第11講柱錐臺的體積（核心考點講與練）-高二數學考試滿分全（滬教版2020必修三）

第11講柱、錐、臺的體積（核心考點講與練）考點考點考向名稱幾何體體積柱體(棱柱和圓柱)V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h方法技巧方法技巧求體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算割補法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換能力拓展能力拓展題型一：柱體體積的有關計算一、填空題1．（2021·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學高二階段練習）《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現有一個如圖所示的曲池，其高為3，垂直于底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧AD長度為弧BC長度的2倍，且CD=2，則該曲池的體積為_________.【答案】【分析】利用柱體體積公式求體積.【詳解】解：不妨設弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長度為弧BC長度的2倍可知，，即、.故該曲池的體積.故答案為：2．（2021·上海奉賢區(qū)致遠高級中學高二期中）若圓柱的底面半徑是1，母線長為2，則這個圓柱的體積是___________.【答案】【分析】直接根據圓柱的體積公式計算即可得出答案.【詳解】解：圓柱的母線長即為圓柱的高，則這個圓柱的體積.故答案為：3．（2021·上海市徐匯中學高二期中）一矩形的一邊在軸上，另兩個頂點在函數的圖象上，則此矩形繞軸旋轉一周而成的幾何體的體積的最大值為_______________【答案】【分析】由題意知該幾何體是圓柱，，設（），則，利用復合函數的單調性得出的單調性，得出最大值，設，則，是方程的兩個解，由韋達定理求得，然后可用表示出圓柱的體積，從而求得最大值．【詳解】如圖，由題意知該幾何體是圓柱，，記（），則，，由勾形函數性質知在上遞減，在上遞增，又，所以在上遞增，在上遞減，所以，，設，則，由，得，，，，圓柱體積為，所以，即時，．故答案為：．4．（2021·上海市寶山中學高二階段練習）圓柱的母線長為4cm，底面半徑為2cm，則體積為_____________.【答案】【分析】利用圓柱的體積公式直接計算即得.【詳解】因圓柱的母線長為4cm，底面半徑為2cm，則圓柱的體積()，所以所求體積為.故答案為：5．（2021·上海市甘泉外國語中學高二期中）一個正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則該正四棱柱的體積為________．【答案】16【分析】根據棱柱的體積公式直接計算即可.【詳解】由題可得該正四棱柱的體積為.故答案為：16.6．（2021·上?！らh行中學高二期中）底面半徑為3，高為4的圓柱體積為________．【答案】【分析】直接根據圓柱的體積公式計算可得；【詳解】解：因為圓柱的底面半徑為3，高為4，所以圓柱的體積故答案為：二、解答題7．（2021·上海浦東新·高二期中）一張A4紙的規(guī)格為：，把它作為一個圓柱的側面，求卷成的圓柱體的體積.（精確到）【分析】分以的邊為高，和以的邊為高，兩種情況討論，分別求出對應底面圓的半徑，代入圓柱的體積公式即可得解.【詳解】解：①如果以的邊為高，，，此時圓柱體的體積為.②如果以的邊為高，，，此時圓柱體的體積為.8．（2021·上海市進才中學高二期中）正四棱柱，的底面邊長，若異面直線與所成角的大小為，求正四棱柱的側面積和體積.【答案】.【分析】首先根據異面直線所成的角，求，再求正四棱柱的側面積和體積.【詳解】，面直線與所成角是，，，，正四棱柱的側面積，體積V=2×2×4=16題型二：錐體體積有關計算一、填空題1．（2021·上海市建平中學高二階段練習）若一個四面體各棱長為2或4，且該四面體不是正四面體，在所有可能的四面體中，計算四面體的體積，請寫出兩個符合條件的四面體的體積________（不必寫出所有符合條件的四面體的體積）【答案】，（答案不唯一，，，三個任寫兩個即可）【分析】2和4可以構成的三角形有：邊長為2的正三角形，邊長為4的正三角形，邊長為2，4，4的三角形，則四面體可以是：一個底面邊長為2的正三角形，側棱長均為4的正三棱錐；四個2，4，4的三角形拼成的三棱錐；兩個邊長為4的正三角形和兩個2，4，4的三角形拼成的三棱錐．