2025屆上海市虹口區(qū)高三下學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1上海市虹口區(qū)2025屆高三下學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.已知全集，，則_________【答案】【解析】由題全集，，所以.故答案為：.2.不等式的解集是____________．【答案】【解析】原不等式等價(jià)于且，解為，故答案為『點(diǎn)石成金』：分式不等式，，這里容易出錯(cuò)，要注意．3.若，則___________.【答案】【解析】.故答案為：.4.已知圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，則其側(cè)面積為_(kāi)_____________.【答案】【解析】由題意，圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得其側(cè)面積為.5.若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且經(jīng)過(guò)圓的圓心，則的方程為_(kāi)_____【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，且經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以，直線(xiàn)的方程為.故答案為：.6.某公司為了解用電量（單位：千瓦時(shí)）與氣溫（單位：攝氏度）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，繪制了如右表格，由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程，則實(shí)數(shù)______【答案】【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，，所以，樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，將樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)代入回歸直線(xiàn)方程可得，解得.故答案為：.7.若的三條邊的長(zhǎng)分別為、、，則的外接圓面積為_(kāi)_____.（結(jié)果保留）【答案】【解析】不妨設(shè)，，，由余弦定理可得，所以，角為銳角，故，設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，，因此，的外接圓的面積為.故答案為：.8.已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，且，若在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則______.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)樵趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，，因?yàn)?，故，即，解得：或（舍去），故，，?dāng)時(shí)，代入方程得，，即，故,當(dāng)時(shí)，代入方程得，，即，故,綜上可得，故答案為：9.某工廠(chǎng)生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：毫米）服從正態(tài)分布，且，若對(duì)該工廠(chǎng)同批生產(chǎn)的4個(gè)零件逐一檢查，則僅有1個(gè)零件的長(zhǎng)度大于3.5毫米的概率為_(kāi)_____【答案】【解析】根據(jù)可得，即，又由對(duì)稱(chēng)性可知，所以，即任取1個(gè)零件其長(zhǎng)度大于3.5毫米的概率為；因此4個(gè)零件逐一檢查，僅有1個(gè)零件的長(zhǎng)度大于3.5毫米的概率為；故答案為：10.已知個(gè)小球的編號(hào)為、、、，從中有放回地摸取小球三次，并依次記錄其編號(hào)，若這三個(gè)編號(hào)成等差數(shù)列，則共有______種不同的摸取方法.【答案】【解析】若三個(gè)編號(hào)成等差數(shù)列，若三個(gè)編號(hào)相同，共有種，若三個(gè)編號(hào)彼此都不相同，設(shè)這三個(gè)編號(hào)為、、，則，則、同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則可由來(lái)確定，奇數(shù)編號(hào)的小球共個(gè)，偶數(shù)編號(hào)的小球共個(gè)，若、同為奇數(shù)，則、的選擇方法種數(shù)為種；若、同為偶數(shù)，則、的選擇方法種數(shù)為種.當(dāng)三個(gè)編號(hào)彼此不同時(shí)，不同的摸法種數(shù)為種.綜上所述，不同的摸法種數(shù)為種.故答案為：.11.1798年，人口學(xué)家馬爾薩斯假設(shè)：①人口數(shù)是隨著時(shí)間連續(xù)變化的函數(shù)；②人口增長(zhǎng)率為常數(shù)，且單位時(shí)間內(nèi)的人口增長(zhǎng)量與成正比，進(jìn)而建立了人口增長(zhǎng)模型.19世紀(jì)中葉的生物學(xué)家們發(fā)現(xiàn)由于人類(lèi)生存條件的限制，不是常數(shù)，因此改進(jìn)了馬爾薩斯的假設(shè)②，并添加了1條假設(shè)：②是隨著時(shí)間連續(xù)變化的函數(shù)，存在人口最大瞬時(shí)增長(zhǎng)率，使，且僅與和有關(guān)；③存在最大人口數(shù)，當(dāng)人口數(shù)達(dá)到時(shí)，.那么在這些假設(shè)下建立的人口增長(zhǎng)模型______.（用含有、、的式子表示）【答案】【解析】根據(jù)假設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，代入可得，解得，由單位時(shí)間內(nèi)的人口增長(zhǎng)量與成正比，可得，將，代入可得，所以假設(shè)下建立的人口增長(zhǎng)模型.