于點．(1)求證：點Q在直線DC上；(2)求異面直線與所成角的大?。敬鸢浮?1)證明詳見解析(2)【難度】0.85【知識點】空間中的點共線問題、求異面直線所成的角【分析】（1）通過證明在平面與平面的交線上，來證得在直線上.（2）判斷出異面直線與所成角并計算出角的大小.【詳解】（1）平面平面，由于平面，平面，所以，也即點Q在直線DC上.（2）根據(jù)正方體的性質可知，所以異面直線與所成角為，由于分別是的中點，所以，所以異面直線與所成角的大小為.考法二線面角【方法原理】①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．②范圍：=3\*GB3③求法：法一常規(guī)法：過平面外一點做平面，交平面于點；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．法二等體積法：（其中即點到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；【典例2】在三棱柱中，，，且，則直線與平面所成的角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解析】∵，，∴，∵，，，平面，∴平面，∴就是與平面所成的角，即與平面所成的角是，∵棱柱中，∴與平面所成的角的大小為，故選：A．【跟蹤訓練】1．直三棱柱中，，，則與面成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，過作，連接，在直三棱柱中，因為所以平面，故在平面上的射影為,所以為直線與平面所成的角，設，又所以故故選：A2．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【難度】0.65【知識點】錐體體積的有關計算、臺體體積的有關計算、求線面角【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求得，進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結果.【詳解】解法一：分別取的中點，則，可知，設正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，則，，可得，結合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.3．如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，，F(xiàn)為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線和平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）取CE中點G，連接BG，F(xiàn)G，如圖所示：因為F、G分別為CD、CE的中點，所以且，又因為平面，平面，所以，,所以，，所以四邊形ABGF為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因為平面，平面ACD，所以，所以，又為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，所以，又平面CDE，所以平面CDE，即平面CDE，又平面CDE，則，連接DG，BD，如圖所示，則即為直線和平面所成角，設，在中，，在直角梯形ABED中，，在中，，所以，所以直線和平面所成角的正弦值為.4．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，，分別為，，的中點.（可以講兩種方法：幾何法、等體積法）（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成線面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為底面，底面，所以，因為，分別為正方形的邊，的中點，，所以，所以，由所以，所以，因為平面，平面，，所以平面.（2）由（1）可知平面，設，如圖，連接，則即為直線與平面所成線面角，因為，所以，，在中，由于，所以，所以，所以，所以在中，，即直線與平面所成線面角的正弦值為.考法三面面角【方法原理】①二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面．（二面角或者是二面角）圖1圖2二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍．法一定義法：在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖2在二面角的棱上任取一點，以為垂足，分別在半平面和內作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于求兩條異面直線的夾角即可）．法二三垂線法：在面或面內找一合適的點,作于，過作于，則為斜線在面內的射影，為二面角的平面角．如圖3，具體步驟：Step1：找點做面的垂線；即過點,作于;Step2：過點（與step1中是同一個點）做交線的垂線；即過作于，連接;Step3：計算；為二面角的平面角，在中解三角形．法三射影面積法：凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（,如圖4）求出二面角的大小；法四補棱法：當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法四的攝影面積法解題.方法一定義法【典例31】1.如圖，三棱臺的下底面是正三角形，，則二面角的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】三棱臺中，，且，則，又，且,所以平面，所以為的二面角，因為為等邊三角形，所以.故選：C【跟蹤訓練】1．長方體中，，，則二面角的余弦值的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中點，連接、，因為，，所以，，所以即為二面角的平面角，連接，，，所以，又因為，在中，，所以二面角的余弦值為，故選：B2．如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.85【知識點】證明線面平行、證明線面垂直、求二面角【分析】（1）設，得，再由線面平行的判定定理得證線面平行；（2）證明是二面角的平面角，然后計算出其正切值即可得．【詳解】（1）設，則是中點，連接，又∵是中點，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵，∴，平面，平面，∴，同理，，平面，∴平面，而平面，故，∴是二面角的平面角，在直角中，，，，∴二面角的正切值為．3．三棱臺中，若平面，，，，，分別是，中點．

(1)求與所成角的余弦值；(2)求平面與平面所成角的余弦值；【答案】(1)(2)【難度】0.65【知識點】求異面直線所成的角、求二面角、證明線面平行【分析】（1）根據(jù)題意，證得和，得到為與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解；（2）確定即為平面與平面所成角的平面角，即可求解；（3）通過四邊形為平行四邊形，即可求證.【詳解】（1）解：連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質，得，且，在三棱臺中，可得，所以，由，可得四邊形是平行四邊形，則，所以為與所成角，在中，由，可得.