【詳解】解：①若底邊長為4，4，4，側棱長為4，4，2；設，的中點為，則，，平面，，，，．．②若底邊長為2，2，2，側棱長為4，4，4；設底面中心為，則，棱錐的高，．③若底面邊長為4，4，1，側棱長為4，4，1，設，其余各棱長均為4，由①可知，，．故答案為：，．（答案不唯一，，，三個任寫兩個即可）2．（2021·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學高二階段練習）如圖，在直三棱柱中，點M、N分別為、中點，由點A、M、N所確定的平面將該三棱柱分成體積不同的兩部分，則較大部分的體積和原三棱柱的體積之比為_________.【答案】【分析】延長與的交點為，與的交點為，連結交為，連結，得到截面為，由題意得，由此能求出較小部分與較大部分的體積之比，即可得解．【詳解】解：延長與的交點為，與的延長線交于點為，連結交為，連結，即可得到截面為，由題意得，因為三棱柱是直三棱柱，不妨設，且，，，，，棱柱體積，下部分體積，上部分體積，較小部分與較大部分的體積之比為：．所以較大部分的體積與原三棱柱的體積之比為故答案為：．3．（2021·上海市洋涇中學高二階段練習）若正四面體的棱長為1，則它的體積為___________．【答案】【分析】求得正四面體的高，由此求得正四面體的體積.【詳解】設是正四面體底面的中心，則平面，且，所以,，所以正四面體的體積為.故答案為：4．（2021·上?！じ裰轮袑W高二期中）如圖，已知斜三棱柱的體積是12，點P為棱上任意一點，則四棱錐的體積為______．【答案】8【分析】利用等體積法證明四棱錐的體積與斜三棱柱的體積的關系，即可得解.【詳解】故答案為：85．（2021·上海中學高二期中）的三邊，，，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，沿DF、EF、ED將，，折起，使得A、B、C重合于P，則四面體P?DEF的體積為______【答案】【分析】由折起成四面體的過程知，四面體相對棱等長，將其補形成長方體，利用割補法即可得解.【詳解】因四面體相對棱等長，則該四面體的每一組相對棱可作為一個矩形的兩條對角線，從而把四面體補形成長方體，如圖：，設，則有，解得，，所以四面體的體積.故答案為：二、解答題6．（2022·上海市行知中學高二期中）如圖，在直三棱柱中，已知，，.(1)求四棱錐的體積；(2)求直線與平面所成的角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意可證面，則四棱錐的體積為，即可得到答案.（2）取的中點為，連接，，可證得為直線與平面所成的角，設為，則，即可得到答案.(1)由題意知，三棱柱為直三棱柱，故面面，，面面(2)取的中點為，連接，

由題意知面，面為等腰直角三角形，為的中點面面為直線與平面所成的角，設為故直線與平面所成的角的余弦值為.7．（2021·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學高二階段練習）如圖為正四棱錐PABCD，PO⊥平面ABCD，BC=3，PO=2.(1)求正四棱錐PABCD的體積；(2)求正四棱錐PABCD的表面積.【答案】(1)6；(2)24.【分析】（1）根據題意，結合錐體體積公式，即可求解；（2）根據題意，結合棱錐表面積求法，即可求解.(1)根據題意，得.(2)如圖所示，作的中點，連接，，則，故正四棱錐PABCD的表面積.題型三：臺體體積有關計算一、單選題1．（2021·上海大學附屬南翔高級中學高二期中）“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”是以我國哪位數學家命名的數學原理（）A．楊輝 B．劉微 C．祖暅 D．李淳風【答案】C【分析】由題意可得求不規(guī)則幾何體的體積的求法，即運用祖暅原理.【詳解】“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果兩個截面面積仍然相等，那么這兩個幾何體的體積相等”，這就是以我國數學家祖暅命名的數學原理，故選C.【點睛】本題考查祖暅原理的理解，考查空間幾何體體積的求法，考查對概念的理解，屬于基礎題.二、填空題2．（2021·上海中學高二期中）已知正四棱臺的側棱長為3，兩底面邊長分別為2和4，則該四棱臺的體積為______【答案】【分析】根據正四棱臺的性質求出高，即可由體積公式求出.【詳解】如圖，正四棱臺中，設下底面中心為，上底面中心為,則即為四棱臺的高，過作，則,在中，，則，又，所以該四棱臺的體積為.故答案為：.3．（2021·上海交大附中高二期中）如圖，，，，，那么直角梯形繞直線旋轉一周形成的幾何體的體積為___________.