2025屆上海市高三下學(xué)期2月高考調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1上海市2025屆高三下學(xué)期2月高考調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.)1.設(shè)，則不等式的解集為_(kāi)_______.【答案】【解析】由.所以不等式的解集為：.故答案為：2.若是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，則_______.【答案】11【解析】由題意：，所以.故答案為：113.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______________.【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為.4.已知一組數(shù)據(jù)為2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi)_______.【答案】3.55【解析】顯然這組數(shù)據(jù)共6個(gè)數(shù)，且已經(jīng)按照從小到大的順序排好，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即.故答案為：3.55.5.在中，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______.【答案】【解析】，所以,故答案為：6.實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足，所以由基本不等式可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以.即的最大值為.故答案為：.7.雙曲線()的焦點(diǎn)為、，且為該雙曲線上一點(diǎn)，若，，則該雙曲線的離心率為_(kāi)______.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得：，所以.又，所以.所以雙曲線的離心率為：.故答案為：8.為了增強(qiáng)法治觀念，甲、乙兩位老師在共所學(xué)校中各自選所學(xué)校開(kāi)展普法講座.在甲、乙一共選擇了所不同的學(xué)校的條件下，恰有一位老師選擇學(xué)校開(kāi)展講座的概率為_(kāi)_______.【答案】【解析】記事件：甲、乙一共選擇了所不同的學(xué)校進(jìn)行普法，事件：恰有一位老師選擇學(xué)校開(kāi)展普法講座，因?yàn)?，，所以，故答案為?9.設(shè)，已知，若，則的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】若，即時(shí)，，可得；若，即時(shí)，，可得，不符合前提；綜上，的取值范圍為.故答案為：10.在斜三棱柱中，連接、與，記三棱錐的體積大小為，三棱柱的體積大小為，則________.【答案】【解析】設(shè)斜三棱柱的高為，，則，，，則.故答案為：.11.如圖所示，是一處觀景臺(tái)，、分別為觀景區(qū)域的邊界，未教星工程隊(duì)計(jì)劃修建與兩條道路.已知與的距離為1km，且，為了便于工程隊(duì)測(cè)量觀景臺(tái)的觀景效果，現(xiàn)給出如下假設(shè)：假設(shè)1：觀景臺(tái)的觀景范圍為四邊形；假設(shè)2：觀景臺(tái)、道路與均處于同一平面內(nèi)，其中；假設(shè)3：，.當(dāng)四邊形的面積為最大值時(shí)，則________.(結(jié)果精確至0.01)【答案】【解析】設(shè)，則，由題意知，則，如圖，連接.在中，，則，；在中，同理可得，；故四邊形的面積，.令，，即.由，則，令，則，解得，由，故不妨設(shè)，且，當(dāng)，即時(shí)，，即，在單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，即，在單調(diào)遞減；故，即當(dāng)時(shí)取到最大值.由，可得，則.此時(shí)，故答案為：.12.設(shè)，集合.若對(duì)任意，均存在和，滿足，，則的最大值為_(kāi)______.【答案】【解析】設(shè)方程表示的區(qū)域?yàn)?，用代換方程不變，可知區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱；用代換方程不變，可知區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，區(qū)域可化為，據(jù)此可得區(qū)域的圖形如圖陰影所示，取，可知區(qū)域?yàn)檎叫渭捌鋬?nèi)部，設(shè)，點(diǎn)均在區(qū)域內(nèi)，因?yàn)?，，即，，可知點(diǎn)在線段上，又因?yàn)?，記為過(guò)點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度的最大值，若求，不妨假設(shè)點(diǎn)在正方形的邊界上，若，即，可知最大值為的最小值，取的中點(diǎn)分別為，可知區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性只需假定點(diǎn)在線段上即可，此時(shí)，可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最小值，所以的最大值為.故答案為：.二、選擇題(本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分.每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.)13.若集合滿足，則可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則或.故選：A14.