探索三角形相似的條件-九年級數(shù)學(xué)下冊課堂幫幫幫（蘇科版）（原卷版）

探索三角形相似的條件知識點(diǎn)一、平行線分線段成比例定理 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例. 如圖：l1∥l2∥l3，直線a、b分別與l1、l2、l3交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F、，則有：1. ；2. ；3. . 當(dāng)兩線段的比是1時，即為平行線等分線段定理，可見平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理特殊情況，平行線分線段成比例定理是平行線等分線段定理的推廣.例：如圖，△ABC中，D、E分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長線上，下面比例式中，不一定能判斷ED∥BC的是（）A． B． C． D．【解答】B【解析】A、∵，∴，而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；B、∵，而∠BAC＝∠DAE，∴不能判斷△ABC與△ADE相似，不能得到∠B＝∠D，∴不能判斷BC∥DE，所以B選項(xiàng)的結(jié)論不正確；C、∵，而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；D、∵，而∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠D，∴BC∥DE，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．故選B．知識點(diǎn)二、由平行判定三角形相似 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似，如圖所示：例：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD、BC上，且EF∥CD，G為邊AD延長線上一點(diǎn)，連接BG，則圖中與△ABG相似的三角形有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】D【解析】如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，AD∥BC，∴△DGM∽△AGB，△DGM∽△CBM，∵EF∥CD，∴△DGM∽△EGN，△CBM∽△FBN，∴△DGM∽△AGB∽△FBN∽△CBM∽△EGN．故選D．知識點(diǎn)三、由兩角關(guān)系判定三角形相似 兩角分別相等的兩個三角形相似，如圖所示：例：如圖，△ABC中，D、E兩點(diǎn)分別在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE與AD相交于點(diǎn)F．則圖中相似三角形的對數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】B【解析】①在△ABE與△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，則△ABE～△ACB；②∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．∵∠1＝∠2，∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ACD；綜合①②知，共有2對相似三角形，故選B．知識點(diǎn)四、由兩邊及夾角的關(guān)系判定兩三角形相似 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，如圖所示：例：如圖，下列選項(xiàng)中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．AC2＝AD?AB B．BC2＝BD?AB C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB【解答】B【解析】A、∵AC2＝AD?AB，∴，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵BC2＝BD?AB，∴，添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)符合題意；C、∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．知識點(diǎn)五、由三邊關(guān)系判定兩個三角形相似 三邊成比例的兩個三角形相似，如圖所示：例：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，不一定能使△ADE與△ABC相似的條件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D．【解答】C【解析】由題意得，∠A＝∠A，A、當(dāng)∠ADE＝∠B時，△ADE∽△ABC；故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)∠ADE＝∠C時，△ADE∽△ABC；故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)時，不能推斷△ADE與△ABC相似；故選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)時，△ADE∽△ACB；故本選項(xiàng)不符合題意．故選C．鞏固練習(xí)一．選擇題1． 如圖．在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，則圖中相似三角形有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對2． 如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合），DE與AB相交于點(diǎn)F，那么與△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD3． 如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，將CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，DE與AC相交于點(diǎn)F，連接AE，則圖中與△ACE全等或相似的三角形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4． 如圖，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線DE剪開，剪下的三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．5． 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1個單位/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2個單位/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動．當(dāng)以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時，運(yùn)動時間為（）A．2411s B．95s C．2411s或956． 已知△ABC是正三角形，點(diǎn)D是邊AC上一動點(diǎn)（不與A、C重合），以BD為邊作正△BDE，邊DE與邊AB交于點(diǎn)F，則圖中一定相似的三角形有（）對．A．6 B．5 C．4 D．37． 如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，則下列結(jié)論正確的有（）①∠BAE＝30°；②CE2＝AB?CF；③CF=53CD；④△ABE∽△A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8． 如圖，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在邊DC上有點(diǎn)P，使△PAD與△PBC相似，則這樣的點(diǎn)P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9． 坐標(biāo)平面上橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．已知A（2，0），點(diǎn)B（3，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在第一象限內(nèi)取一整點(diǎn)C，使O，B，C三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與△AOB相似．那么C點(diǎn)不同的位置一共有（）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處10．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下結(jié)論：①BE=22GE；②△AGE≌△ECF；⑧∠FCD＝45°；④△GBE∽△A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．如圖，CB＝CA，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊BC上（與B、C不重合），四邊形ADEF為正方形過點(diǎn)F作FG⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)G，連接FB，交DE于點(diǎn)Q，對于下列結(jié)論：①AC＝FG；②四邊形CBFG是矩形；③△ACD∽△FEQ．其中正確的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③二．填空題12．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4，D為BC的中點(diǎn)，E為AB上的動點(diǎn)，若動點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→A的方向運(yùn)動，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒（0≤t＜12），連接DE，當(dāng)△BDE與△ABC相似時，t的值為．13．如圖，點(diǎn)P是邊長為5的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB＝2，PB⊥BF，垂足為點(diǎn)B，請在射線BF上找一點(diǎn)M，使得以B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，則BM＝．14．已知：△ABC中，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC邊上，要使△AEF與△ABC相似，則需要增加的一個條件是．（寫出一個即可）15．如圖，∠B＝∠D，請你添加一個條件，使得△ABC∽△ADE，這個條件可以是．16．如圖，在△ABC和△APQ中，∠PAB＝∠QAC，若再增加一個條件就能使△APQ∽△ABC，則這個條件可以是．17．如圖，點(diǎn)P是△ABC中AB邊上的?點(diǎn)，請你添加?個條件使△ACP∽△ABC：．18．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE、AF交于點(diǎn)G，AF的中點(diǎn)為H，連接BG、DH．給出下列結(jié)論：①AF⊥DE；②DG=85；③HD∥BG；④△ABG∽△其中正確的結(jié)論有．（請?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號）19．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，當(dāng)C，B1，C1三點(diǎn)共線時，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB1，交于AC于點(diǎn)D，下面結(jié)論：①△AC1C為等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤ABB1C20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，沿EF所在的直線折疊∠C，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上，若△EFC和△ABC相似，則BD的長為．21．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上的動點(diǎn)，過P作PF⊥AE于F，當(dāng)以點(diǎn)P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似時，AP的長為．22．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一點(diǎn)，若以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△PBC相似，則PA＝cm．23．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B，C重合的一個動點(diǎn)，直線DE垂直平分BF，垂足為D．當(dāng)△ACF是直角三角形時，BD的長為．三．解答題24．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．（1）如果點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘時△PCQ的面積為8cm2？（2）如果點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘時以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？25．在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是線段AB上一點(diǎn)，且DB＝4，過點(diǎn)D作DE與線段AC相交于點(diǎn)E，使以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求DE的長．請根據(jù)下列兩位同學(xué)的交流回答問題：（1）寫出正確的比例式及后續(xù)解答；（2）指出另一個錯誤，并給予正確解答．26．如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的BC邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，另一條直角邊與AB交于點(diǎn)Q．請寫出一對相似三角形，并加以證明．（圖中不添加字母和線段）27．在△ABC中，AD、CE分別是△ABC的兩條高，且AD、CE相交于點(diǎn)O，試找出圖中相似的三角形，并選出一組給出證明過程．28．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B止，動點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)到點(diǎn)A止．點(diǎn)D運(yùn)動速度為1cm/s，點(diǎn)E運(yùn)動速度為2cm/s．如果兩個點(diǎn)同時運(yùn)動，多長時間△ADE與△ABC相似？29．如圖，已知AD?AC＝AB?