2025屆江西省十校協(xié)作體高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省十校協(xié)作體2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，又，故.故選：C.2.已知是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，即，所以或，故必要性不成立；若“”，則或，所以，或，則，或，故充分性不成立，所以是的既不充分也不必要條件.故選：D.3.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.81 B.71 C.61 D.51【答案】C【解析】由題可知，，成等比數(shù)列，所以，即，得，則此等比數(shù)列首項(xiàng)是1，公比是，那么，，所以.故選：C4.已知向量，滿足，，則在上的投影向量為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，滿足，，所以，所以，則在上的投影向量為.故選：B.5.已知函數(shù)，若，則的值為（）A.0或 B.0或 C. D.【答案】A【解析】若，即，可得，解得：，符合；若，即，可得，解得：，符合；綜上可知：的值為0或，故選：A6.如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連通起來(lái)，則建設(shè)方案有（）A.12種 B.16種 C.20種 D.24種【答案】B【解析】由題意知要將4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D連接起來(lái)，共有個(gè)位置可以建設(shè)橋梁，從這6個(gè)位置中選3個(gè)建設(shè)橋梁，共有種選法，但選出的3個(gè)位置可能是僅連接或或或三個(gè)小島，不合題意，故要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來(lái)，共有（種）不同的方案.故選：B.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，將式子的左右兩?cè)同時(shí)除以，可得，即.故選：D8.已知點(diǎn)M是橢圓上的一點(diǎn)，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)N在的平分線上，O為原點(diǎn)，，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，延長(zhǎng)ON交于A，如圖所示.由題意知，O為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A為中點(diǎn).又，點(diǎn)N在的平分線上，∴，∴是等腰三角形，∴，則，所以.又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化簡(jiǎn)得：.又，所以，所以，即故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某品牌新能源汽車(chē)2024年上半年的銷(xiāo)量如下表：月份123456銷(xiāo)量（萬(wàn)輛）11.712.413.813.214.615.3則（）A.銷(xiāo)量的極差為3.6B.銷(xiāo)量的第60百分位數(shù)為13.2C.銷(xiāo)量的平均數(shù)與中位數(shù)相等D.若銷(xiāo)量關(guān)于月份的回歸方程為，則【答案】AC【解析】將銷(xiāo)量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，對(duì)于A，銷(xiāo)量的極差為，A正確；對(duì)于B，由，得銷(xiāo)量的分位數(shù)是第4位數(shù)13.8，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，銷(xiāo)量的平均數(shù)，銷(xiāo)量的中位數(shù)，則銷(xiāo)量的平均數(shù)與中位數(shù)相等，C正確；對(duì)于D，月份的平均數(shù)，回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，即，解得，D錯(cuò)誤.故選：AC10.如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.存在滿足C.存在滿足D.若是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是【答案】ABD【解析】對(duì)于A：如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，又，所以，所以共面，又，所以，相交，因?yàn)?，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，相交，所以平面平面因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)軌跡為線段，且.故A正確.對(duì)于B：設(shè)點(diǎn)C關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與平面的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以B正確.對(duì)于C：如圖：因?yàn)?，且，，所以不存在滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖：連接，取其中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，則.所以為外接圓圓心.過(guò)作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心一定在該垂線上.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，連接，設(shè)，則，連接，所以，所以，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為：，故D正確.故選：ABD.11.如圖，由函數(shù)與的部分圖象可得一條封閉曲線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B.的弦長(zhǎng)最大值大于C.直線被截得弦長(zhǎng)的最大值為D.的面積小于【答案】ACD【解析】對(duì)于A：由，所以函數(shù)的反函數(shù)為，所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B：有.設(shè)，則，由.由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，所以存，使得，另.所以曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)右側(cè)的交點(diǎn)為，左側(cè)的交點(diǎn)為，則，所以，結(jié)合圖象可得，的弦長(zhǎng)最大值小于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橹本€與直線垂直，設(shè)為曲線的切線，由，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為.直線與的距離為.所以直線被截得弦長(zhǎng)的最大值為，即.故C正確；對(duì)于D：由，所以B中.過(guò)點(diǎn)做的切線，再做該切線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線，過(guò)，做切線的垂線，與兩切線分別交于，如圖所示，構(gòu)成矩形，該矩形將圖形包含在內(nèi)，所以的面積小于矩形的面積.又，所以矩形的面積為.所以D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是______.