故答案：.12.記為有限集合中的元素個(gè)數(shù).設(shè)，能被整除}，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由于，所以，被除余數(shù)為，因此，集合中的元素只需滿(mǎn)足能被整除即可，設(shè)，從而可得,即需取以為間隔的等間隔分布的實(shí)數(shù)，不論實(shí)數(shù)和正整數(shù)如何選取，區(qū)間中最多只能找到三個(gè)值，考慮到任意性，考慮區(qū)間長(zhǎng)度最長(zhǎng)的情況，即求的最大值，設(shè)，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，因此，問(wèn)題的要求是在任意一段長(zhǎng)度不超過(guò)的區(qū)間里最多只能找到三個(gè)值，而的取值是以為間隔的，故臨界情況是：長(zhǎng)度為的區(qū)間剛好對(duì)應(yīng)個(gè)間隔，因此，只需，解得.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13.若是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）條件.A.充要 B.充分非必要C.必要非充分 D.既非充分又非必要【答案】C【解析】“”即“或”，故“”不能推出“”，“”可以推出“”，故“”是“”的必要非充分條件.故選：C14.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋摵瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，A不滿(mǎn)足要求；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，設(shè)，則，故函數(shù)為偶函數(shù)，B不滿(mǎn)足要求；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，C不滿(mǎn)足要求；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，D滿(mǎn)足要求.故選：D.15.春節(jié)期間，小明和弟弟玩起了一種自定義游戲，規(guī)定先由弟弟擲一顆質(zhì)量均勻的骰子，若弟弟擲出的點(diǎn)數(shù)為6，則吃1顆花生；若擲出其他點(diǎn)數(shù)，則記下這個(gè)點(diǎn)數(shù)，然后由小明開(kāi)始兩個(gè)人輪流擲這顆骰子，直至任意一方擲出這個(gè)記下的點(diǎn)數(shù)或者6，一次游戲結(jié)束.若擲出的是這個(gè)記下的點(diǎn)數(shù)，則弟弟吃1顆花生；若是6，則小明吃3顆花生.任意一次游戲中弟弟能吃到1顆花生的概率為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】第一步：第一次擲骰子的概率（1）擲出6點(diǎn)：概率為，弟弟直接吃1顆花生；（2）非6點(diǎn)：概率為，記下點(diǎn)數(shù)，進(jìn)入后續(xù)階段.第二步：后續(xù)階段的概率分析設(shè)小明擲骰子時(shí)弟弟吃到花生的概率為，弟弟擲骰子時(shí)弟弟吃到花生的概率為，若小明擲骰子：（1）擲出：概率為，弟弟吃1顆花生；（2）擲出：概率為，小明吃3顆花生；（3）其他點(diǎn)數(shù)：概率為，輪到弟弟擲骰子，此時(shí)概率為，故有①；若弟弟擲骰子：（1）擲出：概率為，弟弟吃1顆花生；（2）擲出：概率為，小明吃3顆花生；（3）其他點(diǎn)數(shù)：概率，輪到小明擲骰子，此時(shí)概率為，故有②；聯(lián)立①②兩式，可得，即后續(xù)階段弟弟吃到花生的概率為，故任意一次游戲中弟弟能吃到1顆花生的概率為.故選：D16.在空間中，點(diǎn)為定點(diǎn)，設(shè)集合，則以下說(shuō)法正確的是（）.①若在上的數(shù)量投影為，則線(xiàn)段在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的幾何體體積為；②對(duì)于任意的以及任意的正實(shí)數(shù)，設(shè)，若，則.A.①是真命題，②是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②是假命題【答案】A【解析】由，因且，可得，即，即，所以是以為球心，半徑為的球體內(nèi)部及其表面，①若在上的數(shù)量投影為，即，設(shè)是軸上的單位向量，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則滿(mǎn)足，且，將代入可得，解得，所以軌跡為半徑為，位于平面上，所以線(xiàn)段在運(yùn)動(dòng)中所形成的幾何體為圓錐，其中底面半徑為，高為，則圓錐的體積為，所以①是真命題；由集合是以為球心，半徑為的球體內(nèi)部及其表面，對(duì)于任意的，以及任意的正實(shí)數(shù)，且，即，且，且若，因?yàn)榍蝮w中的任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)段上的點(diǎn)均在球體內(nèi)，根據(jù)是凸集，結(jié)合凸集的性質(zhì)，可得，即，所以，所以②正確.故選：A.三、解答題（本大題共5題，滿(mǎn)分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫(xiě)出必要步驟.17.如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若異面直線(xiàn)和所成角為，求點(diǎn)到平面距離.