11.1 用樣本估計總體 課件-2025屆高三數(shù)學三輪專項復(fù)習

11.1用樣本估計總體命題形式本專題內(nèi)容在選擇題、填空題中主要考查抽樣方法、用樣本估計總體的概念等,成對

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析在解答題中考查,題目的文字較多,信息量大,常有新情境出現(xiàn),要提高

閱讀理解與信息處理能力.結(jié)合本專題內(nèi)容特點,備考時需重視知識理論的應(yīng)用,如有關(guān)線性(非線性)回歸、獨立

性檢驗理論的應(yīng)用等.而關(guān)于樣本(以此估計總體)的均值、方差問題則需理解解題思

路與思維方向.考點抽樣方法與總體分布的估計1.簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣的比較類別簡單隨機抽樣分層隨機抽樣特點從總體中逐個抽取將總體分成互不交叉的層,然后

在各層中按同一比例抽樣適用范圍總體個體數(shù)較少總體由差異明顯的幾部分組成共同點(1)抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等;(2)一般是不放回抽樣相互聯(lián)系分層隨機抽樣中,各層抽樣時采用簡單隨機抽樣2.統(tǒng)計圖表(1)常見統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等.(2)畫頻率分布直方圖的步驟①求極差;②決定組數(shù)與組距;③將數(shù)據(jù)分組;④列出頻率分布表;⑤畫出頻率分布直方圖.3.樣本的數(shù)字特征(1)百分位數(shù)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟①按從小到大的順序排列原始數(shù)據(jù);②計算i=n×p%;③若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百

分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).注意

中位數(shù)是第50百分位數(shù).(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)最高的小長方形下底邊中點的橫

坐標中位數(shù)將數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)

的順序依次排列,處在最中間位

置的一個數(shù)據(jù)(或中間兩個數(shù)據(jù)

的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分為左右兩

個面積相等的部分時,分界線與x

軸交點的橫坐標平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小長方形的面積與小長方形

下底邊中點的橫坐標乘積之和(3)方差和標準差方差:s2=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2]=

(xi-

)2或

-

.標準差:s=

=

(4)利用比例分配的分層(兩層)隨機抽樣獲得的樣本中,第一層的樣本量為n1,均值為

,方差為

;第二層的樣本量為n2,均值為

,方差為

.則總的樣本均值為

=

+

,總的樣本方差為s2=

[

+(

-

)2]+

[

+(

-

)2].如果樣本量是按比例分配的,第1,2,3層的樣本量分別為l,m,n,各層的樣本平均數(shù)分別為

,

,

,則總的樣本均值為

+

+

.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)分層隨機抽樣中,每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).

(

)(2)對一組數(shù)據(jù)來說,平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.

(

)(3)頻率分布直方圖中,小矩形的面積越大,表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.

(

)(4)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)一定不是原數(shù)據(jù)的數(shù).

(

)××√×2.完成下列兩項調(diào)查:①從某社區(qū)125戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、95戶低收

入家庭中選出100戶,調(diào)查社會購買能力的某項指標.此調(diào)查宜采用的抽樣方法是

.②從某中學的15名藝術(shù)特長生中選出3名調(diào)查學習負擔情況.此調(diào)查宜采用的抽樣方法

是

.3.數(shù)據(jù)12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位數(shù)是

.分層隨機抽樣簡單隨機抽樣234.某廠有A、B兩條生產(chǎn)線制造同一型號可充電電池,現(xiàn)采用比例分配的分層隨機抽樣

法,從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機抽取20件成品,測試產(chǎn)品可充電次數(shù)的均值及方

差,結(jié)果如表:項目抽取成品數(shù)樣本均值樣本方差A(yù)生產(chǎn)線產(chǎn)品82101B生產(chǎn)線產(chǎn)品122001則20個產(chǎn)品組成的總樣本的方差為

.25題型一抽樣方法典例1已知某班共有學生46人,該班語文老師為了了解學生每天閱讀課外書籍的時長

情況,決定利用隨機數(shù)法從全班學生中抽取10人進行調(diào)查.將46名學生按01,02,…,46進

行編號.現(xiàn)提供隨機數(shù)表的第7行至第9行:844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556571998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數(shù)據(jù),每行結(jié)束后,下一行依然從左向右讀