【答案】【解析】由復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則的最小值是，故答案為：.13.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成鈍二面角，夾角為，此時(shí)之間的距離為，則__________.【答案】【解析】過(guò)分別作軸的垂線，垂足分別為，過(guò)分別作軸，軸的垂線相交于點(diǎn)，連接，則，由余弦定理得，由上可知，軸垂直于，又平面，所以軸垂直于平面，又軸，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)橹芷?，所以，由勾股定理得，解得由圖知，的圖象過(guò)點(diǎn)，且在遞減區(qū)間內(nèi)，所以即因?yàn)?，點(diǎn)在遞減區(qū)間內(nèi)，所以，故答案為：.14.已知對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值集合為_(kāi)_________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，由，可得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，此時(shí)不存在；當(dāng)時(shí)，由對(duì)任意的恒成立，作出的大致圖象，如圖所示：由題意可知，又是整數(shù)，所以或或.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.15.某校利用數(shù)字化軟件記錄500位學(xué)生每日課后作業(yè)完成的時(shí)長(zhǎng)，某次考試之后統(tǒng)計(jì)得到了如下平均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)表：平均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀：11437435學(xué)業(yè)成績(jī)不優(yōu)秀：136137102187（1）填寫(xiě)如下列聯(lián)表，試判斷：是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不小于2小時(shí)且小于3小時(shí)有關(guān)？時(shí)長(zhǎng)其他總計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)（2）常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為似然比.現(xiàn)從所有500名學(xué)生中任選一人，A表示“選到的是男生”，B表示“選到的學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀”，若，且，求.附：，.解：（1）列聯(lián)表數(shù)據(jù)如下：時(shí)長(zhǎng)其他總計(jì)優(yōu)秀8020100不優(yōu)秀120280400總計(jì)200300500因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不小于2小時(shí)且小于3小時(shí)有關(guān)；（2）已知，則，，由已知得，所以由概率的乘法公式可知，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?16.記的角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求A；（2）若點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且，求的值.解：（1）因?yàn)?，則，可得，且，則，可得，即，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，由?）可知：，設(shè)，則.在Rt中，可得，即，在中，由正弦定理得，可得，又因?yàn)?，即，可得，解得，所以的值?17.多面體中，四邊形為梯形，，，且四邊形為矩形．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：因?yàn)?，，所以，，，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕驗(yàn)?，所以平面，因?yàn)?，所以平?（2）解：取中點(diǎn)中點(diǎn)N，以M為原點(diǎn)，以方向?yàn)閤軸，以方向?yàn)閥軸，以方向?yàn)閦軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系又，則所以，則，．假設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，假設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令則，所以假設(shè)平面與平面所成的角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為．18.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2），由題意得，恒成立．令，則，且在單調(diào)遞增，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增；所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，故．（3）解法一：因?yàn)?，所以題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，．即，整理，得，因?yàn)?，所以，故題意等價(jià)于．設(shè)，的導(dǎo)函數(shù)，化簡(jiǎn)得，考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以，所以當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；所以的最小值為，故．解法二：先考察，由（2）分析可得，情況1：當(dāng)，即，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，故，即，符合題意；情況2：若，則，注意到，且，故對(duì)進(jìn)一步討論．①當(dāng)時(shí)，即且由（2）分析知：當(dāng)單調(diào)遞減，故當(dāng)，即單調(diào)遞減，故恒有，不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，注意到在區(qū)間單調(diào)遞減，且，又，故在區(qū)間存在唯一的滿足；同理在區(qū)間單調(diào)遞增，且，故在區(qū)間存在唯一的滿足；故可得+0-0+極大值極小值所以當(dāng)，符合題意；故題意等價(jià)于，即．又因?yàn)?，即，化?jiǎn)，得所以，整理得．注意到，所以，故解得，由之前分析得即考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以恒成立，故，又注意到情況（2）討論范圍為，所以也符合題意．綜上①②本題所求的取值范圍為．方法三：先探究必要性，由題意知當(dāng)時(shí)，是的最小值，則必要地，即得到必要條件為；下證的充分性，即證：當(dāng)時(shí)，．證明：由（2）可知當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故的最小值為，符合題意；故只需要證明時(shí)，．由（2）分析知時(shí)，+0-0+極大值極小值其中．注意到，據(jù)此可得更精確的范圍是；所以等價(jià)于證明，又因，即，可得，只需證明，等價(jià)于證明，注意到，即，故若①當(dāng)，此時(shí)顯然成立；若②當(dāng)，只要證明，此時(shí)，且所以，故得證．綜上必要性，充分性的分析，本題所求的取值范圍為．19.