在研究“溫度是否影響莊稼生長(zhǎng)”時(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量的值為.已知，則（）A.的值小于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”B.的值大于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”C.的值越大，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差越小D.的值越小，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差越大【答案】B【解析】因?yàn)?，則的值大于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；的值的大小不能說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.15.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的圓上，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)均在（）A.一條直線上 B.一個(gè)圓上C.一條拋物線上 D.一支雙曲線上【答案】A【解析】設(shè)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的圓上，設(shè)此圓方程為，不同時(shí)為0，將代入，得，，，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，將兩邊同時(shí)除以得，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上.故選：A16.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是.對(duì)于，函數(shù)在上存在極值點(diǎn).記.則中的函數(shù)一定不具有的性質(zhì)是（）A.B.C.函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)D.函數(shù)是偶函數(shù)【答案】D【解析】A項(xiàng)，定義域?yàn)?，且滿足.存在極值點(diǎn)，則，且，且對(duì)，有；且；滿足，故，故選項(xiàng)A有可能成立；B項(xiàng)，定義域?yàn)椋掖嬖跇O值點(diǎn)，又，，且對(duì)，有；且；滿足，故，可知選項(xiàng)B，C均有可能成立.假設(shè)選項(xiàng)D成立，即是偶函數(shù)，則是奇函數(shù)，所以.設(shè)，，則從而對(duì)任意有，故，但這對(duì)不成立，所以選項(xiàng)D不可能成立.故選：D.三、解答題(本大題共5題，第17—19題每題14分，第20—21題每題18分，共78分.解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.)17.如圖所示，在四棱錐中，平面，//.（1）若平面，求證：平面平面；（2）若，若，，求平面與平面所成銳二面角的大小.（1）證明：由平面，平面，得，而，則，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，因此平面平面.（2）解：取中點(diǎn)為，連接，則，而，，則四邊形是矩形，，，又平面，因此直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面法向量為，則，令，得，顯然平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，因此，所以平面與平面所成銳二面角的大小為.18.已知，.（1）若函數(shù)的最小正周期為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè).若函數(shù)和在上有相同的最大值，求的取值范圍.解：（1），因?yàn)榍液瘮?shù)的最小正周期為，故.（2）當(dāng)時(shí)，.若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即.而函數(shù)與存在相同的最大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)取得最大值，因此可得，①當(dāng)時(shí)，可得，則有，解得；②當(dāng)時(shí)，可得，則有，解得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.綜上所述，的取值范圍為.19.為了檢查一批零件的質(zhì)量是否合格，檢查員計(jì)劃從中依次隨機(jī)抽取零件檢查：第次檢查抽取號(hào)零件，測(cè)量其尺寸(單位：厘米).檢查員共進(jìn)行了100次檢查，整理并計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，.（1）這批零件共有1000個(gè).若在抽查過(guò)程中，質(zhì)量合格的零件共有60個(gè)，估計(jì)這批零件中質(zhì)量合格的零件數(shù)量；（2）若變量與存在線性關(guān)系，記，求回歸系數(shù)的值；（3）在抽出的100個(gè)零件中，檢查員計(jì)劃從中隨機(jī)抽出20個(gè)零件進(jìn)行進(jìn)一步檢查，記抽出的20個(gè)零件中有對(duì)相鄰序號(hào)的零件，求的數(shù)學(xué)期望.示例零件序號(hào)為“1、2、4、5”與“1、2、3、5”時(shí)均恰有2對(duì)相鄰序號(hào)的零件.參考公式：（1）線性回歸方程：，其中，.（2）期望的線性性質(zhì)：，其中是若干隨機(jī)變量.解：（1）因?yàn)樵谶@100個(gè)零件中，合格的零件為60個(gè)，故質(zhì)量合格的零件所占樣本比例為.而在這1000個(gè)零件中，質(zhì)量合格的零件數(shù)為：(個(gè)).（2）由可得，，又因?yàn)?，，因此可得?