2025屆江西省部分高中高三下學(xué)期3月聯(lián)合檢測(cè)（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省部分高中2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合檢測(cè)（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，因?yàn)?，所以成?即必要性成立.若，取，，則不成立.即充分性不成立.故選:.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.，所以，故選：.3.我國歷史上劉徽、趙爽等5人通過構(gòu)造不同的圖形，利用出入相補(bǔ)法證明了勾股定理，出入相補(bǔ)就是一個(gè)平面圖形經(jīng)過分割、移補(bǔ)，面積不變.李老師準(zhǔn)備從這5人中隨機(jī)選取2人，介紹其解法，則劉徽、趙爽中至少有1人被選到的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)事件為“劉徽、趙爽中至少有1人被選到”劉徽、趙爽中至少有1人被選到的概率為.故選：D.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由且，得，即或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.5.如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點(diǎn)，在上，且，平面與棱所在直線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在正方體中，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面與平面平行，利用面面平行的性質(zhì)定理可得平面與它們的交線平行，所以過點(diǎn)作直線的平行線與延長線交于一點(diǎn)，此交點(diǎn)即平面與棱所在直線交點(diǎn)，連接，如圖所示.所以四邊形是平行四邊形，所以，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所?故選：.6.已知函數(shù)的圖象在處的切線過原點(diǎn)，則所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)榈膱D象在處的切線過原點(diǎn)，則，即，即.設(shè)，因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞增，且函數(shù)值為正，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以.故選：.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若以為直徑的圓與以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)在上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由兩圓的圓心分別為，.且圓的半徑為，，可得點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，且兩圓內(nèi)切，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，所以圓的半徑為3，即，所以，解得，，所以的離心率為，故選：A.8.甲、乙兩人玩一種撲克游戲，每局開始前每人手中各有6張撲克牌，點(diǎn)數(shù)分別為1~6，兩人各隨機(jī)出牌1張，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為偶數(shù)時(shí)，視為平局，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)時(shí)，誰的牌點(diǎn)數(shù)大誰勝，重復(fù)上面的步驟，游戲進(jìn)行到一方比對(duì)方多勝2次或平局4次時(shí)停止，記游戲停止時(shí)甲、乙各出牌次，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】甲乙每次出牌1張，若兩人出牌的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，則平局，所以平局的概率，若甲勝，則結(jié)果有、、、、、、、、，共9種，所以甲勝的概率為，同理乙勝的概率也為，各出牌4次后停止游戲，若4次全平局，概率為；若平局2次，則最后1次不能是平局，另外2次甲全勝或乙全勝，概率為，若平局0次，則一方3勝1負(fù)，且負(fù)的1次只能在前2次中，概率為，所以.故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若數(shù)列滿足，則（）A.是等比數(shù)列 B.C.中各項(xiàng)均不為 D.【答案】BD【解析】選項(xiàng)A和C：取代入題干中得：.所以不是等比數(shù)列.故AC錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：取代入得：；取代入得：.所以，故B正確.選項(xiàng)D：.故B正確.故選：BD.10.已知，，均為單位向量，且，則（）A. B.C.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值是 D.若，則【答案】ACD【解析】由.得.解得（舍去）或.因?yàn)?、均為單位向?則，故正確.，故錯(cuò)誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確.由.則，所以，整理得，即.故正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則（）A.若，且在上單調(diào)，則的取值范圍是B.若，且在上恰有2個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍是C.若，且，則的取值范圍是D.若，且中恰有4個(gè)不同元素，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】，當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)榈膯握{(diào)區(qū)間是，所以.，故A正確；當(dāng)時(shí).，由得，所以在上的前3個(gè)實(shí)根依次為，，，所以，故正確.當(dāng)時(shí)，，由，若，則不存在，使得，所以，，故錯(cuò)誤；若中有4個(gè)不同元素.則方程在上恰有2個(gè)不同實(shí)根.所以，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案】【解析】由題知，得，所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：13.已知函數(shù)，若，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則________.【答案】【解析】∵時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此時(shí)為奇函數(shù)，∴，即，∴.∵時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故此時(shí)為偶函數(shù)，∴，即，∴.①②兩式相加得，，整理得，.故答案為：.14.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的球的表面上，點(diǎn)在棱上，長為4的正三角形，則三棱錐的體積為________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在上，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上.所以為球的直徑，，則由球的體積為，得.因?yàn)?過點(diǎn)作于.連接，又與全等.則，，.