（2）因為平面，在平面，所以，又又分別在平面與平面內，平面與平面的交線為，所以即為平面與平面所成角的平面角，又，，分別是中點，所以，即平面與平面所成角的余弦值為；方法二幾何法【典例32】1.如圖，已知平面．（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的大小．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）平面，平面，，，，平面，平面，平面平面；（Ⅱ）由（1）得平面，平面，，，即為二面角的平面角，在直角三角形中，，則，，即二面角的大小為.2．如圖，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中點，，將沿著AE翻折成，使平面AECD．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的大?。弧敬鸢浮?1)證明見解析；(2)【難度】0.65【知識點】求二面角、由線面平行的性質判斷線段比例或點所在的位置、證明面面垂直、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的特征利用面面垂直的判定定理即可得出證明；（2）利用線面垂直的性質定理可得即為二面角的平面角，可得其大小為；（3）假設條件成立，然后根據(jù)線面平行的性質以及已知條件，求出點的具體位置，即可求解.【詳解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中點，所以可得四邊形為菱形，可得，又，所以可得；因為，平面；所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由平面AECD，平面AECD，可得；易知，，所以；又因為，平面；所以平面，又平面，所以又，因此可得即為二面角的平面角，在直角三角形中，，可得，即.3．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【難度】0.65【知識點】錐體體積的有關計算、線面垂直證明線線垂直、面面垂直證線面垂直、由二面角大小求線段長度或距離【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關系找到二面角的平面角，然后結合相關的幾何特征計算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標法如圖所示，以O為坐標原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則，設,所以，設為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.4．如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識點】證明線面平行、由二面角大小求線段長度或距離、證明面面垂直【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）過點D作于，再過點作于，連接，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長度表示出，即可解方程求出．【詳解】（1）（1）因為平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因為，所以，根據(jù)平面知識可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過點D作于，再過點作于，連接，因為平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根據(jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因為，設，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．【跟蹤訓練】1.如圖所示，在長方體中，，點E是的中點.（1）證明：平面；（2）證明：；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）如圖所示：連接交于點O，連接，則O為的中點.∵E是的中點，∴又平面，平面，∴平面.（2）由題意可知，四邊形是正方形，∴.∵平面，平面，∴.∵平面，平面，，∴平面.又平面，∴，即.（3）在中，，，，∴∵平面平面，∴.∵平面，平面，，∴平面.又∵平面，∴.∴是二面角的平面角.在A中，∵，，，∴，∴二面角的正切值為.2.（2324高一下·廣東河源·期中）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側面是正三角形，側面底面是棱的中點，.(1)證明：平面；(2)若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識點】求異面直線所成的角、證明線面垂直、面面垂直證線面垂直、由二面角大小求線段長度或距離【分析】（1）利用面面垂直的性質，線面垂直的性質判定推理即得.（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用異面直線所成角的定義求出其正切值.【詳解】（1）在四棱錐中，由底面為矩形，得，由側面底面，側面底面平面，得平面，又平面，則，又側面是正三角形，是的中點，則，又平面，所以平面.（2）如圖，在平面內，過點作，垂足為，顯然，由側面底面，交線為，得底面，底面，則，過作，垂足為，連接，顯然，平面，則平面，而平面，因此，則即為二面角的平面角，其大小為，在中，，則，由，得四邊形為平行四邊形，則，由，得（或其補角）為異面直線與所成角，由（1）知平面，則為直角三角形，，所以異面直線與所成角的正切值為.3．（2324高一下·湖南長沙·期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是的中點，于點．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識點】證明面面垂直、求二面角、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可證明出平面平面；（2）先根據(jù)條件作出二面角的平面角，假設邊長后利用即可求出結果.【詳解】（1）證明：由條件有，且平面，，平面，又平面，；又，是的中點，；又平面，，平面，平面，．由已知，且平面，，平面．又平面，平面平面．（2）取中點，則，作于，連結．底面，底面．為在平面內的射影，，，為二面角的平面角．設，在中，，，；二面角的正切值為．.4．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，，，.(1)求證：；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識點】求二面角、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）由線面垂直的性質定理進行證明.（2）先證明為二面角的平面角，再結合三角函數(shù)求的正弦值即可.【詳解】（1）證明：取的中點M，連接，.在正三角形中，因為M為的中點，所以.因為，，，所以，所以.因為M為的中點，所以.因為，，平面，所以平面.因為平面，所以.（2）解：過M作的垂線，垂足為N，連接.