創(chuàng)新點(diǎn)5　現(xiàn)代概率論與高中概率統(tǒng)計(jì)的融合問題

板塊五概率與統(tǒng)計(jì)創(chuàng)新點(diǎn)5現(xiàn)代概率論與高中概率統(tǒng)計(jì)的融合問題高考定位與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的創(chuàng)新問題主要有兩個(gè)類型：(1)以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的問題；(2)概率、統(tǒng)計(jì)方法的新定義問題.精準(zhǔn)強(qiáng)化練題型一極大似然估計(jì)問題題型二信息熵問題題型三概率、統(tǒng)計(jì)方法的新定義問題題型突破題型一極大似然估計(jì)問題例1①完成下表：因?yàn)榇羞@兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為1∶3，且Y～B(3，p)，表格如下極大似然估計(jì)是一種基于概率理論的方法，用于估計(jì)一個(gè)概率模型的參數(shù)，使得觀測(cè)到的數(shù)據(jù)在該模型下出現(xiàn)的概率最大.換句話說，它尋找的是使我們觀察到的數(shù)據(jù)最有可能發(fā)生的參數(shù)值，解決此類問題一般要利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì).規(guī)律方法訓(xùn)練1得n＝100，所以E(X)＝np＝50.①試寫出事件“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”發(fā)生的概率表達(dá)式(用p表示，組合數(shù)不必計(jì)算)；A＝“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”，則團(tuán)隊(duì)B可以求出θ的最大似然估計(jì)，且θ0＝ln2是θ的最大似然估計(jì).題型二信息熵問題例2當(dāng)n＝1時(shí)，則i＝1，p1＝1，所以H(X)＝－(1×log21)＝0.H(X)隨著n的增大而增大.設(shè)f(n)＝log2n，n∈N*，因此H(X)隨著n的增大而增大.若n＝2m(m∈N*)，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1，2，…，m，且P(Y＝j(luò))＝pj＋p2m＋1－j(j＝1，2，…，m).因?yàn)?<pi＋p2m＋1－i<1(i＝1，2，…m)，信息熵可以理解為某種特定信息出現(xiàn)的概率，解題的關(guān)鍵是緊扣定義，恰當(dāng)?shù)乩孟嚓P(guān)概率公式計(jì)算.規(guī)律方法(2024·濟(jì)南調(diào)研)在信息論中，熵(entropy)是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵、信源熵、平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、樣本或特征.(熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因?yàn)樵诫S機(jī)的信源的熵越大)來自信源的另一個(gè)特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當(dāng)它發(fā)生了，會(huì)提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息(熵)定義為概率分布的對(duì)數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個(gè)事件的信息量構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的均值(即期望)就是這個(gè)分布產(chǎn)生的信息量的平均值(即熵).熵的單位通常為比特，但也用Sh、nat、Hart計(jì)量，取決于定義用到對(duì)數(shù)的底.采用概率分布的對(duì)訓(xùn)練2數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1Sh的信息，而擲m次就為m位.更一般地，你需要用log2

n位來表示一個(gè)可以取n個(gè)值的變量.在1948年，克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)將熱力學(xué)的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農(nóng)熵.而正是信息熵的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋為了說明違反熱力學(xué)第二定律的可能性而設(shè)想的麥克斯韋妖理論被推翻.設(shè)隨機(jī)變量ξ所有取值為1，2，…，2，…，n).