已知曲線，點(diǎn)在曲線上.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）如圖1，過(guò)曲線外一點(diǎn)（不在軸上）作的兩條切線，切點(diǎn)為，過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線交于點(diǎn)，且，把這樣的叫做“外切三角形”.①連接交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；②如圖2，從點(diǎn)出發(fā)作出的第一個(gè)外切三角形是再過(guò)點(diǎn)分別作出2個(gè)外切三角形，即和；繼續(xù)過(guò)點(diǎn)分別作出4個(gè)外切三角形以此類(lèi)推，依次作出，個(gè)外切三角形.設(shè)的面積為，求這些“外切三角形”的面積之和，并證明.解：（1）由題可得，則，故點(diǎn)處的切線方程為,即.（2）①,則由（1）可知直線為，直線為，由在上，同時(shí)在，可知直線的方程為，，又由（1）可知直線的斜率為，又，，即，則直線為點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又在上，，即三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列.②由①可知三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，則，又，則，可得，且相似比為，故，同理可得如圖連接，因，又，則與在底邊與底邊對(duì)應(yīng)的高相同，又，則，則，則，即第二次所做的“外切三角形”的面積之和是第一次所做“外切三角形”的面積的，同理每一次所做“外切三角形”面積之和都是上一次“外切三角形”面積之和的可得江西省十校協(xié)作體2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，又，故.故選：C.2.已知是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，即，所以或，故必要性不成立；若“”，則或，所以，或，則，或，故充分性不成立，所以是的既不充分也不必要條件.故選：D.3.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.81 B.71 C.61 D.51【答案】C【解析】由題可知，，成等比數(shù)列，所以，即，得，則此等比數(shù)列首項(xiàng)是1，公比是，那么，，所以.故選：C4.已知向量，滿足，，則在上的投影向量為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，滿足，，所以，所以，則在上的投影向量為.故選：B.5.已知函數(shù)，若，則的值為（）A.0或 B.0或 C. D.【答案】A【解析】若，即，可得，解得：，符合；若，即，可得，解得：，符合；綜上可知：的值為0或，故選：A6.如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連通起來(lái)，則建設(shè)方案有（）A.12種 B.16種 C.20種 D.24種【答案】B【解析】由題意知要將4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D連接起來(lái)，共有個(gè)位置可以建設(shè)橋梁，從這6個(gè)位置中選3個(gè)建設(shè)橋梁，共有種選法，但選出的3個(gè)位置可能是僅連接或或或三個(gè)小島，不合題意，故要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來(lái)，共有（種）不同的方案.故選：B.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，將式子的左右兩?cè)同時(shí)除以，可得，即.故選：D8.已知點(diǎn)M是橢圓上的一點(diǎn)，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)N在的平分線上，O為原點(diǎn)，，，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，延長(zhǎng)ON交于A，如圖所示.由題意知，O為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)A為中點(diǎn).又，點(diǎn)N在的平分線上，∴，∴是等腰三角形，∴，則，所以.又，所以.又在中，由余弦定理得，即，即，化簡(jiǎn)得：.又，所以，所以，即故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某品牌新能源汽車(chē)2024年上半年的銷(xiāo)量如下表：月份123456銷(xiāo)量（萬(wàn)輛）11.712.413.813.214.615.3則（）A.銷(xiāo)量的極差為3.6B.銷(xiāo)量的第60百分位數(shù)為13.2C.銷(xiāo)量的平均數(shù)與中位數(shù)相等D.若銷(xiāo)量關(guān)于月份的回歸方程為，則【答案】AC【解析】將銷(xiāo)量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，對(duì)于A，銷(xiāo)量的極差為，A正確；對(duì)于B，由，得銷(xiāo)量的分位數(shù)是第4位數(shù)13.8，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，銷(xiāo)量的平均數(shù)，銷(xiāo)量的中位數(shù)，則銷(xiāo)量的平均數(shù)與中位數(shù)相等，C正確；對(duì)于D，月份的平均數(shù)，回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，即，解得，D錯(cuò)誤.故選：AC10.如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.存在滿足C.存在滿足D.若是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是【答案】ABD【解析】對(duì)于A：如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，又，所以，所以共面，又，所以，相交，因?yàn)?，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)椋?，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，相交，所以平面平面因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)軌跡為線段，且.故A正確.對(duì)于B：設(shè)點(diǎn)C關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與平面的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以B正確.對(duì)于C：如圖：因?yàn)?，且，，所以不存在滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖：連接，取其中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，則.所以為外接圓圓心.過(guò)作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心一定在該垂線上.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，連接，設(shè)，則，連接，所以，所以，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為：，故D正確.故選：ABD.11.