數(shù),則得到的第8個樣本編號是

.44解析

由題意可知,得到的樣本編號依次為12,06,01,16,19,10,07,44,39,38,則得到的第8個樣本

編號是44.變式訓(xùn)練1-1

(結(jié)論拓展變式)(多選)(2024廣東中山紀念中學二調(diào),9)某單位為了解職

工體重情況,采用分層隨機抽樣的方法從800名職工中抽取了一個容量為80的樣本.其

中,男性平均體重為64千克,方差為151;女性平均體重為56千克,方差為159,男女人數(shù)之

比為5∶3,下列說法正確的是

(

)A.樣本容量為800B.每一位職工被抽中的可能性為

C.該單位職工平均體重為61千克D.該單位職工體重的方差為169BCD解析

樣本容量為80,A錯誤;每一位職工被抽中的可能性為

=

,B正確;由題意知該單位職工的平均體重=

×64+

×56=61千克,C正確;該單位職工體重的方差=

×[151+(64-61)2]+

×[159+(56-61)2]=169,D正確.故選BCD.題型二統(tǒng)計圖表典例2某調(diào)查機構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進行調(diào)查統(tǒng)計,得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡

分布餅狀圖(圖1)、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖(圖2),則下列結(jié)論中錯誤的

是

(

)

DA.快遞行業(yè)從業(yè)人員中,“90后”占一半以上B.快遞行業(yè)從業(yè)人員中,從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C.快遞行業(yè)從業(yè)人員中,從事運營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多D.快遞行業(yè)從業(yè)人員中,從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多解析

由題圖可知,快遞行業(yè)從業(yè)人員中,“90后”占總?cè)藬?shù)的56%,超過一半,因此A正確;快遞行業(yè)從業(yè)人員中,從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為56%×39.6%=22.176%,超過20%,∴快遞行業(yè)從業(yè)人員中,從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%,因此B正

確;快遞行業(yè)從業(yè)人員中,從事運營崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為56%×17%

=9.52%,超過“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比,因此C正確;由B可知快遞行業(yè)從業(yè)人員中,從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為22.176%,小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比,但“80后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占

“80后”人數(shù)的百分比未知,因此D錯誤.故選D.變式訓(xùn)練2-1

(關(guān)鍵元素變式)(多選)(2024山東部分學校調(diào)研,10)據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站2023

年9月15日消息,8月份,社會消費品零售總額為37933億元,同比增長4.6%(同比一般

情況下是指本年第N月與去年的第N月比).其中,除汽車以外的消費品零售額為33820

億元,增長5.1%.1—8月份,社會消費品零售總額為302281億元,同比增長7.0%.其中,除

汽車以外的消費品零售額為271888億元,增長7.2%.2022年8月至2023年8月社會消費

品零售總額同比增速如下:則下列說法正確的是

(

)A.2023年1—8月份,社會消費品零售總額的月平均值約為25422.6億元B.2022年8月份,社會消費品零售總額約為36264.8億元C.除掉2022年8月至2023年8月社會消費品零售總額同比增速數(shù)據(jù)的最大值和最小值

所得數(shù)據(jù)的標準差比原數(shù)據(jù)的標準差小D.2022年8月至2023年8月社會消費品零售總額同比增速數(shù)據(jù)的極差比中位數(shù)的8倍還

多BC解析

對于A,由2023年1—8月份,社會消費品零售總額為302281億元,可得社會消費品零售總

額的月平均值約為

≈37785.1億元,因此A錯誤;對于B,由2023年8月份社會消費品零售總額為37933億元,同比增長4.6%,可得2022年8月份,社會消費品零售總額約為

≈36264.8億元,因此B正確;對于C,由題圖可知去掉-5.9,18.4數(shù)據(jù)更集中,標準差相對于原數(shù)據(jù)來說變小了,因此C正確;對于D,極差為18.4%-(-5.9%)=24.3%,中位數(shù)為

=3.3%,3.3%×8=26.4%,24.3%<26.4%,因此D錯誤.故選BC.題型三樣本數(shù)字特征的估計1.頻率分布直方圖有以下幾個特點:(1)縱軸表示頻率/組距;(2)頻率分布直方圖中各個

小矩形高的比就是相應(yīng)各組的頻率之比;(3)頻率分布直方圖中各小矩形的面積是相應(yīng)

各組的頻率,所有小矩形的面積之和等于1,即頻率之和為1.2.用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征(1)平均數(shù):

=

xiSi(xi表示第i個小矩形底邊中點的橫坐標,Si表示第i個小矩形的面積).(2)方差:s2=

(xi-

)2·Si.(3)眾數(shù):最高小矩形底邊中點的橫坐標.(4)中位數(shù):把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分時,分界線與橫軸交點的