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，，，,，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：連接，，，由(1)可知，，四邊形是平行四邊形，，且，是異面直線(xiàn)和所成角，即，設(shè)，，，，是等邊三角形，，，即，，，，由(1)知，平面，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，即，即，，即點(diǎn)到平面的距離為.18.已知函數(shù)的表達(dá)式為，.（1）解不等式：；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）由已知代入可得不等式：，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：且，則且，解得：（2）由已知可得：則令，因?yàn)椋?，即，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，則，要使得等式，則，故的最小值為.19.已知某區(qū)組建了一支120人的志愿者隊(duì)伍，并由其中72人組成“志愿模范隊(duì)”.經(jīng)過(guò)一年的實(shí)踐，全隊(duì)共有72人的周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)，其中有54人來(lái)自“志愿模范隊(duì)”，如下表所示.是“志愿模范隊(duì)”成員不是“志愿模范隊(duì)”成員總計(jì)周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)5472周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)2小時(shí)總計(jì)72120（1）已知一名志愿者是“志愿模范隊(duì)”成員，求其周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)的概率.（2）請(qǐng)完成列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：是否有99.9%的把握認(rèn)為“是‘志愿模范隊(duì)’成員”與“周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)”有關(guān)系？（3）現(xiàn)從周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)的人員中按照是否為“志愿模范隊(duì)”成員進(jìn)行分層抽樣，選取8人組建“志愿突擊隊(duì)”，并從這8人中再隨機(jī)選取2人做深度訪(fǎng)談，記隨機(jī)變量為這2人中來(lái)自于“志愿模范隊(duì)”的人數(shù)，求的分布與方差附錄：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范隊(duì)”成員，則其周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)的概率：.（2）根據(jù)題意，可將表格補(bǔ)充完整：是“志愿模范隊(duì)”成員不是“志愿模范隊(duì)”成員總計(jì)周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)541872周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)2小時(shí)183048總計(jì)7248120故，所以有99.9%的把握認(rèn)為“是‘志愿模范隊(duì)’成員”與“周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)”有關(guān)系.（3）由分層抽樣可知，這8人中有6個(gè)來(lái)自“志愿模范隊(duì)”，2個(gè)不是“志愿模范隊(duì)”成員，故隨機(jī)變量可能為且,故分布列如下：012所以期望：，方差：.20.已知點(diǎn)和是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn).（1）若是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，求的離心率；（2）當(dāng)時(shí)，若雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足，求的面積；（3）若在雙曲線(xiàn)上分別存在兩點(diǎn)和，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第二象限，使得四邊形的面積為，且存在實(shí)數(shù)使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則，可得，此時(shí)，雙曲線(xiàn)的離心率為.（2）若，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，且，則，由雙曲線(xiàn)的定義可得，又因?yàn)?，則，，所以，，所以，，故.（3）取點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，連接、，則為、的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，又因?yàn)?，則，即、、三點(diǎn)共線(xiàn)，易知，直線(xiàn)不與軸重合，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)?，所以，，則，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，整理可得，令，則，則關(guān)于的二次方程在上有解，設(shè)，則二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，解得，因此，的取值范圍是.21.對(duì)于定義在上的函數(shù)和，，設(shè).