空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示精練（6大題型）

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示【題型1空間直角坐標(biāo)系及坐標(biāo)表示】1、（2022秋·北京·高二北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┮阎叫兴倪呅?，且，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，由題意得：，即，解得：，故頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D2、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量用坐標(biāo)形式可表示為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，則有.所以向量用坐標(biāo)形式表示為.故答案為：3、（2022秋·吉林白城·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)是__________【答案】【解析】因?yàn)?，為坐?biāo)原點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉檎襟w，所以所以.故答案為：4、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則______．【答案】【解析】故答案為：5、（2022秋·福建廈門(mén)·高二福建省廈門(mén)第六中學(xué)?？计谥校┮阎强臻g向量的一組基底，是空間向量的另一組基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵向量在基底下的坐標(biāo)為，∴，設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)是，則，∴，解得，即.故選：D.【題型2空間點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】1、（2023秋·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C2、（2023秋·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谀┛臻g兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，則A，B兩點(diǎn)的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于平面對(duì)稱C．關(guān)于z軸對(duì)稱D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A，B的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，它們的豎坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)A，B關(guān)于z軸對(duì)稱.故選：C.3、（2023春·甘肅平?jīng)觥じ叨？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：C.4、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間中點(diǎn)，則A點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】依題意，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故答案為：5、（2022秋·上海虹口·高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______.【答案】【解析】關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)保持不變，所以點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為:.【題型3空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示】1、（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知向量,則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵向量,∴.故選:B.2、（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，則（）A．5B．7C．3D．【答案】B【解析】，，∴．故選：B3、（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┤粝蛄?，滿足條件，則（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算可得：，所以，所以，故選：B4、（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，則______.【答案】4【解析】設(shè)，，由，，得，，解得，所以，，則.故答案為：4.5、（2023秋·北京豐臺(tái)·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┰诳臻g直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，若點(diǎn)C在平面內(nèi)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，顯然，不共線，根據(jù)向量基本定理可得，故C點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)驗(yàn)算只有B選項(xiàng)符合條件，此時(shí)，故選：B【題型4空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示】1、（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，解得：.故選：B.2、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，設(shè).若，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】.【解析】三點(diǎn)，，，則，，因?yàn)?，則有，解得，所以實(shí)數(shù)k的值是.3、（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，共線，則____________．【答案】【解析】由已知得：.因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以.所以，解得：.所以.故答案為:.4、（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知空間向量，，．（1）若，求；（2）若與相互垂直，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，即，且，，解得；（2），，又，解得．5、（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）（多選）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．的最大值為4【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若，且，，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則，即，解得，故B正確；，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.【題型5空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示】1、（2023春·江蘇·高二華羅庚中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則.故答案為：.2、（2022·高二課時(shí)練習(xí)），，則_______．【答案】6【解析】因?yàn)椋?，所以，所以；故答案為?3、（2023秋·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知直線的方向向量分別是，，若且，則的值可以是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因?yàn)橐阎本€的方向向量分別是，，其中且，所以，即，解得或，所以或.故選：BD.4、（2023秋·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中校考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別在棱和上，且，則的最大值為（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】如圖所示，以為中心建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)取得最大值，故選：B5、（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐中，，在棱上，在直線上，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖所以，連接AC，BD，記，連接OP，由正四棱錐的性質(zhì)可知OC，OD，OP兩兩垂直，則以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸和軸軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，，則，,設(shè)，則，從而，故點(diǎn)A到直線CE的距離，即AF的最小值是.故選：D.【題型6空間向量夾角的坐標(biāo)表示】1、（2023春·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則、夾角的余弦值是______．【答案】/【解析】因?yàn)?，，由空間向量的夾角公式可得，，所以、夾角的余弦值是，故答案為：.2、（2022秋·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若與夾角為，則k的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】，，所以，可知，解得：．故答案為：.3、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】由已知與的夾角為鈍角，則，即，解得.若a與b的夾角為180°，則存在，使.所以，所以，，所以且.故t的取值范圍是.故答案為：.4、（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍______.【答案】【解析】