橫坐標.(5)百分位數(shù):類比中位數(shù),百分位數(shù)所在直線把頻率分布直方圖劃分為左右兩個部分,

左邊所有矩形的面積和為p%.中位數(shù)是第50百分位數(shù).求解公式:已知頻率分布直方圖的組距為d.①找出百分位數(shù)所在的矩形區(qū)間[a,b);②第p百分位數(shù)=a+d·

.典例3為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨

機分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每

只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出

殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如圖所示的直方圖:

記C為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值

為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為

代表).解析

(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.變式訓(xùn)練3-1

(2025屆重慶長壽中學開學考,6)近幾年,我國新能源汽車行業(yè)呈現(xiàn)一片

生機勃勃的景象.電動汽車因其智能性與操控感越來越被人們接受與認可,尤其是其輔

助駕駛功能.某品牌電動汽車公司為了更好地了解車主使用輔助駕駛功能的情況,進行

了問卷調(diào)查,從中抽取了100位車主進行抽樣分析,分析100位車主在100次駕駛途中使

用輔助駕駛功能的次數(shù),得到如下頻率分布直方圖(60次及以上的稱為經(jīng)常使用輔助駕

駛功能),則下列結(jié)論錯誤的是(

)DA.b=0.005B.估計車主在100次駕駛途中使用輔助駕駛功能的次數(shù)的平均數(shù)低于70C.從這100位車主中隨機選取一位車主,則這位車主經(jīng)常使用輔助駕駛功能的概率約為

D.按照“經(jīng)常使用輔助駕駛功能”的人與“不經(jīng)常使用輔助駕駛功能”的人進行分

層隨機抽樣,從這100人中抽取12人,則在經(jīng)常使用輔助駕駛功能的人中應(yīng)抽取8人解析

對于A,由頻率分布直方圖可得2b+0.015+0.020+0.025+0.030=0.1,解得b=0.005,因此A正確;對于B,使用輔助駕駛功能的次數(shù)的平均數(shù)為45×0.005×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.030×10+85×0.015×10+95×0.005×10=69.5,因此B正確;對于C,使用輔助駕駛功能的次數(shù)不少于60的頻率為1-(0.005+0.020)×10=0.75,因此C正

確;對于D,“經(jīng)常使用輔助駕駛功能”的人與“不經(jīng)常使用輔助駕駛功能”的人的頻率

之比為

∶

=3∶1,故從這100人中抽取12人,則在經(jīng)常使用輔助駕駛功能的人中應(yīng)抽取

×12=9人,因此D錯誤.故選D.題型四總體數(shù)字特征的估計典例4某市為了解新高三學生的數(shù)學學習情況,以便為即將展開的一輪復(fù)習提供準確

的數(shù)據(jù),在開學初該市教體局組織高三學生進行了一次摸底考試,現(xiàn)從參加考試的學生

中隨機抽取200名,根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果,將他們的數(shù)學成績(滿分150分)分為[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]共8組,得到如圖所示的頻率分

布直方圖.(1)設(shè)事件A=“從參加考試的學生中隨機抽取1名學生,該學生的成績不低于110分”,

估計事件A發(fā)生的概率;(用頻率估計概率)(2)利用所給數(shù)據(jù)估計本次數(shù)學考試成績的平均數(shù)及方差(各組數(shù)據(jù)以其中點值作代表).參考數(shù)據(jù):(x1-

)2=998.56,(x2-

)2=466.56,(x3-

)2=134.56,(x4-

)2=2.56,(x5-

)2=70.56,(x6-

)2=338.56,(x7-

)2=806.56,(x8-

)2=1474.56,其中xi(i=1,2,…,8)為第i組數(shù)據(jù)的中點值.

解析

(1)∵(0.004+0.008+0.016+0.034+m+0.008+0.004+0.002)×10=1,∴m=0.024,故估計事件A發(fā)生的概率為(0.024+0.008+0.004+0.002)×10=0.38.(2)估計本次數(shù)學考試成績的平均數(shù)為(75×0.004+85×0.008+95×0.016+105×0.034+115×0.024+125×0.008+135×0.004+145×0.002)×10=106.6,估計本次數(shù)學考試成績的方差為(998.56×0.004+466.56×0.008+134.56×0.016+2.56×0.034+70.56×0.024+338.5