（1）若，，求；（2）若，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知對(duì)任意，均有，記，求證：“對(duì)任意，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)均有限”的充要條件是“在上是嚴(yán)格增函數(shù)”.（1）解：記，函數(shù)上的值域?yàn)?，即．?）解：設(shè)在上的最小值．.當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格增；當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格減；當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格增．當(dāng)時(shí)取得極小值．當(dāng)時(shí)，舍去．當(dāng)時(shí)，．綜上，．（3）證明：（充分性）若是嚴(yán)格增函數(shù)，則的最小值為，而，故對(duì)任意，都有，即與是相同函數(shù)．故是嚴(yán)格增函數(shù)，所以嚴(yán)格增函數(shù)，故對(duì)任意的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有限．（必要性）對(duì)任意，都有，故的值域?yàn)椋丛谏系淖钚≈禐椋茸C是嚴(yán)格增函數(shù)．對(duì)任意，函數(shù)和的最小值分別為和，則由最小值的定義，，故函數(shù)是增函數(shù)．假設(shè)存在，使得，則對(duì)任意，均有，從而方程的解有無(wú)限多個(gè)，與條件＂對(duì)任意，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)均有限＂矛盾．故假設(shè)不成立，從而是嚴(yán)格增函數(shù)．再證對(duì)任意，函數(shù)的最小值為．假設(shè)存在使得，取，則的最小值為．由于嚴(yán)格增，知．而，故，矛盾．所以假設(shè)不成立，對(duì)任意，函數(shù)的最小值為．另證：再證對(duì)任意，函數(shù)的最小值為．．假設(shè)，則由在上的最小值為，存在使得，故在上的最小值為．取，則在上的最小值為，故．但由為嚴(yán)格增函數(shù)，知，矛盾．所以假設(shè)不成立，所以．即對(duì)任意，函數(shù)的最小值為．而對(duì)任意的值域?yàn)?，故．于是與是相同函數(shù)，所以是嚴(yán)格增函數(shù)．上海市虹口區(qū)2025屆高三下學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.已知全集，，則_________【答案】【解析】由題全集，，所以.故答案為：.2.不等式的解集是____________．【答案】【解析】原不等式等價(jià)于且，解為，故答案為『點(diǎn)石成金』：分式不等式，，這里容易出錯(cuò)，要注意．3.若，則___________.【答案】【解析】.故答案為：.4.已知圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，則其側(cè)面積為_(kāi)_____________.【答案】【解析】由題意，圓柱的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得其側(cè)面積為.5.若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且經(jīng)過(guò)圓的圓心，則的方程為_(kāi)_____【答案】【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)平行，且經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以，直線(xiàn)的方程為.故答案為：.6.某公司為了解用電量（單位：千瓦時(shí)）與氣溫（單位：攝氏度）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，繪制了如右表格，由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程，則實(shí)數(shù)______【答案】【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，，所以，樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為，將樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)代入回歸直線(xiàn)方程可得，解得.故答案為：.7.若的三條邊的長(zhǎng)分別為、、，則的外接圓面積為_(kāi)_____.（結(jié)果保留）【答案】【解析】不妨設(shè)，，，由余弦定理可得，所以，角為銳角，故，設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，，因此，的外接圓的面積為.故答案為：.8.已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根，且，若在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則______.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)樵趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，，因?yàn)?，故，即，解得：或（舍去），故，，?dāng)時(shí)，代入方程得，，即，故,當(dāng)時(shí)，代入方程得，，即，故,綜上可得，故答案為：9.某工廠(chǎng)生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：毫米）服從正態(tài)分布，且，若對(duì)該工廠(chǎng)同批生產(chǎn)的4個(gè)零件逐一檢查，則僅有1個(gè)零件的長(zhǎng)度大于3.5毫米的概率為_(kāi)_____【答案】【解析】根據(jù)可得，即，又由對(duì)稱(chēng)性可知，所以，即任取1個(gè)零件其長(zhǎng)度大于3.5毫米的概率為；因此4個(gè)零件逐一檢查，僅有1個(gè)零件的長(zhǎng)度大于3.5毫米的概率為；故答案為：10.