2024年高考數(shù)學(xué)考綱解讀與熱點(diǎn)難點(diǎn)突破專(zhuān)題01集合常用邏輯用語(yǔ)教學(xué)案理

PAGEPAGE1專(zhuān)題01集合、常用邏輯用語(yǔ)【2024年高考考綱解讀】從近幾年高考題來(lái)看,涉及本節(jié)學(xué)問(wèn)點(diǎn)的高考題型是選擇題或填空題．有時(shí)在大題的條件或結(jié)論中出現(xiàn),所以在復(fù)習(xí)中不宜做過(guò)多過(guò)高的要求,只要敏捷駕馭小型綜合題型就可以了．要駕馭以函數(shù)的定義域、值域、不等式的解集為背景考查集合的交、并、補(bǔ)的基本運(yùn)算；要能夠利用集合之間的關(guān)系,利用充要性求解參數(shù)的值或取值范圍；要駕馭命題的四種形式及命題真假的推斷；還得留意以新定義集合及集合的運(yùn)算為背景考查集合關(guān)系及運(yùn)算．要活用“定義法”解題,重視“數(shù)形結(jié)合”,定義是一切法則和性質(zhì)的基礎(chǔ),是解題的基本動(dòng)身點(diǎn),留意方法的選擇,抽象到直觀(guān)的轉(zhuǎn)化．要體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性與明確性,發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言溝通問(wèn)題的實(shí)力．體會(huì)分類(lèi)探討思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想等數(shù)學(xué)思想在解題中的運(yùn)用．【網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】一、集合的概念及運(yùn)算1．集合的運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A．(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A．(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A．2．集合運(yùn)算中的常用方法(1)數(shù)軸法：若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸法求解．(2)圖象法：若已知的集合是點(diǎn)集，用圖象法求解．(3)Venn圖法：若已知的集合是抽象集合，用Venn圖法求解．【方法技巧】解答集合問(wèn)題的策略：(1)集合的化簡(jiǎn)是實(shí)施運(yùn)算的前提，等價(jià)轉(zhuǎn)換是順當(dāng)解題的關(guān)鍵．解決集合問(wèn)題，要弄清集合中元素的本質(zhì)屬性，能化簡(jiǎn)的要化簡(jiǎn)；抓住集合中元素的三特性質(zhì)，對(duì)互異性要留意檢驗(yàn)；(2)求交集、并集、補(bǔ)集要充分發(fā)揮數(shù)軸或韋恩圖的作用；(3)含參數(shù)的問(wèn)題，要有分類(lèi)探討的意識(shí)．留意空集的特別性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性．二、充分與必要條件的推斷充分、必要條件與充要條件的含義若p、q中所涉及的問(wèn)題與變量有關(guān)，p、q中相應(yīng)變量的取值集合分別記為A，B，那么有以下結(jié)論：p與q的關(guān)系集合關(guān)系結(jié)論p?q，qeq\o(?,/)pABp是q的充分不必要條件peq\o(?,/)q，q?pBAp是q的必要不充分條件p?q，q?pA＝Bp是q的充要條件peq\o(?,/)q，qeq\o(?,/)pAB，BAp是q的既不充分也不必要條件【方法技巧】命題真假的判定方法：(1)一般命題p的真假由涉及到的相關(guān)學(xué)問(wèn)辨別；(2)四種命題的真假的推斷依據(jù)：一個(gè)命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個(gè)命題的真假無(wú)此規(guī)律；(3)p∨q、p∧q、┐p命題的真假依據(jù)p，q的真假與邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義判定；(4)要判定一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題，必需對(duì)限定集合M的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱(chēng)命題是假命題，卻只要舉出集合M中的一個(gè)x＝x0，使得p(x0)不成馬上可(也就是通常所說(shuō)的“舉一個(gè)反例”)．要判定一個(gè)特稱(chēng)命題是真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成馬上可；否則，這一存在性命題是假命題．三、命題真假的判定與命題的否定1．四種命題的關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．2．復(fù)合命題真假的推斷方法含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假推斷：“p∨q”有真則真，其余為假；“p∧q”有假則假，其余為真；“綈p”與“p”真假相反．3．全稱(chēng)量詞與存在量詞(1)全稱(chēng)命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．(2)特稱(chēng)命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．【方法技巧】充分條件必要條件的判定方法：(1)定義法：分清條件和結(jié)論；找推式，推斷“p?q”及“q?p”的真假；下結(jié)論，依據(jù)推式及定義下結(jié)論；(2)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：條件和結(jié)論帶有否定詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來(lái)推斷；(3)集合法：小范圍可推出大范圍，大范圍不能推出小范圍．【題型示例】題型一、集合的含義與表示、集合的運(yùn)算例1、(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4【解析】由題意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9個(gè)元素，故選A．【答案】A【變式探究】解決集合問(wèn)題的3個(gè)留意點(diǎn)(1)集合含義要明確：構(gòu)成集合的元素及滿(mǎn)意的性質(zhì)．(2)空集要重視：已知兩個(gè)集合的關(guān)系，求參數(shù)的取值，要留意對(duì)空集的探討．(3)“端點(diǎn)”要取舍：要留意在利用兩個(gè)集合的子集關(guān)系確定不等式組時(shí)，端點(diǎn)值的取舍問(wèn)題，肯定要代入檢驗(yàn)，否則可能產(chǎn)生增解或漏解現(xiàn)象．【變式探究】[2024·全國(guó)卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝()A.{x|－1<x<2}B.{x|－1≤x≤2}C.{x|x<－1或x>2}D.{x|x≤－1或x≥2}【命題意圖】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算、一元二次不等式的解法，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力．【答案】B.【解析】∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}，∴?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B.【變式探究】[2024·全國(guó)卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9B.8C.5D.4【命題意圖】本題考查集合中元素的個(gè)數(shù)，考查了學(xué)生的理解實(shí)力與推理實(shí)力．【變式探究】（2024年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，則A.B.{1，3}C.{2，4，5}D.{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】因?yàn)槿?，，所以依?jù)補(bǔ)集的定義得，故選C.【變式探究】（2024年天津卷）設(shè)全集為R，集合，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項(xiàng).【變式探究】（2024年北京卷）設(shè)集合則A.