代入數(shù)據(jù)可得：.（3）用表示抽查的結(jié)果，若第個(gè)零件與第個(gè)零件被選中，則記；若結(jié)果是其余情況，則記，.由線性期望的性質(zhì)可得：(個(gè)).20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:右頂點(diǎn)為，點(diǎn)、分別是軸負(fù)半軸、軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).（1）若是的左焦點(diǎn)，且，求的值；（2）設(shè)，上存在軸上方一點(diǎn).若，求的坐標(biāo)；（3）設(shè)，過(guò)的直線與交于、兩點(diǎn)(、兩點(diǎn)不重合)，與軸交于且的縱坐標(biāo)，記與到直線的距離分別為、.若存在直線，滿足成立，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)榕c的左焦點(diǎn)重合，故，因此.又因?yàn)椋?，所以，解得?負(fù)舍).（2）因?yàn)?，又因?yàn)?，而，代入解?若在第一象限，則，故在第二象限.設(shè)，而，整理可得.代入橢圓方程，可得：.所以解得(增根舍去)，所以.因此.（3）由題意可知：直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為()，且、.聯(lián)立，可得，.根據(jù)韋達(dá)定理，，.因?yàn)?、兩點(diǎn)均在直線的左側(cè)，故.又因?yàn)?，，因此，代入化?jiǎn)可得方程.設(shè)，又因?yàn)椋?①若，此時(shí)直線與存在兩個(gè)交點(diǎn).若存在，使得，而，故，可得，故，因此.②若，而此時(shí)在的外部，，故.若存在，使得，而，故，可得，故.綜上所述，的取值范圍為.21.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，對(duì)于，定義.（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，是否存在，使得是一段閉區(qū)間？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）函數(shù)的定義域是，函數(shù)值恒正，其導(dǎo)函數(shù)為；當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，均有，求證：“函數(shù)是上的嚴(yán)格增函數(shù)”的充要條件是“”.解：（1）由題設(shè)，將化簡(jiǎn)得，解得，故；（2）存在滿足條件，且，理由如下：因?yàn)?，代入定義整理得：，設(shè)，則，令，得，或，當(dāng)時(shí)，必存在，（設(shè)）；根據(jù)的關(guān)系，列表如下：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，是一段閉區(qū)間，即，解得，因此，特別地，當(dāng)時(shí)，，故仍是一段閉區(qū)間，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，列表可得：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，且取得最小值，當(dāng)時(shí)，是一段閉區(qū)間，即，解得，由此得.綜上所述，存在滿足條件的，且；（3）假設(shè)，若，則，因此矛盾，故，先證必要性：因?yàn)楹瘮?shù)是上的嚴(yán)格增函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，因此必要性得證；再證充分性：引理：對(duì)任意，當(dāng)滿足時(shí)，，已知，假設(shè)，設(shè)，任取，則，因?yàn)楹瘮?shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即，所以，由此，因此考慮構(gòu)造，當(dāng)，則，而，函數(shù)是嚴(yán)格減函數(shù)，，故矛盾，即，下面證明函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)：任取，若，聯(lián)立上式可得，而，又因?yàn)槭菄?yán)格減函數(shù)，則.由于，所以，故.同理，可證函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，且，故函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，因此充分性得證.上海市2025屆高三下學(xué)期2月高考調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、填空題(本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.)1.設(shè)，則不等式的解集為_(kāi)_______.【答案】【解析】由.所以不等式的解集為：.故答案為：2.若是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，則_______.【答案】11【解析】由題意：，所以.故答案為：113.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______________.【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為.4.已知一組數(shù)據(jù)為2.4，2.6，3.3，3.8，4.0，4.1，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi)_______.【答案】3.55【解析】顯然這組數(shù)據(jù)共6個(gè)數(shù)，且已經(jīng)按照從小到大的順序排好，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第三個(gè)數(shù)和第四個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即.