2025屆遼寧省七校協(xié)作體高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省七校協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.則.故選：B2.已知i為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A3.已知兩個變量x和y之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，由它計(jì)算出成對樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差為0.12（殘差=觀測值-預(yù)測值），則（）A.0.28 B.0.56 C.0.34 D.0.48【答案】B【解析】因?yàn)閥關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以預(yù)測值為，又因?yàn)闅埐?觀測值-預(yù)測值，所以，所以.故選：B.4.若直線：與直線：平行，則這兩條直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，所以，所以直線：即，所以這兩條直線間的距離為.故選：B.5.已知等比數(shù)列的公比為q，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論公比（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，若，則，而，則，所以不符合題意.當(dāng)且時，，即，即，則.故選：A6.記為的內(nèi)角的對邊，則“為直角三角形”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】在中，由及正弦定理，得，則，而，則，兩邊平方整理得，而，于是，，因此為直角三角形；反之，為直角三角形，或或，所以“為直角三角形”是“”的必要不充分條件，B正確.故選：B7.2024年巴黎奧運(yùn)會乒乓球比賽，中國隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意“莎頭”組合以獲勝，即前四局勝三局，負(fù)一局，第五局獲勝，所以獲勝概率為：，故選：D8.已知過點(diǎn)的直線l與拋物線交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn).若A，B的橫坐標(biāo)分別為.則（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，消去可得，由，則，，所以.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩個不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得若，則，即A正確；對于B，易知若可得或，又可知，即B正確；對于C，若，則或，因此C錯誤；對于D，如果直線平行于平面和，且和的交線為，那么直線必須平行于；假設(shè)不平行于，它必將與其中一個平面相交，這與平行于兩個平面的條件相互矛盾，所以若，則，故D正確。故選：ABD10.設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（）A.的最小值為B.的最大值為2C.的最大值為D.的最小值為【答案】AB【解析】由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最小值為，故A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最大值為2，故B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最大值為1，故C錯誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最小值為2，故D錯誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，則（）A.是的一個周期B.是非奇非偶函數(shù)C.的最小值為D.關(guān)于x的方程有無數(shù)個實(shí)數(shù)解【答案】BD【解析】對于A，由，則不是函數(shù)的一個周期，故A錯誤；對于B，由，則其定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)是非奇非偶函數(shù)，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，，等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，，等號成立，由，則，故C錯誤；對于D，由，則，可得，整理可得，解得或，，化簡可得或，，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量與服從正態(tài)分布，則______.【答案】【解析】設(shè)，則，所以，又因?yàn)?，所以，解?故答案為：13.若非零向量與單位向量共線，且，則__________.【答案】【解析】因?yàn)榉橇阆蛄颗c單位向量共線，則，且，因?yàn)椋瑒t，即，整理得，解得（舍）或，所以.故答案為：.14.如圖，已知正四面體的棱長為1，過點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體的體積為四面體體積的，則______，的最小值為______.【答案】①.②.【解析】因?yàn)?，則，記，因?yàn)椋?。又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.所以a的最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求a與b的值；（2）若在處有極值，求a與b的值.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)榍芯€方程為，所以，解得，所以.（2）函數(shù)在處有極值且或恒成立，此時函數(shù)無極值點(diǎn)，此時1是極值點(diǎn)，滿足題意，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，M為棱PC的中點(diǎn).（1）證明：平面PAD；（2）若，求二面角的正弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面.（2）解：，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，又，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，為棱中點(diǎn)，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，,平面的一個法向量為，，則二面角的正弦值為.17.隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融人我們的日常生活．在教育領(lǐng)域，AI的賦能潛力巨大.為了解教師對AI大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機(jī)抽取了200名教師，對使用A、B、C、D四種AI大模型的情況統(tǒng)計(jì)如下：使用AI大模型的種數(shù)性別01234男427231610女648272415在上述樣本所有使用3種AI大模型的40人中，統(tǒng)計(jì)使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型種類ABCD人次32303028用頻率估計(jì)概率.（1）從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，估計(jì)至少使用兩種AI大模型（A、B、C、D中）的概率；（2）從該地區(qū)使用3種AI大模型（A、B、C、D中）的教師中，隨機(jī)選出3人，記使用B的有人，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（3）從該地區(qū)男，女教師中各隨機(jī)選一人，記他們使用AI大模型（A、B、C、D中）的種數(shù)分別為，比較的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明）解：（1）記事件M為“從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，至少使用兩種AI大模型”，則估計(jì).（2）記事件為“從該地區(qū)使用3種AI大模型的40名教師中隨機(jī)選1人，該人使用模型B”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，.的可能取值為，，，．.的分布列為0123.（3）由題意可得該地區(qū)男，女教師人數(shù)分別為：80和120，則易求，，故.18.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求C的方程；（2）若斜率為1的直線與C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求l的方程；（3）橢圓C與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓C上一動點(diǎn)，直線PA，PB與直線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，求的最小值.