(1)若n＝2，試探索ξ的信息熵關(guān)于P1的解析式，并求其最大值；當(dāng)n＝2時(shí)，P1∈(0，1)，H(ξ)＝－P1log2P1－(1－P1)log2(1－P1)，令f(t)＝－tlog2t－(1－t)log2(1－t)，t∈(0，1)，題型三概率、統(tǒng)計(jì)方法的新定義例3(1)求P(ξ＝2，η＝5)，P(η＝5)；由題設(shè)，P(ξ＝2，η＝5)＝(1－p)·p·(1－p)·(1－p)·p＝(1－p)3p2，(2)求E(ξ|η＝5)，E(ξ|η＝n)(n≥2).本例新定義了條件期望，可以類比我們學(xué)習(xí)過的條件概率和數(shù)學(xué)期望加以理解.要有目標(biāo)意識(shí)，緊扣題目條件中所給的公式進(jìn)行計(jì)算.規(guī)律方法訓(xùn)練3(2024·武漢模擬)在一個(gè)典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘?hào)，通過信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實(shí)際應(yīng)用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個(gè)取值x1，x2，…，xn的隨機(jī)變量，分別記作X和Y.條件概率P(Y＝xj|X＝xi)，i，j＝1，2，…，n，描述了輸入信號(hào)和輸出信息之間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，反映了信道的統(tǒng)計(jì)特性.隨機(jī)變量X的平均信息量定義為：(1)設(shè)有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點(diǎn)數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X的平均信息量(log23≈1.59，log25≈2.32，log27≈2.81)；設(shè)X表示扔一非均勻骰子點(diǎn)數(shù)，則扔一次平均得到的信息量為(2)設(shè)某信道的輸入變量X與輸出變量Y均取值0，1.滿足：P(X＝0)＝ω，p(Y＝1|X＝0)＝p(Y＝0|X＝1)＝p(0<ω<1，0<p<1).試回答以下問題：①求P(Y＝0)的值；由全概率公式，得p(Y＝0)＝p(X＝0)P(Y＝0|X＝0)＋p(X＝1)·P(Y＝0|X＝1)＝ω(1－p)＋(1－ω)p.②求該信道的信道疑義度H(Y|X)的最大值.由題意，p(Y＝0|X＝0)＝p(Y＝1|X＝1)＝1－p，所以，H(Y|X)＝－[P(X＝x1，Y＝x1)log2p(Y＝x1|X＝x1)＋P(X＝x1，Y＝x2)log2p(Y＝x2|X＝x1)＋P(X＝x2，Y＝x1)log2p(Y＝x1|X＝x2)＋P(X＝x2，Y＝x2)log2p(Y＝x2|X＝x2)]＝－[P(X＝x1)p(Y＝x1|X＝x1)log2p(Y＝x1|X＝x1)＋p(X＝x1)p(Y＝x2|X＝x1)log2p(Y＝x2|X＝x1)＋p(X＝x2)p(Y＝x1|X＝x2)·log2p(Y＝x1|X＝x2)＋p(X＝x2)p(Y＝x2|X＝x2)log2p(Y＝x2|X＝x2)]＝－[ω(1－p)log2(1－p)＋ωplog2p＋(1－ω)·plog2p＋(1－ω)(1－p)log2(1－p)]＝－plog2p－(1－p)log2(1－p)；其中x1＝0，x2＝1.令f(p)＝－plog2p－(1－p)log2(1－p)，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】1.(2024·泉州調(diào)研)某研究所研究某一型號(hào)疫苗的有效性，研究人員隨機(jī)選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)有隨機(jī)變量Xi(i＝1，2，…，5)表示第i組被感染的白鼠數(shù)，并將隨機(jī)變量Xi的觀測(cè)值xi(i＝1，2，…，5)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為p(p∈(0，1))，假設(shè)每只白鼠是否被感染是相互獨(dú)立的.記Ai為事件“Xi＝xi(i＝1，2，…，5)”.由題知隨機(jī)變量X1～B(10，p)，(1)寫出P(A1)(用p表示，組合數(shù)不必計(jì)算)；設(shè)事件A＝A1A2A3A4A5，由題圖可知x1＝2，x2＝1，x3＝1，x4＝3，x5＝3，由題意可得X滿足二項(xiàng)分布X～B(N，p)，由E(aX＋b)＝aE(X)＋b知，(2)若0<p<10－4，10≤K≤20.證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽性.令h(x)＝ex－x－1，－2×10－3<x<2×10－3，則h′(x)＝ex－1，當(dāng)x∈(－2×10－3，0)時(shí)，h′(x)<0，h(x)為單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，2×10－3)時(shí)，h′(x)>0，h(x)為單調(diào)遞增，所以h(x)≥h(0)＝0，且h(－2×10－3)＝e－2×10－3－(－2×10－3)－1≈0，h(2×10－3)＝e2×10－3－(2×10－3)－1≈0，