故答案為：3.55.5.在中，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______.【答案】【解析】，所以,故答案為：6.實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足，所以由基本不等式可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以.即的最大值為.故答案為：.7.雙曲線()的焦點(diǎn)為、，且為該雙曲線上一點(diǎn)，若，，則該雙曲線的離心率為_(kāi)______.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得：，所以.又，所以.所以雙曲線的離心率為：.故答案為：8.為了增強(qiáng)法治觀念，甲、乙兩位老師在共所學(xué)校中各自選所學(xué)校開(kāi)展普法講座.在甲、乙一共選擇了所不同的學(xué)校的條件下，恰有一位老師選擇學(xué)校開(kāi)展講座的概率為_(kāi)_______.【答案】【解析】記事件：甲、乙一共選擇了所不同的學(xué)校進(jìn)行普法，事件：恰有一位老師選擇學(xué)校開(kāi)展普法講座，因?yàn)?，，所以，故答案為?9.設(shè)，已知，若，則的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】若，即時(shí)，，可得；若，即時(shí)，，可得，不符合前提；綜上，的取值范圍為.故答案為：10.在斜三棱柱中，連接、與，記三棱錐的體積大小為，三棱柱的體積大小為，則________.【答案】【解析】設(shè)斜三棱柱的高為，，則，，，則.故答案為：.11.如圖所示，是一處觀景臺(tái)，、分別為觀景區(qū)域的邊界，未教星工程隊(duì)計(jì)劃修建與兩條道路.已知與的距離為1km，且，為了便于工程隊(duì)測(cè)量觀景臺(tái)的觀景效果，現(xiàn)給出如下假設(shè)：假設(shè)1：觀景臺(tái)的觀景范圍為四邊形；假設(shè)2：觀景臺(tái)、道路與均處于同一平面內(nèi)，其中；假設(shè)3：，.當(dāng)四邊形的面積為最大值時(shí)，則________.(結(jié)果精確至0.01)【答案】【解析】設(shè)，則，由題意知，則，如圖，連接.在中，，則，；在中，同理可得，；故四邊形的面積，.令，，即.由，則，令，則，解得，由，故不妨設(shè)，且，當(dāng)，即時(shí)，，即，在單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，即，在單調(diào)遞減；故，即當(dāng)時(shí)取到最大值.由，可得，則.此時(shí)，故答案為：.12.設(shè)，集合.若對(duì)任意，均存在和，滿足，，則的最大值為_(kāi)______.【答案】【解析】設(shè)方程表示的區(qū)域?yàn)?，用代換方程不變，可知區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱；用代換方程不變，可知區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，區(qū)域可化為，據(jù)此可得區(qū)域的圖形如圖陰影所示，取，可知區(qū)域?yàn)檎叫渭捌鋬?nèi)部，設(shè)，點(diǎn)均在區(qū)域內(nèi)，因?yàn)?，，即，，可知點(diǎn)在線段上，又因?yàn)椋洖檫^(guò)點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度的最大值，若求，不妨假設(shè)點(diǎn)在正方形的邊界上，若，即，可知最大值為的最小值，取的中點(diǎn)分別為，可知區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性只需假定點(diǎn)在線段上即可，此時(shí)，可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取到最小值，所以的最大值為.故答案為：.二、選擇題(本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分.每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.)13.若集合滿足，則可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則或.故選：A14.在研究“溫度是否影響莊稼生長(zhǎng)”時(shí)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量的值為.已知，則（）A.的值小于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”B.的值大于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”C.的值越大，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差越小D.的值越小，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差越大【答案】B【解析】因?yàn)?，則的值大于3.841，就有95%的把握認(rèn)為“溫度會(huì)影響莊稼生長(zhǎng)”，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；的值的大小不能說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的總體偏差，C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.15.