已知個(gè)小球的編號(hào)為、、、，從中有放回地摸取小球三次，并依次記錄其編號(hào)，若這三個(gè)編號(hào)成等差數(shù)列，則共有______種不同的摸取方法.【答案】【解析】若三個(gè)編號(hào)成等差數(shù)列，若三個(gè)編號(hào)相同，共有種，若三個(gè)編號(hào)彼此都不相同，設(shè)這三個(gè)編號(hào)為、、，則，則、同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則可由來(lái)確定，奇數(shù)編號(hào)的小球共個(gè)，偶數(shù)編號(hào)的小球共個(gè)，若、同為奇數(shù)，則、的選擇方法種數(shù)為種；若、同為偶數(shù)，則、的選擇方法種數(shù)為種.當(dāng)三個(gè)編號(hào)彼此不同時(shí)，不同的摸法種數(shù)為種.綜上所述，不同的摸法種數(shù)為種.故答案為：.11.1798年，人口學(xué)家馬爾薩斯假設(shè)：①人口數(shù)是隨著時(shí)間連續(xù)變化的函數(shù)；②人口增長(zhǎng)率為常數(shù)，且單位時(shí)間內(nèi)的人口增長(zhǎng)量與成正比，進(jìn)而建立了人口增長(zhǎng)模型.19世紀(jì)中葉的生物學(xué)家們發(fā)現(xiàn)由于人類(lèi)生存條件的限制，不是常數(shù)，因此改進(jìn)了馬爾薩斯的假設(shè)②，并添加了1條假設(shè)：②是隨著時(shí)間連續(xù)變化的函數(shù)，存在人口最大瞬時(shí)增長(zhǎng)率，使，且僅與和有關(guān)；③存在最大人口數(shù)，當(dāng)人口數(shù)達(dá)到時(shí)，.那么在這些假設(shè)下建立的人口增長(zhǎng)模型______.（用含有、、的式子表示）【答案】【解析】根據(jù)假設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，代入可得，解得，由單位時(shí)間內(nèi)的人口增長(zhǎng)量與成正比，可得，將，代入可得，所以假設(shè)下建立的人口增長(zhǎng)模型.故答案：.12.記為有限集合中的元素個(gè)數(shù).設(shè)，能被整除}，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由于，所以，被除余數(shù)為，因此，集合中的元素只需滿(mǎn)足能被整除即可，設(shè)，從而可得,即需取以為間隔的等間隔分布的實(shí)數(shù)，不論實(shí)數(shù)和正整數(shù)如何選取，區(qū)間中最多只能找到三個(gè)值，考慮到任意性，考慮區(qū)間長(zhǎng)度最長(zhǎng)的情況，即求的最大值，設(shè)，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，因此，問(wèn)題的要求是在任意一段長(zhǎng)度不超過(guò)的區(qū)間里最多只能找到三個(gè)值，而的取值是以為間隔的，故臨界情況是：長(zhǎng)度為的區(qū)間剛好對(duì)應(yīng)個(gè)間隔，因此，只需，解得.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13.若是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）條件.A.充要 B.充分非必要C.必要非充分 D.既非充分又非必要【答案】C【解析】“”即“或”，故“”不能推出“”，“”可以推出“”，故“”是“”的必要非充分條件.故選：C14.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋摵瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，A不滿(mǎn)足要求；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，設(shè)，則，故函數(shù)為偶函數(shù)，B不滿(mǎn)足要求；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，C不滿(mǎn)足要求；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，D滿(mǎn)足要求.故選：D.15.春節(jié)期間，小明和弟弟玩起了一種自定義游戲，規(guī)定先由弟弟擲一顆質(zhì)量均勻的骰子，若弟弟擲出的點(diǎn)數(shù)為6，則吃1顆花生；若擲出其他點(diǎn)數(shù)，則記下這個(gè)點(diǎn)數(shù)，然后由小明開(kāi)始兩個(gè)人輪流擲這顆骰子，直至任意一方擲出這個(gè)記下的點(diǎn)數(shù)或者6，一次游戲結(jié)束.若擲出的是這個(gè)記下的點(diǎn)數(shù)，則弟弟吃1顆花生；若是6，則小明吃3顆花生.任意一次游戲中弟弟能吃到1顆花生的概率為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】第一步：第一次擲骰子的概率（1）擲出6點(diǎn)：概率為，弟弟直接吃1顆花生；（2）非6點(diǎn)：概率為，記下點(diǎn)數(shù)，進(jìn)入后續(xù)階段.第二步：后續(xù)階段的概率分析設(shè)小明擲骰子時(shí)弟弟吃到花生的概率為，弟弟擲骰子時(shí)弟弟吃到花生的概率為，若小明擲骰子：（1）擲出：概率為，弟弟吃1顆花生；（2）擲出：概率為，小明吃3顆花生；（3）其他點(diǎn)數(shù)：概率為，輪到弟弟擲骰子，此時(shí)概率為，故有①；若弟弟擲骰子：（1）擲出：概率為，弟弟吃1顆花生；（2）擲出：概率為，小明吃3顆花生；（3）其他點(diǎn)數(shù)：概率，輪到小明擲骰子，此時(shí)概率為，故有②；聯(lián)立①②兩式，可得，即后續(xù)階段弟弟吃到花生的概率為，故任意一次游戲中弟弟能吃到1顆花生的概率為.