如圖，由函數(shù)與的部分圖象可得一條封閉曲線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B.的弦長(zhǎng)最大值大于C.直線被截得弦長(zhǎng)的最大值為D.的面積小于【答案】ACD【解析】對(duì)于A：由，所以函數(shù)的反函數(shù)為，所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B：有.設(shè)，則，由.由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，所以存，使得，另.所以曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)右側(cè)的交點(diǎn)為，左側(cè)的交點(diǎn)為，則，所以，結(jié)合圖象可得，的弦長(zhǎng)最大值小于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橹本€與直線垂直，設(shè)為曲線的切線，由，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為.直線與的距離為.所以直線被截得弦長(zhǎng)的最大值為，即.故C正確；對(duì)于D：由，所以B中.過(guò)點(diǎn)做的切線，再做該切線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線，過(guò)，做切線的垂線，與兩切線分別交于，如圖所示，構(gòu)成矩形，該矩形將圖形包含在內(nèi)，所以的面積小于矩形的面積.又，所以矩形的面積為.所以D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是______.【答案】【解析】由復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則的最小值是，故答案為：.13.如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成鈍二面角，夾角為，此時(shí)之間的距離為，則__________.【答案】【解析】過(guò)分別作軸的垂線，垂足分別為，過(guò)分別作軸，軸的垂線相交于點(diǎn)，連接，則，由余弦定理得，由上可知，軸垂直于，又平面，所以軸垂直于平面，又軸，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)橹芷?，所以，由勾股定理得，解得由圖知，的圖象過(guò)點(diǎn)，且在遞減區(qū)間內(nèi)，所以即因?yàn)?，點(diǎn)在遞減區(qū)間內(nèi)，所以，故答案為：.14.已知對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值集合為_(kāi)_________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，由，可得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，此時(shí)不存在；當(dāng)時(shí)，由對(duì)任意的恒成立，作出的大致圖象，如圖所示：由題意可知，又是整數(shù)，所以或或.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.15.某校利用數(shù)字化軟件記錄500位學(xué)生每日課后作業(yè)完成的時(shí)長(zhǎng)，某次考試之后統(tǒng)計(jì)得到了如下平均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)表：平均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀：11437435學(xué)業(yè)成績(jī)不優(yōu)秀：136137102187（1）填寫(xiě)如下列聯(lián)表，試判斷：是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不小于2小時(shí)且小于3小時(shí)有關(guān)？時(shí)長(zhǎng)其他總計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)（2）常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為似然比.現(xiàn)從所有500名學(xué)生中任選一人，A表示“選到的是男生”，B表示“選到的學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀”，若，且，求.附：，.解：（1）列聯(lián)表數(shù)據(jù)如下：時(shí)長(zhǎng)其他總計(jì)優(yōu)秀8020100不優(yōu)秀120280400總計(jì)200300500因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不小于2小時(shí)且小于3小時(shí)有關(guān)；（2）已知，則，，由已知得，所以由概率的乘法公式可知，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?16.記的角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求A；（2）若點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且，求的值.解：（1）因?yàn)?，則，可得，且，則，可得，即，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋桑?）可知：，設(shè)，則.在Rt中，可得，即，在中，由正弦定理得，可得，又因?yàn)?，即，可得，解得，所以的值?17.多面體中，四邊形為梯形，，，且四邊形為矩形．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：因?yàn)椋?，所以，，，又因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)?，所以平?（2）解：取中點(diǎn)中點(diǎn)N，以M為原點(diǎn)，以方向?yàn)閤軸，以方向?yàn)閥軸，以方向?yàn)閦軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系又，則所以，則，．假設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，假設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令則，所以假設(shè)平面與平面所成的角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為．18.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2），由題意得，恒成立．令，則，且在單調(diào)遞增，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增；所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，故．（3）解法一：因?yàn)?，所以題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，．即，整理，得，因?yàn)椋?，故題意等價(jià)于．設(shè)，的導(dǎo)函數(shù)，化簡(jiǎn)得，考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以，所以當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；所以的最小值為，故．解法二：先考察，由（2）分析可得，情況1：當(dāng)，即，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，故，即，符合題意；情