對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，B.對(duì)隨意實(shí)數(shù)a，（2，1）C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2，1）D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2，1）【答案】D【解析】若，則且，即若，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.【變式探究】（2024年江蘇卷）已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由題設(shè)和交集的定義可知：.【變式探究】（2024年北京卷）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，則AB=A.{0，1}B.{–1，0，1}C.{–2，0，1，2}D.{–1，0，1，2}【答案】A【解析】，因此AB=，選A.【變式探究】(1)若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，A∩B＝B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】[－1，＋∞)題型二充分與必要條件的推斷例2、（2024年浙江卷）已知平面α，直線(xiàn)m，n滿(mǎn)意mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，所以依?jù)線(xiàn)面平行的判定定理得，由不能得出與內(nèi)任始終線(xiàn)平行，所以是的充分不必要條件，故選A.【變式探究】（2024年天津卷）設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不重復(fù)條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】肯定值不等式，由.據(jù)此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項(xiàng).【變式探究】(2024·北京卷)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】|a－3b|＝|3a＋b|?|a－3b|2＝|3a＋b|2?a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2?2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0?a⊥b，故選C．【方法技巧】充分、必要條件的3種推斷方法(1)利用定義推斷：干脆推斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在推斷時(shí)，確定條件是什么，結(jié)論是什么．(2)從集合的角度推斷：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問(wèn)題．(3)利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法：條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來(lái)推斷真假．【變式探究】[2024·天津卷]設(shè)θ∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【命題意圖】本題考查了充分條件與必要條件，考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力及推理實(shí)力．【答案】A.【解析】當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)時(shí)，可解得0<θ<eq\f(π,6)，即0<sinθ<eq\f(1,2)，故充分性成立；由sinθ<eq\f(1,2)可取θ＝0，但此時(shí)不滿(mǎn)意條件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)，故必要性不成立．故選A.【變式探究】命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2【答案】D.【解析】由全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題得，命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“?x∈R，?n∈N*，使得n<x2【變式探究】已知命題p：函數(shù)f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；命題q：函數(shù)y＝x2－a在(0，＋∞)上是減函數(shù)．若p且綈q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1，＋∞)B．(－∞，2]C．(1，2]D．(－∞，1]∪(2，＋∞)【答案】C.【解析】由題意可得，對(duì)命題p，令f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；對(duì)命題q，令2－a<0，即a>2，則綈q對(duì)應(yīng)的a的范圍是(－∞，2]．因?yàn)閜且綈q為真命題，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1<a≤2.故選C.題型三命題真假的判定與命題的否定例3、[2024·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)有下面四個(gè)命題p1：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)意z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R.其中的真命題為()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【答案】B【解析】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．對(duì)于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題．對(duì)于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，z＝a＋bi＝biR，所以p2為假命題．對(duì)于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.則z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因?yàn)閍1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．對(duì)于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題，故選B.【變式探究】下列命題正確的是()A．命題“?x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定為“?x∈[0,1]，都有x2－1≤0”B．若命題p為假命題，命題q是真命題，則(綈p)∨(綈q)為假命題C．命題“若a與b的夾角為銳角，則a·b>0”及它的逆命題均為真命題D．命題“若x2＋x＝0，則x＝0或x＝－1”的逆否命題為“若x≠0且x≠－1，則x2＋x≠0”【答案】D【方法技巧】解決命題的判定問(wèn)題應(yīng)留意的3點(diǎn)(1)推斷四種命題真假有下面兩個(gè)途徑，一是先分別寫(xiě)出四種命題，再分別推斷每個(gè)命題的真假；二是利用互為逆否命題是等價(jià)命題這一關(guān)系來(lái)推斷它的逆否命題的真假．(2)要判定一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題，必需對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立．要判定一個(gè)特稱(chēng)(存在性)命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成馬上可．(3)含有量詞的命題的否定，需從兩方面進(jìn)行：一是改寫(xiě)量詞或量詞符號(hào)；二是否定命題的結(jié)論，兩者缺一不行．【變式探究】“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是()A．?x∈R，x2－πx<0 B．?x∈R，x2－πx≤0C．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－πx0≤0 D．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－πx0<0【答案】D【解析】全稱(chēng)命