2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù) 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

2.4二次函數(shù)與冪函數(shù)考點(diǎn)1二次函數(shù)1.二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);零點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)圖象

定義域R值域

遞增區(qū)間

遞減區(qū)間

對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-

對(duì)稱知識(shí)拓展

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[m,n]上的最大(小)值1.當(dāng)-

≤m時(shí),最小值為f(m),最大值為f(n);2.當(dāng)m<-

≤

時(shí),最小值為f

,最大值為f(n);3.當(dāng)

<-

≤n時(shí),最小值為f

,最大值為f(m);4.當(dāng)-

>n時(shí),最小值為f(n),最大值為f(m).考點(diǎn)2冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).2.幾個(gè)常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y=xy=x2y=x3y=

y=x-1圖象

定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(-∞,0)上單調(diào)

遞減,在(0,+∞)

上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在[0,+∞)上單

調(diào)遞增在(-∞,0)和(0,+

∞)上單調(diào)遞減知識(shí)拓展

函數(shù)y=ax+

的定義域、值域與圖象

a>0,b>0a>0,b<0圖象

定義域{x|x∈R,x≠0}{x|x∈R,x≠0}值域(-∞,-2

]∪[2

,+∞)R即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)冪函數(shù)的圖象在四個(gè)象限均有可能出現(xiàn).

(

)(2)當(dāng)冪指數(shù)α=-1時(shí),冪函數(shù)y=xα是減函數(shù).(

)(3)當(dāng)n>0時(shí),冪函數(shù)y=xn在(0,+∞)上是增函數(shù).

(

)(4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)不可能是偶函數(shù).

(

)2.已知二次函數(shù)y=x2-(m-4)x+2m-3,當(dāng)m=

時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)m=

時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)m=

時(shí),函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn).3.已知冪函數(shù)f(x)=k·xα的圖象過點(diǎn)

,則k+α=

.4.若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.××√×42或14(-∞,-3]題型一二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)角度1二次函數(shù)的圖象與解析式典例1已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,則函數(shù)f(x)的圖象可能是

(

)

D解析

由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函數(shù)圖象開口向上,排除A,C;又f(0)=c<0,所以排

除B.故選D.歸納總結(jié)

研究二次函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn):(1)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào);(2)圖象的對(duì)稱軸;(3)圖象經(jīng)過的特殊點(diǎn).變式訓(xùn)練1-1

(多選)下列結(jié)論正確的是(

)A.若二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,-4),(-1,0),(-2,5),則二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3B.若拋物線的頂點(diǎn)為(-2,3),且過點(diǎn)(-1,5),則此拋物線方程為y=2x2+8x+11C.若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,0)和(4,0),且過點(diǎn)

,則二次函數(shù)的解析式為y=-

x2-x-4D.若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(0,3),(12,3),其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,則這個(gè)拋物線的方程為y

=

x2+x+3AB解析

選項(xiàng)A,設(shè)y=ax2+bx+c(a≠0).將(1,-4),(-1,0),(-2,5)代入y=ax2+bx+c,得

解得

所以二次函數(shù)解析式為y=x2-2x-3,A正確;選項(xiàng)B,設(shè)y=ax2+bx+c(a≠0).因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為(-2,3),且過點(diǎn)(-1,5),所以

解得

所以拋物線方程為y=2x2+8x+11,故B正確;對(duì)于C,將x=1代入y=-

x2-x-4,得y=-

≠-

,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,將x=12代入y=

x2+x+3,得y=27≠3,故D錯(cuò)誤.故選AB.角度2一元二次方程根的分布典例2

(2025屆陜西榆林月考,13)已知關(guān)于x的方程x2-(m+1)x+4m2=0的兩根分別在區(qū)間

(0,1),(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.解析

令f(x)=x2-(m+1)x+4m2,根據(jù)題意得

即

解得

則m的取值范圍為

.技巧

解決一元二次方程根的分布情況,確定方程中參數(shù)的取值范圍,主要從以下

三個(gè)方面出發(fā).(1)判別式的符號(hào).(2)對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系.(3)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào).變式訓(xùn)練1-2若方程x2-(2-a)x+5-a=0的兩根都大于2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.(-5,-4]解析

令f(x)=x2-(2-a)x+5-a,可得

即

解得-5<a≤-4.題型二冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)典例3

(多選)(2024山西臨汾月考,9)已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)

是冪函數(shù),對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,滿足

>0.若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值為負(fù)值,則下列結(jié)論可能成立的有

(

)A.a+b>0,ab<0

B.a+b<0,ab>0C.a+b<0,ab<0

D.a+b>0,ab>0BC解析

∵函數(shù)f(x)=(m2-m-1)

為冪函數(shù),∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=

,當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x3.∵對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,滿足

>0,∴函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),故f(x)=x3.易得f(-x)=-f(x),從而函數(shù)f(x)=x3是定義在R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù).又因?yàn)閒(a)+f(b)<0,即f(a)<-f(b)=f(-b),得a<-b,所以a+b<0,排除A,D.①當(dāng)a=0時(shí),b<0,故ab=0;②當(dāng)a>0時(shí),0<a<-b,故b<0,故ab<0;③當(dāng)a<0時(shí),由a<-b知,b<-a,故b<0或b=0或b>0,即ab>0或ab=0或ab<0.綜上可知,a+b<0,且ab>0或ab=0或ab<0.故選BC.變式訓(xùn)練2-1

(2025屆重慶育才中學(xué)開學(xué)考,4)已知冪函數(shù)f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是定義域

上的奇函數(shù),則m=

(

)A.-

或3

B.3

C.

D.-

D解析

由函數(shù)f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是冪函數(shù),得3m2-7m-5=1,解得m=3或m=-

,當(dāng)m=3時(shí),f(x)=x2是R上的偶函數(shù),不符合題意,當(dāng)m=-

時(shí),f(x)=

=

是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)(奇×偶=奇),符合題意,所以m=-

.故選D.變式訓(xùn)練2-2

1.5-3.1,23.1,2-3.1的大小關(guān)系是

(

)A.23.1<2-3.1<1.5-3.1

B.1.5-3.1<23.1<2-3.1C.1.5-3.1<2-3.1<23.1

D.2-3.1<1.5-3.1<23.1D解析

1.5-3.1=

,2-3.1=

.