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的圓上，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)均在（）A.一條直線上 B.一個(gè)圓上C.一條拋物線上 D.一支雙曲線上【答案】A【解析】設(shè)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的圓上，設(shè)此圓方程為，不同時(shí)為0，將代入，得，，，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，將兩邊同時(shí)除以得，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上.故選：A16.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是.對(duì)于，函數(shù)在上存在極值點(diǎn).記.則中的函數(shù)一定不具有的性質(zhì)是（）A.B.C.函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)D.函數(shù)是偶函數(shù)【答案】D【解析】A項(xiàng)，定義域?yàn)?，且滿足.存在極值點(diǎn)，則，且，且對(duì)，有；且；滿足，故，故選項(xiàng)A有可能成立；B項(xiàng)，定義域?yàn)?，且存在極值點(diǎn)，又，，且對(duì)，有；且；滿足，故，可知選項(xiàng)B，C均有可能成立.假設(shè)選項(xiàng)D成立，即是偶函數(shù)，則是奇函數(shù)，所以.設(shè)，，則從而對(duì)任意有，故，但這對(duì)不成立，所以選項(xiàng)D不可能成立.故選：D.三、解答題(本大題共5題，第17—19題每題14分，第20—21題每題18分，共78分.解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.)17.如圖所示，在四棱錐中，平面，//.（1）若平面，求證：平面平面；（2）若，若，，求平面與平面所成銳二面角的大小.（1）證明：由平面，平面，得，而，則，由平面，平面，得，而平面，因此平面，又平面，因此平面平面.（2）解：取中點(diǎn)為，連接，則，而，，則四邊形是矩形，，，又平面，因此直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面法向量為，則，令，得，顯然平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為，因此，所以平面與平面所成銳二面角的大小為.18.已知，.（1）若函數(shù)的最小正周期為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè).若函數(shù)和在上有相同的最大值，求的取值范圍.解：（1），因?yàn)榍液瘮?shù)的最小正周期為，故.（2）當(dāng)時(shí)，.若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即.而函數(shù)與存在相同的最大值，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)取得最大值，因此可得，①當(dāng)時(shí)，可得，則有，解得；②當(dāng)時(shí)，可得，則有，解得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，.綜上所述，的取值范圍為.19.為了檢查一批零件的質(zhì)量是否合格，檢查員計(jì)劃從中依次隨機(jī)抽取零件檢查：第次檢查抽取號(hào)零件，測(cè)量其尺寸(單位：厘米).檢查員共進(jìn)行了100次檢查，整理并計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，.（1）這批零件共有1000個(gè).若在抽查過(guò)程中，質(zhì)量合格的零件共有60個(gè)，估計(jì)這批零件中質(zhì)量合格的零件數(shù)量；（2）若變量與存在線性關(guān)系，記，求回歸系數(shù)的值；（3）在抽出的100個(gè)零件中，檢查員計(jì)劃從中隨機(jī)抽出20個(gè)零件進(jìn)行進(jìn)一步檢查，記抽出的20個(gè)零件中有對(duì)相鄰序號(hào)的零件，求的數(shù)學(xué)期望.示例零件序號(hào)為“1、2、4、5”與“1、2、3、5”時(shí)均恰有2對(duì)相鄰序號(hào)的零件.參考公式：（1）線性回歸方程：，其中，.（2）期望的線性性質(zhì)：，其中是若干隨機(jī)變量.解：（1）因?yàn)樵谶@100個(gè)零件中，合格的零件為60個(gè)，故質(zhì)量合格的零件所占樣本比例為.而在這1000個(gè)零件中，質(zhì)量合格的零件數(shù)為：(個(gè)).（2）由可得，，又因?yàn)椋?，因此可得?代入數(shù)據(jù)可得：.（3）用表示抽查的結(jié)果，若第個(gè)零件與第個(gè)零件被選中，則記；若結(jié)果是其余情況，則記，.由線性期望的性質(zhì)可得：(個(gè)).20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:右頂點(diǎn)為，點(diǎn)、分別是軸負(fù)半軸、軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).（1）若是的左焦點(diǎn)，且，求的值；（2）設(shè)，上存在軸上方一點(diǎn).若，求的坐標(biāo)；（3）設(shè)，過(guò)的直線與交于、兩點(diǎn)(、兩點(diǎn)不重合)，與軸交于且的縱坐標(biāo)，記與到直線的距離分別為、.若存在直線，滿足成立，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)榕c的左焦點(diǎn)重合，