所以的面積.因?yàn)?，，，且平面，則平面，所以三棱錐的體積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.數(shù)據(jù)顯示，中國大模型正處于一個(gè)技術(shù)進(jìn)步迅速、市場(chǎng)規(guī)?？焖僭鲩L的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國大模型用戶年齡分布，公司調(diào)查了500名中國大模型用戶，統(tǒng)計(jì)他們的年齡，都在內(nèi)，按照，，，，分組，得到如下的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)中國大模型用戶年齡的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）估計(jì)中國大模型用戶年齡的中位數(shù)；（3）目前大模型已經(jīng)能夠應(yīng)用于醫(yī)療領(lǐng)域，醫(yī)生可以在工作中使用大模型輔助工作，以提升工作效率，公司調(diào)查了200名用戶，統(tǒng)計(jì)他們是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷，得到下面的列聯(lián)表.男性女性合計(jì)愿意62不愿意60合計(jì)98200請(qǐng)補(bǔ)充列聯(lián)表，并根據(jù)該表判斷是否有的把握認(rèn)為性別與是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷有關(guān).參考公式，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）中國大模型用戶年齡的平均數(shù)為.（2）設(shè)中國大模型用戶年齡的中位數(shù)為，因?yàn)椋?，所以，所以，解?（3）補(bǔ)充列聯(lián)表如下.男性女性合計(jì)愿意6238100不愿意4060100合計(jì)10298200因?yàn)樗杂械陌盐照J(rèn)為性別與是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷有關(guān)16.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求；（2）若，求.解：（1）由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，所以，因?yàn)?,成等比數(shù)列，所以，所以.（2）因?yàn)?，整理得，因?yàn)?，所以，所以，代入得，則根據(jù)正弦定理有.17.如圖，平行四邊形所在平面與矩形所在平面垂直，是邊長為的正三角形.（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在矩形中.因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?所以平面.因?yàn)槠矫?，所?由平面且四邊形為矩形，得平面.又平面，平面，所以，.因?yàn)榍?，所?所以平行四邊形是菱形，.因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：因?yàn)椋?，則.設(shè)，則，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、分別為、軸，過點(diǎn)且平行于直線的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若，.（i）求的取值范圍；（ii）比較與的大小，并說明理由.解：（1）根據(jù)題意有的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極小值，且極小值，沒有極大值；（2）（i）.即，設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí).，若.即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，即，，滿足題意.若，即時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，不滿足題意，綜上得.的取值范圍是；（ii）不妨設(shè)，比較與的大小，即比較與的大小，即比較與的大小，設(shè)，，則.設(shè).則.所以單調(diào)遞增.所以.單調(diào)遞增.所以.所以.19.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)在直線上，且三邊的平方和為30.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于、兩點(diǎn).（i）求面積的最大值；（ii）設(shè)點(diǎn)是線段上異于，的一點(diǎn)，滿足，證明：.解：（1）在中令，得，則，所以，又三邊的平方和為30，所以，解得，所以的方程為.（2）（i）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立，得，則，所以，且，，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)滿足式，面積的最大值為.（ii）設(shè)，如圖，由，則的平分線與軸垂直，所以，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即，則，設(shè)，則，則，①又點(diǎn)在直線上，所以，則，所以，則，整理得，②由①②得，所以，則，所以，故.江西省部分高中2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合檢測(cè)（一模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，因?yàn)?，所以成?即必要性成立.若，取，，則不成立.即充分性不成立.故選:.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.，所以，故選：.3.我國歷史上劉徽、趙爽等5人通過構(gòu)造不同的圖形，利用出入相補(bǔ)法證明了勾股定理，出入相補(bǔ)就是一個(gè)平面圖形經(jīng)過分割、移補(bǔ)，面積不變.李老師準(zhǔn)備從這5人中隨機(jī)選取2人，介紹其解法，則劉徽、趙爽中至少有1人被選到的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)事件為“劉徽、趙爽中至少有1人被選到”劉徽、趙爽中至少有1人被選到的概率為.故選：D.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由且，得，即或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.5.如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點(diǎn)，在上，且，平面與棱所在直線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在正方體中，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面與平面平行，利用面面平行的性質(zhì)定理可得平面與它們的交線平行，所以過點(diǎn)作直線的平行線與延長線交于一點(diǎn)，此交點(diǎn)即平面與棱所在直線交點(diǎn)，連接，如圖所示.所以四邊形是平行四邊形，所以，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，所?故選：.6.已知函數(shù)的圖象在處的切線過原點(diǎn)，則所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)榈膱D象在處的切線過原點(diǎn)，則，即，即.設(shè)，因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞增，且函數(shù)值為正，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以.