【答案】【分析】分析可知幾何體為圓臺，利用臺體體積公式可求得結果.【詳解】直角梯形繞直線旋轉一周形成的幾何體為圓臺，且該圓臺上底面圓的面積為，下底面面積為，圓臺的高為，因此，該幾何體的體積為.故答案為：.4．（2021·上海市行知中學高二期中）已知三棱臺的上底面的面積是，下底面的面積是，高是，則三棱錐的體積是___．【答案】【分析】連接、、，三棱臺可分割為三棱錐，三棱錐，三棱錐，求出棱臺的體積減去，再減去即可求解.【詳解】如圖三棱臺中，，，棱臺的高，連接、、，則三棱臺可分割為三棱錐，三棱錐，三棱錐，由棱臺體積公式可得，，，所以，故答案為：.三、解答題5．（2021·上海·高二專題練習）如圖，我們知道，圓錐是（及其內部）繞所在的直線旋轉一周形成的幾何體.我們現將直角梯形（及其內部）繞所在的直線旋轉一周形成的幾何體稱為圓臺.設的半徑為，的半徑為，.（1）求證：圓臺的體積；（2）若，，，求圓臺的表面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據三角形相似，得出，利用兩個圓錐體積之差可得圓臺的體積；（2）利用大圓錐的側面積減去小圓錐的側面積可得圓臺的側面積，再加上圓臺的底面積即可.【詳解】（1）證明：∵，∴，解得，∴.（2）在中，過點作，是垂足，則在中，，，∴，∴，，所以該圓臺的表面積.【點睛】本題主要考查圓臺的體積公式證明及表面積的求解，明確圓臺與圓錐間的關系是解題的關鍵，側重考查邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng).鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上?！じ裰轮袑W高二期中）定義：24小時內降水在平地上積水厚度（）來判斷降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.2．（2021·上海市松江二中高二期中）已知直三棱柱的各棱長均相等，體積為，為中點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三棱柱的體積求出棱長，設到平面的距離為，利用以及棱錐的體積公式即可求解.【詳解】直三棱柱的各棱長均相等，設棱長為，因為體積為，所以，解得：，設點到平面的距離為，因為，，所以中，邊上的高為，則，取的中點，連接，則，因為面，面，所以，因為，所以面，在中，，由，即，即，解得：，故點到平面的距離為，故選：A.二、填空題3．（2021·上海市延安中學高二期中）已知長方體，體積為48，在棱分別取中點，則三棱錐的體積為__________.【答案】1【分析】根據題意，結合長方體和三棱錐的體積公式，即可求解.【詳解】根據題意，設，，，因為長方體體積為48，所以，因此三棱錐的體積.故答案為：1.4．（2021·上海市行知中學高二期中）若圓錐的底面周長為，側面積也為，則該圓錐的體積為__________________．【答案】.【分析】根據底面圓周長求出底面圓半徑，根據側面積求得圓錐的母線，由勾股定理可得圓錐的高，再由圓錐的體積公式即可求解.【詳解】設圓錐底面圓半徑，母線長為，因為圓錐的底面周長為，側面積也為，所以，，解得：，，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為故答案為：.5．（2021·上海市金山中學高二期末）若四面體各棱的長是或，且該四面體不是正四面體，則其體積是_______（只需寫出一個可能的值）【答案】或或(寫出其中一個即可)【分析】考慮一條邊為1，兩條邊為1，三條邊為1三種情況，如圖所示，分別利用體積公式，和利用長方體體積減去四個三棱錐的體積，計算得到答案.【詳解】一條邊為1，其余邊為2時，如圖1，不妨設，中點為，連接，作于，易知，，，故平面，平面，故，又，，故平面，易知，，故，.當有兩條邊為1時，只能時對邊為1，如圖2，不妨設設對應長方體的長寬高分別為：，則，解得，故.當有三條邊為1時，只能是底邊三條邊為1，如圖3所示，是中點，連接，故于，易知，，，故平面，平面，故，又，，故平面，易知，，，故，.其他情況不滿足.故答案為：或或(寫出其中一個即可)6．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二期中）已知三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且它們的長度分別為1，1，，則此三棱錐的高為_________．【答案】【分析】將圖形還原為長方體，進而通過等積法得到答案.【詳解】如圖1，將三棱錐PABC還原為長方體PADBCQRS，由題意可知，，設P到平面ABC的距離為d，如圖2，M為BA中點，則CM⊥BA，由勾股定理可知，，所以，所以，由.