新課改瘦專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第三節(jié)直線平面平行的判定與性質(zhì)講義含解析

PAGEPAGE8第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)突破點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al([基本學(xué)問])直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)l∥a，a?α，l?α?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)l∥α，l?β，α∩β＝b?l∥beq\a\vs4\al([基本實(shí)力])一、推斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有多數(shù)條．()(3)空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則EF∥平面BCD.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空題1．若兩條直線都與一個(gè)平面平行，則這兩條直線的位置關(guān)系是________________．答案：平行、相交或異面2．若直線a∩直線b＝A，a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是____________________．解析：因?yàn)閍∥α，∴a與平面α沒有公共點(diǎn)，若b?α，則A∈α，又A∈a，此種狀況不行能．∴b∥α或b與α相交．答案：b∥α或b與α相交3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．答案：平行eq\a\vs4\al([全析考法])考法一線面平行的判定[例1]如圖，空間幾何體ABCDFE中，四邊形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分別為棱BE，DF的中點(diǎn)．求證：PQ∥平面ABCD.[證明]法一：如圖，取AE的中點(diǎn)G，連接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG?平面ABCD，BA?平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，又GQ?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因?yàn)镻G∩GQ＝G，PG?平面PQG，GQ?平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ?平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.法二：如圖，連接EQ并延長，與AD的延長線交于點(diǎn)H，連接BH.因?yàn)镋F∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.又PQ?平面ABCD，BH?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.考法二線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[例2]如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.[證明]如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥MO.又MO?平面BMD，AP?平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP?平面PAHG，∴AP∥GH.eq\a\vs4\al([方法技巧])線面平行問題的解題關(guān)鍵(1)證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、找尋比例式證明兩直線平行．(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)須要經(jīng)過已知直線作協(xié)助平面來確定交線．eq\a\vs4\al([集訓(xùn)沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．證明：C1F∥平面ABE.證明：取AC的中點(diǎn)M，連接C1M，F(xiàn)M，在△ABC中，F(xiàn)M∥AB，而FM?平面ABE，AB?平面ABE，∴FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，E，M都是中點(diǎn)，∴C1M∥AE，而C1M?平面ABE，AE?平面ABE，∴C1M∥平面ABE，∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，又C1F?平面FMC1，故C1F∥平面ABE.2.eq\a\vs4\al([考法二])如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的隨意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.證明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.突破點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al([基本學(xué)問])平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(線面平行?面面平行)a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α?α∥β性質(zhì)定理假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥beq\a\vs4\al([基本實(shí)力])一、推斷題(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．()(2)若一個(gè)平面內(nèi)有多數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．()(3)假如兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()(4)若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、填空題1．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ.其中能推出α∥β的條件是________．(填上全部正確的序號(hào))答案：②2．已知平面α∥β，直線a?α，有下列命題：①a與β內(nèi)的全部直線平行；②a與β內(nèi)多數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的隨意一條直線都不垂直．其中真命題的序號(hào)是________．解析：由面面平行和線面平行的性質(zhì)可知，過a與β相交的平面與β的交線才與a平行，故①錯(cuò)誤；②正確；平面β內(nèi)的直線與直線a平行，異面均可，其中包括異面垂直，故③錯(cuò)誤．答案：②3.如圖，α∥β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.解析：∵α∥β，∴CD∥AB，則eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA×CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)[典例]如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.證明：平面ABF∥平面DCE.[證明]法一：應(yīng)用面面平行的判定定理證明因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF，因?yàn)锳F?平面DCE，DE?平面DCE，所以AF∥平面DCE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB∥CD，因?yàn)锳B?平面DCE，所以AB∥平面DCE，因?yàn)锳B∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE.法二：利用兩個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行證明因?yàn)镈E⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，所以DE∥AF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AB∥CD.又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，所以平面ABF∥平面DCE.法三：利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行證明因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC，又DE∩DC＝D，所以AD⊥平面DEC.同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.[方法技巧]判定面面平行的4種方法(1)利用定義：即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．[針對訓(xùn)練]1．(2024·南昌模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P-ABM的體積．解：(1)證明：∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥PA.∵M(jìn)N?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴點(diǎn)M到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離．由AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝eq\r(3)，∴三棱錐P-ABM的體積V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3).2．(2024·西安調(diào)研)如圖，在多面體ABCDEF中，AD∥BC，AB⊥AD，F(xiàn)A⊥平面ABCD，F(xiàn)A∥DE，且AB＝AD＝AF＝2BC＝2DE＝2.(1)若M為線段EF的中點(diǎn)，求證：CM∥平面ABF；(2)求多面體ABCDEF的體積．解：(1)證明：取AD的中點(diǎn)N，連接CN，MN，∵AD∥BC且AD＝2BC，∴AN∥BC且AN＝BC，∴四邊形ABCN為平行四邊形，∴CN∥AB.∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，∴MN∥AF.又CN∩