在中，由余弦定理得，所以.因為，所以，所以.因為，，平面，所以平面.因為平面，所以.因為，，平面，所以平面.因為平面，所以，所以為二面角的平面角．在中，，，所以，所以二面角的正弦值為.5．如圖，四棱錐中，底面，，，.(1)若，證明：∥平面；(2)若，且二面角的余弦值為，求.【答案】(1)證明見詳解(2)【難度】0.65【知識點】由二面角大小求線段長度或距離、證明線面平行【分析】（1）根據(jù)線面垂直關系可得，由勾股定理可得，則∥，結合線面平行的判定定理分析證明；（2）做輔助線，根據(jù)三垂線法分析可知可知二面角的平面角為，設，根據(jù)題意結合三角知識運算求解即可.【詳解】（1）因為底面，且底面，則，又因為，，平面，可得平面，由平面，所以，因為，，，即，可得，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）若，設，則，過作，垂足為，過作，垂足為，連接，可得，，因為底面，且底面，則，且，則，可得，因為底面，且底面，則，且，平面，可得平面，由平面，可得，且，平面，可得平面，由平面，可得，可知二面角的平面角為，則，可得，，則，即，可得，整理可得，解得或（舍去），且，則，所以.方法三等體積法【典例33】如圖1，在矩形中，，，將沿翻折至，且，如圖2所示．在圖2中：(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【難度】0.65【知識點】求點面距離、證明面面垂直、求二面角【分析】（1）根據(jù)勾股定理得，根據(jù)線面垂直的性質定理得平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；（2）結合等體積法，利用錐體的體積求高即可；（3）根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角，然后利用直角三角形的性質求解即可.【詳解】（1）由題意知，，，則，故，又，且，平面，故平面，而平面，故平面平面．（2）由可得，由（1）知平面，所以，又，所以．（3）在平面內作，垂足為；在平面內作，垂足為，連接，由平面，平面，故，因為，，平面，所以平面，由（2）知，因為平面，故，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又，則為二面角的平面角，又平面，故，所以．由題意知直角三角形中，，故，又，則，所以，故二面角的余弦值為．【跟蹤訓練】如圖，直三棱柱的體積為1，，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.85【知識點】證明線面垂直、求二面角、線面垂直證明線線垂直、空間位置關系的向量證明【分析】（1）法一：由線面垂直證明即可；法二：用空間直角坐標系證明即可；（2）法一：過作于，連接，由已知得出為二面角的平面角，求解即可；法二：建立空間直角坐標系求解．【詳解】（1）直三棱柱的體積為：，則，四邊形為正方形，法一：在直棱柱中，面，，又平面，則，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，在正方形中，有，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以．法二：直棱柱，平面，又，以為原點，，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，所以．（2）由（1）得，設，在中，過作于，連接，因為，，平面，且，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因為，，得，又在中，，得，，所以二面角的余弦值為．2．如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，.(1)證明：平面平面；(2)若，與平面的夾角為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【難度】0.65【知識點】證明面面垂直、求二面角、由線面角的大小求長度【分析】（1）設，連接，即可證明、，從而得到平面，即可得證；（2）過點作交于點，即可證明平面，則即為與平面所成的角，即可求出，過點作交于點，連接，即可證明平面，從而得到即為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計算可得.【詳解】（1）設，連接，因為為正方形，所以且為的中點，又，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）在平面中過點作交于點，因為平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以即為與平面所成的角，即，又，所以，過點作交于點，連接，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，又，所以因為為正方形，所以，則，所以，即，解得，又平面，平面，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值為.3．如圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點滿足．現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如圖所示．(1)求證：；(2)求四棱錐的體積；(3)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【難度】0.65【知識點】求二面角、線面垂直證明線線垂直、錐體體積的有關計算、面面垂直證線面垂直【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形ABCE為菱形，從而線線垂直，得到平面．故；（2）由面面垂直得到線面垂直，求出，利用錐體體積公式進行求解；（3）作出輔助線，證明線面垂直，得到線線垂直，即為平面與平面所成銳二面角的平面角，求出各邊長，得到，求出答案.【詳解】（1）證明：在平面圖形中，連接CE，由勾股定理得，因為且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形ABCE為菱形，在圖中，連接AC交BE于點，則，在立體圖形中，，，又，平面，平面．又平面，；（2）在平面圖形中，由勾股定理得，由（1）知，四邊形ABCE為菱形，結合題設易得，故，平面平面BCDE，且平面平面，平面，．平面BCDE，其中梯形的面積為，；（3）在立體圖形中延長BE，CD，設，連接．平面，平面．又平面，平面．是平面與平面的交線，平面平面BCDE，，平面平面，平面，又平面，，，作，垂足為，連接CH，又，平面，平面OCH，又平面OCH，．即為平面與平面所成銳二面角的平面角．由勾股定理得，，故，為等邊三角形，在Rt中，，，所以，又，故，由勾股定理得，所以，又，在中，，．平面與平面所成銳二面角的余弦值．鞏固練習1．（2324高一下·重慶·期中）如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點.則異面直線，所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】余弦定理解三角形、求異面直線所成的角【分析】為中點，可知即為異面直線，所成角（或其補角），余弦定理求解即可.【詳解】連結，取中點，連結，，如圖所示，