故答案為：.7．（2021·上海市吳淞中學高二階段練習）若圓錐的側面積為，且母線與底面所成角的余弦值為，則該圓錐的體積為___________.【答案】【分析】設出圓錐的母線與底面半徑，通過圓錐的側面積為，且母線與底面所成的角的余弦值為，求出半徑與母線，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【詳解】解：設圓錐的母線為l，底面半徑為r，因為圓錐的側面積為，且母線與底面所成的角的余弦值為，所以，，所以r＝4，l＝5，圓錐的高為：3，所以圓錐的體積為：．故答案為：．8．（2021·上海師范大學附屬外國語中學高二階段練習）一矩形的一邊在軸上，另兩個頂點在函數的圖象上，則此矩形繞軸旋轉而成的幾何體的體積的最大值為___________.【答案】【分析】設矩形在上的兩個項點坐標為，利用是關于的方程的兩根，求得，然后同體積公式得，結合二次函數知識得最大值．【詳解】設矩形在上的兩個項點坐標為，由，知是方程的兩個根.，，，，當且僅當時，.故答案為：．9．（2021·上海市亭林中學高二期中）設等邊的邊長為，是內的任意一點，且到三邊，，的距離分別為，，，則有為定值；由以上平面圖形的特性類比空間圖形：設正四面體的棱長為，是正四面體內的任意一點，且到四個面、、、的距離分別為，，，，則有為定值________.【答案】【分析】設底面三角形的中心為，求出正四面體的體積，根據類比思想以及正四面體體積公式，結合分割法求結果，由，即可求出結果.【詳解】設底面三角形的中心為，則，故棱錐的高.∴正四面體的體積.又，∴，則.故答案為：．10．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二期中）在棱長為的正方體中，分別是棱上的動點，且，則三棱錐的體積的最大值為_______．【答案】【分析】設.根據體積的表達式，只需求出的最大值，建立，利用二次函數求出最大值，即可求解.【詳解】設.因為，所以當取得最大值時,三棱錐的體積取得最大值.因為,所以當時,即E,F分別是棱AB,BC的中點時,三棱錐的體積取得最大值，此時.故答案為：11．（2021·上海市亭林中學高二期末）若正三棱錐底面邊長為2，側棱與底面所成的角為，則其體積為_______．【答案】【分析】欲求正三棱錐的體積，先求正三棱錐的高，由題意，頂點在底面中的射影是底面的中心，從而利用側棱與底面所成角為角，可求高，從而得解.【詳解】解：先求正三棱錐的高，由題意，頂點在底面中的射影是底面的中心，為側棱與底面所成角，，從而有高，又底面積，所以正三棱錐的體積.故答案為：.三、解答題12．（2021·上海市金山中學高二期中）如圖，有一塊三棱錐形木塊ABCD，其中面ABC內有一點P．(1)若要在面ABC內過點P畫一條線段EF，其中點E在線段AB上，點F在線段AC上，且滿足EF與AD垂直，該如何求作？請在圖中畫出線段EF并說明畫法，不必證明．(2)經測量，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝，若P恰為三角形ABC的重心，EF為（1）中所求線段，求三棱錐ADEF的體積．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）在AD上任取一點Q；過點Q在平面ABD內作AD的垂線，交AB于G；過點Q在平面ACD內作AD的垂線，交AC于H；連接GH，若GH過點P，則GH就是所求線段EF；若GH不過點P，則過點P作GH的平行線，與AB、AC相交即得線段EF.（2）取BC中點M，連MA、MD，由余弦定理求得，根據線面垂直的判定證得面MAD，由已知得三棱錐ADEF的體積為三棱錐ABCD體積的，根據棱錐的體積公式可求得答案.(1)解：如圖，在AD上任取一點Q；過點Q在平面ABD內作AD的垂線，交AB于G；過點Q在平面ACD內作AD的垂線，交AC于H；連接GH，若GH過點P，則GH就是所求線段EF；若GH不過點P，則過點P作GH的平行線，與AB、AC相交即得線段EF.(2)解：取BC中點M，連MA、MD，因為P為三角形ABC的重心，故P在AM上，且AP=2PM.由題意知，AB＝AC＝6cm，AD＝5cm，∠BAC＝60°，∠BAD＝∠CAD＝，所以，所以，，故面MAD，于是，故三棱錐ADEF的體積為三棱錐ABCD體積的，由題意得，在中，，所以，所以所以.13．（2021·上?！の挥袑W高二期中）在立體幾何講授圓錐之前，為了讓同學們對圓錐有直觀的認識，善于動手的老師準備用鐵皮自制一個無蓋的圓錐形密封容器.