解：（1）由題意得，將代入橢圓方程得，又，解得，故橢圓的方程為（2）設(shè)l的方程為，則.聯(lián)立方程組，整理得，則，即，所以，則，解得，滿足題設(shè)，所以l方程為.（3）設(shè)直線PA的方程為，則直線PB的方程為.令，得，同理得，則.在中，由正弦定理知，同理可得.因?yàn)椋?，從而，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.19.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù).（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)積為，即，求；（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求使的n的最小值.（1）證明：由題意得：，即，則是“平方遞推數(shù)列”.對兩邊取對數(shù)得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，.（3）解：，，又，即，又，所以.遼寧省七校協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.則.故選：B2.已知i為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A3.已知兩個變量x和y之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，由它計(jì)算出成對樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差為0.12（殘差=觀測值-預(yù)測值），則（）A.0.28 B.0.56 C.0.34 D.0.48【答案】B【解析】因?yàn)閥關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以預(yù)測值為，又因?yàn)闅埐?觀測值-預(yù)測值，所以，所以.故選：B.4.若直線：與直線：平行，則這兩條直線間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，所以，所以直線：即，所以這兩條直線間的距離為.故選：B.5.已知等比數(shù)列的公比為q，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論公比（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，若，則，而，則，所以不符合題意.當(dāng)且時，，即，即，則.故選：A6.記為的內(nèi)角的對邊，則“為直角三角形”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】在中，由及正弦定理，得，則，而，則，兩邊平方整理得，而，于是，，因此為直角三角形；反之，為直角三角形，或或，所以“為直角三角形”是“”的必要不充分條件，B正確.故選：B7.2024年巴黎奧運(yùn)會乒乓球比賽，中國隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意“莎頭”組合以獲勝，即前四局勝三局，負(fù)一局，第五局獲勝，所以獲勝概率為：，故選：D8.已知過點(diǎn)的直線l與拋物線交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn).若A，B的橫坐標(biāo)分別為.則（）A. B. C.0 D.2【答案】D【解析】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，消去可得，由，則，，所以.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩個不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得若，則，即A正確；對于B，易知若可得或，又可知，即B正確；對于C，若，則或，因此C錯誤；對于D，如果直線平行于平面和，且和的交線為，那么直線必須平行于；假設(shè)不平行于，它必將與其中一個平面相交，這與平行于兩個平面的條件相互矛盾，所以若，則，故D正確。故選：ABD10.設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（）A.的最小值為B.的最大值為2C.的最大值為D.的最小值為【答案】AB【解析】由，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最小值為，故A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最大值為2，故B正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最大值為1，故C錯誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則的最小值為2，故D錯誤.故選：AB.11.已知函數(shù)，則（）A.是的一個周期B.是非奇非偶函數(shù)C.的最小值為D.關(guān)于x的方程有無數(shù)個實(shí)數(shù)解【答案】BD【解析】對于A，由，則不是函數(shù)的一個周期，故A錯誤；對于B，由，則其定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以函?shù)是非奇非偶函數(shù)，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，，等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，，等號成立，由，則，故C錯誤；對于D，由，則，可得，整理可得，解得或，，化簡可得或，，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量與服從正態(tài)分布，則______.【答案】【解析】設(shè)，則，所以，又因?yàn)?，所以，解?故答案為：13.若非零向量與單位向量共線，且，則__________.【答案】【解析】因?yàn)榉橇阆蛄颗c單位向量共線，則，且，因?yàn)椋瑒t，即，整理得，解得（舍）或，所以.故答案為：.14.如圖，已知正四面體的棱長為1，過點(diǎn)B作截面α分別交側(cè)棱，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且四面體的體積為四面體體積的，則______，的最小值為______.【答案】①.②.【解析】因?yàn)?，則，記，因?yàn)?，即。又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.所以a的最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求a與b的值；（2）若在處有極值，求a與b的值.解：（1）因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)榍芯€方程為，所以，解得，所以.（2）函數(shù)在處有極值且或恒成立，此時函數(shù)無極值點(diǎn)，此時1是極值點(diǎn)，滿足題意，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，M為棱PC的中點(diǎn).（1）證明：平面PAD；（2）若，求二面角的正弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面.（2）解：，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，又，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，為棱中點(diǎn)，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，,平面的一個法向量為，，則二面角的正弦值為.17.隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融人我們的日常生活．在教育領(lǐng)域，AI的賦能潛力巨大.為了解教師對AI大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機(jī)抽取了200名教師，對使用A、B、C、D四種AI大模型的情況統(tǒng)計(jì)如下：使用AI大模型的種數(shù)性別01234男427231610女648272415在上述樣本所有使用3種AI大模型的40人中，統(tǒng)計(jì)使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型種類ABCD人次32303028用頻率估計(jì)概率.（1）從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，估計(jì)至少使用兩種AI大模型（A、B、C、D中）的概率；（2）從該地區(qū)使用3種AI大模型（A、B、C、D中）的教師中，隨機(jī)選出3人，記使用B的有人，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（3）從該地區(qū)男，女教師中各隨機(jī)選一人