則，可知即為異面直線，所成角（或其補角），，，，，所以，即異面直線，所成角的余弦值為.故選：D2．（2324高二上·湖北·期中）在正四面體中，棱長為2，且是棱中點，則異面直線與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.85【知識點】求異面直線所成的角【分析】作出圖形，取的中點，連接,得或其補角為異面直線與夾角，根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】取的中點，連接,

易得,故或其補角為異面直線與夾角，又正四面體棱長為2，故,,故異面直線與夾角的余弦值為.故選：3．（2223高一下·重慶·期末）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么直線AB，CD所成角為（

）

A．0 B． C． D．【答案】C【難度】0.85【知識點】棱柱的展開圖及最短距離問題、求異面直線所成的角【分析】先還原正方體，再平移AB，找到異面直線所成角，求之即可．【詳解】還原后的正方體及AB，CD的位置如圖所示，

取正方體的一個頂點E，連接CE，DE，則AB∥CE，所以∠ECD或其補角為直線AB，CD所成角，因為CD，DE，CE均為面對角線，所以CD＝DE＝CE，即△CDE為等邊三角形，所以∠ECD＝，所以直線AB，CD所成角為．故選：C．4．（2324高一下·浙江寧波·期中）如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點，平面.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【難度】0.65【知識點】證明線面垂直、求線面角、證明面面垂直、面面垂直證線面垂直【分析】（1）由題意可證四邊形為平行四邊形，則，結合線面平行的判定定理即可證明；（2）如圖，易證，根據(jù)線面垂直的性質與判定定理可得平面，結合面面垂直的判定定理即可證明；（3）根據(jù)線面垂直的性質與判定定理可得為二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性質確定為直線與平面所成的角，即可求解.【詳解】（1）因為且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面；（2）由平面，平面，得，連接，由且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以平行四邊形為正方形，所以，又，所以，又平面，所以平面，由平面，所以平面平面；（3）由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故為二面角的平面角，即，在中，，作，垂足為M，由（2）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，則為直線在平面上的投影，所以為直線與平面所成的角，在中，