(1)如果老師希望得到的容器的尺寸如下如圖所示，請問老師事先至少需要購買的鐵皮的面積（假設購買的鐵皮能沒有損失地利用）；(2)當老師聚精會神做好該密封容器后，發(fā)現正在下雨，猛然想起氣象學上用24小時內的降水在平地上的積水厚度（）來判斷降雨程度，其中小雨（<10）?中雨（1025）?大雨（2550）?暴雨（50~100），勤于思考的老師用剛剛做好的這個圓錐形容器接了24小時的雨水，得到雨水數據如圖所示，請你幫他判斷一下這天降雨屬于哪個等級？并請說明你的理由.【答案】(1)(2)中雨，理由見解析【分析】（1）設母線為，結合勾股定理求出，再結合側面積為計算即可；（2）結合相似三角形求出此時雨水所對應圓錐的底面半徑，再結合圓錐體積等于底面半徑為的大圓柱體積，求出此時圓柱的高，即可求解.(1)設母線為，則，則；(2)當雨水在容器中高度為時，所對應底面半徑，此時圓錐體積為，設相同體積和底面半徑為的圓柱的高為，則有，結合得，故這天的降雨屬于中雨.14．（2021·上海大學附屬南翔高級中學高二期中）已知四邊形為直角梯形，為等腰直角三角形，平面平面，E為的中點，．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）取中點F，連接EF，CF，通過證明四邊形是平行四邊形得出即可；（2）通過證明結合可說明；（3）求出點E到平面PBD的距離，即可通過體積公式求解.【詳解】（1）取中點F，連接EF，CF，則且，由題可得且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）由題意，，滿足，，又平面平面，平面，，又，，平面；（3）由（2）得平面，又E為的中點，所以點E到平面PBD的距離為AB的一半，設為，，為等腰直角三角形，,則,.15．（2021·上海市延安中學高二期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產和游牧生活.蒙古包古代稱作穹廬、“氈包”或“氈帳”，如圖1所示.一個普通的蒙古包可視為一個圓錐與一個圓柱的組合，如圖2所示.已知該圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面直徑為6米.

圖1

圖2（1）求該蒙古包的側面積；（2）求該蒙古包的體積.【答案】（1）平方米；（2）立方米.【分析】（1）結合圓錐的側面積和圓柱的側面積公式即可直接求解；（2）結合圓錐的體積和圓柱的體積公式即可直接求解.【詳解】由題意可知米，米，米，米.（1）圓錐部分的側面積平方米.圓柱部分的側面積平方米.故該蒙古包的側面積平方米.（2）圓錐部分的體積立方米，圓柱部分的體積立方米.故該蒙古包的體積立方米.故答案為：（1）平方米；（2）立方米.16．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二階段練習）在長方體中，已知，，.（1）求三棱錐的體積；（2）若點是線段上一點，且，求三棱錐的體積；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用等體積法可求得三棱錐的體積；（2）分析得出，可得出，利用錐體體積公式即可得解；（3）由已知可得，利用長方體和錐體的體積公式可求得結果.【詳解】（1）；（2），則，所以，；（3）.17．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二階段練習）如圖，是圓柱的一條母線，過底面圓心，是圓上一點.已知，.（1）求該圓柱的表面積；（2）求點到平面的距離；（3）將四面體繞母線所在的直線旋轉一周，求的三邊在旋轉過程中所圍成的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】根據題意，結合圓的面積和圓柱的側面積公式，即可求解；（2）根據題意，證得平面，得到，求得，設點到平面的距離為，結合，即可求解；（3）根據線段繞旋轉一周所得幾何體為以為底面半徑，以為高的圓錐，線段繞旋轉一周所得的幾何體為為底面半徑，以為高的圓錐，結合圓錐的體積公式，即可求解.【詳解】由題意知是圓柱的一條母線，過底面圓心，且，可得圓柱的底面圓的半徑為，則圓柱的底面積為，圓柱的側面積為所以圓柱的表面積為.（2）由過底面圓心，是圓上一點，可得，因為，所以，所以三棱錐的體積為，又由平面，且平面，所以，又由，且，所以平面，因為平面，所以，在直角中，，所以，所以，設點到平面的距離為，由，可得，解得.（3）由線段繞旋轉一周所得幾何體為以為底面半徑，以為高的圓錐，線段繞旋轉一周所得的幾何體為為底面半徑，以為高的圓錐，所以以繞旋轉一周而成的封閉幾何體的體積為：.18．（2021·上海市西南位育中學高二期中）如圖，在斜三棱柱中，，為的中點，為的中點，平面