天津市五區(qū)縣重點(diǎn)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué) 含答案

2024～2025學(xué)年度第二學(xué)期期中重點(diǎn)校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)出題學(xué)校：蘆臺(tái)一中靜海一中一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則A． B． C． D．2．在的展開式中的系數(shù)是A． B． C． D．73．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為A． B． C． D．4．若直線是曲線的一條切線，則的值為A． B． C．2 D．5．已知是的導(dǎo)函數(shù)，且，則的圖象不可能是A． B．C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．7．A．540 B．684 C．756 D．7928．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為A． B．C． D．9．已知函數(shù)，，若函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A． B． C． D．二、填空題（本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）10．若的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則其展開式的第四項(xiàng)系數(shù)為__________．11．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．12．已知函數(shù)，若對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．13．若函數(shù)在處取得極大值，則常數(shù)a的值為__________．14．若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如360，253等都是“凸數(shù)”．用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則在組成的三位數(shù)中“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）15．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題（本題共5小題，共75分）16．（本小題14分）已知，若的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.（1）求的值；（2）求的系數(shù)；（3）求的值.17．（本小題15分）已知曲線.（1）求在處的切線方程.（2）求在內(nèi)的最值.（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（本小題15分）一組學(xué)生共有6人，其中3名男生和3名女生．（1）如果從中選出3人參加一項(xiàng)活動(dòng)，共有多少種選法？（2）如果從中選出男生2人，女生2人，參加三項(xiàng)不同的活動(dòng)，要求每人參加一項(xiàng)且每項(xiàng)活動(dòng)都有人參加的選法有多少種？（3）如果從中選出4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)科競(jìng)賽，其中男生甲不能參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，女生乙不能參加物理競(jìng)賽，共有多少種選法？19．（本小題15分）已知函數(shù).（1）若，判斷的單調(diào)性；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)b的最小值.20．（本小題16分）如果函數(shù)，滿足：對(duì)于任意，，均有（為正整數(shù)）成立，則稱函數(shù)在上具有“級(jí)”性質(zhì).（1）判斷在區(qū)間上是否具有“1級(jí)”性質(zhì)，并說明理由；（2）若在區(qū)間上具有“1級(jí)”性質(zhì)，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上具有“級(jí)”性質(zhì)，求證：對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有成立.

2024～2025學(xué)年度第二學(xué)期期末重點(diǎn)校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）題號(hào)123456789答案DACABCBDD二、填空題（本題共6小題，共5分，共30分）10．11．/12．13．314．1415．三、解答題（本題共5小題，共75分）16．（本小題滿分14分）（1）第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，解得，所以...................................3由（1）知，的展開式中項(xiàng)為：，所以...................................6（3）由（1）知，的展開式中，當(dāng)時(shí)，，..................................7因?yàn)?.................................9所以..................................11當(dāng)時(shí)，，.......................................13所以...................................1417．（本小題滿分15分）（1）因?yàn)椋?，，即切點(diǎn)為，又，所以切線方程為，即..........................3（2），，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞增，..................................5又，，，..................................6所以，...................................7（3）因?yàn)椋?................................8函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，...................................9又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，.........................11所以時(shí)，取得極小值，..................................12又時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，..................................14所以的圖象如下所示：由圖可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為..................................1518．（本小題滿分15分）（1）所有的不同選法種數(shù)，就是從6名學(xué)生中選出3人的組合數(shù)，所以選法種數(shù)為．..................................4（2）從6個(gè)學(xué)生中選2名男生和2名女生的選法有種，將所選四人安排參加三項(xiàng)活動(dòng)的安排方法有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得共有..................................9（3）從6人中任選4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)科競(jìng)賽的安排方法有種方法，其中男生甲被安排到參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的安排方法有種，女生乙被安排到參加物理競(jìng)賽的安排方法有種，男生甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽且女生乙參加物理競(jìng)賽的安排方法有種，所以滿足要求的安排方法有種，..................................1519．（本小題滿分15分）（1）當(dāng)時(shí)，，，，，..................................1記，，則，.....................................2令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，.................................3.所以，∴在單調(diào)遞減...............................4（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?...............................5當(dāng)時(shí)，由，得，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；...............................6當(dāng)時(shí)，由得或；由，得，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；.....................7當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；.......................8當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，......................9綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，...............................10依題意，，即恒成立，令函數(shù)，得，...............................12當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減，...............................13即，...............................14因此，所以b最小值為................................1520．（本小題滿分16分）（1）對(duì)于函數(shù)，由于，所以，故，函數(shù)具有“1級(jí)”性質(zhì)．................................3由于在區(qū)間上具有“1級(jí)”性質(zhì)，不妨設(shè)，所以，故，進(jìn)而，且，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因此在恒成立，故在恒成立，令，則，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，因此單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又，故存在，即，