故選：.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若以為直徑的圓與以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)在上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由兩圓的圓心分別為，.且圓的半徑為，，可得點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，且兩圓內(nèi)切，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，所以圓的半徑為3，即，所以，解得，，所以的離心率為，故選：A.8.甲、乙兩人玩一種撲克游戲，每局開始前每人手中各有6張撲克牌，點(diǎn)數(shù)分別為1~6，兩人各隨機(jī)出牌1張，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為偶數(shù)時(shí)，視為平局，當(dāng)兩張牌的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)時(shí)，誰的牌點(diǎn)數(shù)大誰勝，重復(fù)上面的步驟，游戲進(jìn)行到一方比對(duì)方多勝2次或平局4次時(shí)停止，記游戲停止時(shí)甲、乙各出牌次，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】甲乙每次出牌1張，若兩人出牌的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)或都是奇數(shù)，則平局，所以平局的概率，若甲勝，則結(jié)果有、、、、、、、、，共9種，所以甲勝的概率為，同理乙勝的概率也為，各出牌4次后停止游戲，若4次全平局，概率為；若平局2次，則最后1次不能是平局，另外2次甲全勝或乙全勝，概率為，若平局0次，則一方3勝1負(fù)，且負(fù)的1次只能在前2次中，概率為，所以.故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若數(shù)列滿足，則（）A.是等比數(shù)列 B.C.中各項(xiàng)均不為 D.【答案】BD【解析】選項(xiàng)A和C：取代入題干中得：.所以不是等比數(shù)列.故AC錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：取代入得：；取代入得：.所以，故B正確.選項(xiàng)D：.故B正確.故選：BD.10.已知，，均為單位向量，且，則（）A. B.C.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值是 D.若，則【答案】ACD【解析】由.得.解得（舍去）或.因?yàn)椤⒕鶠閱挝幌蛄?則，故正確.，故錯(cuò)誤.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確.由.則，所以，整理得，即.故正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則（）A.若，且在上單調(diào)，則的取值范圍是B.若，且在上恰有2個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍是C.若，且，則的取值范圍是D.若，且中恰有4個(gè)不同元素，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】，當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)榈膯握{(diào)區(qū)間是，所以.，故A正確；當(dāng)時(shí).，由得，所以在上的前3個(gè)實(shí)根依次為，，，所以，故正確.當(dāng)時(shí)，，由，若，則不存在，使得，所以，，故錯(cuò)誤；若中有4個(gè)不同元素.則方程在上恰有2個(gè)不同實(shí)根.所以，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.【答案】【解析】由題知，得，所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：13.已知函數(shù)，若，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則________.【答案】【解析】∵時(shí)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此時(shí)為奇函數(shù)，∴，即，∴.∵時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故此時(shí)為偶函數(shù)，∴，即，∴.①②兩式相加得，，整理得，.故答案為：.14.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的球的表面上，點(diǎn)在棱上，長為4的正三角形，則三棱錐的體積為________.【答案】【解析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在上，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上.所以為球的直徑，，則由球的體積為，得.因?yàn)?過點(diǎn)作于.連接，又與全等.則，，.所以的面積.因?yàn)?，，，且平面，則平面，所以三棱錐的體積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.數(shù)據(jù)顯示，中國大模型正處于一個(gè)技術(shù)進(jìn)步迅速、市場(chǎng)規(guī)?？焖僭鲩L的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國大模型用戶年齡分布，公司調(diào)查了500名中國大模型用戶，統(tǒng)計(jì)他們的年齡，都在內(nèi)，按照，，，，分組，得到如下的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)中國大模型用戶年齡的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）估計(jì)中國大模型用戶年齡的中位數(shù)；（3）目前大模型已經(jīng)能夠應(yīng)用于醫(yī)療領(lǐng)域，醫(yī)生可以在工作中使用大模型輔助工作，以提升工作效率，公司調(diào)查了200名用戶，統(tǒng)計(jì)他們是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷，得到下面的列聯(lián)表.男性女性合計(jì)愿意62不愿意60合計(jì)98200請(qǐng)補(bǔ)充列聯(lián)表，并根據(jù)該表判斷是否有的把握認(rèn)為性別與是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷有關(guān).參考公式，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）中國大模型用戶年齡的平均數(shù)為.（2）設(shè)中國大模型用戶年齡的中位數(shù)為，因?yàn)?，，所以，所以，解?（3）補(bǔ)充列聯(lián)表如下.男性女性合計(jì)愿意6238100不愿意4060100合計(jì)10298200因?yàn)樗杂械陌盐照J(rèn)為性別與是否愿意將前期體檢或病情交由大模型判斷有關(guān)16.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求；（2）若，求.解：（1）由正弦定理及，得，即，由余弦定理得，所以，因?yàn)?,成等比數(shù)列，所以，所以.（2）因?yàn)?，整理得，因?yàn)?，所以，所以，代入得，則根據(jù)正弦定理有.17.如圖，平行四邊形所在平面與矩形所在平面垂直，是邊長為的正三角形.（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成