故選：D16.在空間中，點(diǎn)為定點(diǎn)，設(shè)集合，則以下說(shuō)法正確的是（）.①若在上的數(shù)量投影為，則線(xiàn)段在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所形成的幾何體體積為；②對(duì)于任意的以及任意的正實(shí)數(shù)，設(shè)，若，則.A.①是真命題，②是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是假命題，②是假命題【答案】A【解析】由，因且，可得，即，即，所以是以為球心，半徑為的球體內(nèi)部及其表面，①若在上的數(shù)量投影為，即，設(shè)是軸上的單位向量，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則滿(mǎn)足，且，將代入可得，解得，所以軌跡為半徑為，位于平面上，所以線(xiàn)段在運(yùn)動(dòng)中所形成的幾何體為圓錐，其中底面半徑為，高為，則圓錐的體積為，所以①是真命題；由集合是以為球心，半徑為的球體內(nèi)部及其表面，對(duì)于任意的，以及任意的正實(shí)數(shù)，且，即，且，且若，因?yàn)榍蝮w中的任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)段上的點(diǎn)均在球體內(nèi)，根據(jù)是凸集，結(jié)合凸集的性質(zhì)，可得，即，所以，所以②正確.故選：A.三、解答題（本大題共5題，滿(mǎn)分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫(xiě)出必要步驟.17.如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若異面直線(xiàn)和所成角為，求點(diǎn)到平面距離.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，，，且，四邊形是平行四邊形，，，，，，，,，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：連接，，，由(1)可知，，四邊形是平行四邊形，，且，是異面直線(xiàn)和所成角，即，設(shè)，，，，是等邊三角形，，，即，，，，由(1)知，平面，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，即，即，，即點(diǎn)到平面的距離為.18.已知函數(shù)的表達(dá)式為，.（1）解不等式：；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）由已知代入可得不等式：，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：且，則且，解得：（2）由已知可得：則令，因?yàn)椋?，即，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，則，要使得等式，則，故的最小值為.19.已知某區(qū)組建了一支120人的志愿者隊(duì)伍，并由其中72人組成“志愿模范隊(duì)”.經(jīng)過(guò)一年的實(shí)踐，全隊(duì)共有72人的周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)，其中有54人來(lái)自“志愿模范隊(duì)”，如下表所示.是“志愿模范隊(duì)”成員不是“志愿模范隊(duì)”成員總計(jì)周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)5472周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)2小時(shí)總計(jì)72120（1）已知一名志愿者是“志愿模范隊(duì)”成員，求其周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)的概率.（2）請(qǐng)完成列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：是否有99.9%的把握認(rèn)為“是‘志愿模范隊(duì)’成員”與“周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)”有關(guān)系？（3）現(xiàn)從周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)的人員中按照是否為“志愿模范隊(duì)”成員進(jìn)行分層抽樣，選取8人組建“志愿突擊隊(duì)”，并從這8人中再隨機(jī)選取2人做深度訪(fǎng)談，記隨機(jī)變量為這2人中來(lái)自于“志愿模范隊(duì)”的人數(shù)，求的分布與方差附錄：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范隊(duì)”成員，則其周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)的概率：.（2）根據(jù)題意，可將表格補(bǔ)充完整：是“志愿模范隊(duì)”成員不是“志愿模范隊(duì)”成員總計(jì)周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)541872周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)2小時(shí)183048總計(jì)7248120故，所以有99.9%的把握認(rèn)為“是‘志愿模范隊(duì)’成員”與“周平均服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)2小時(shí)”有關(guān)系.（3）由分層抽樣可知，