廣東省廣州市衡美高級中學2024−2025學年高二下學期期中檢測 數(shù)學試題（含解析）

廣東省廣州市衡美高級中學2024?2025學年高二下學期期中檢測數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，滿足，則（）A． B．1 C． D．22．已知是等差數(shù)列的前項和，且，則（）A．55 B．50 C．100 D．583．在展開式中，的系數(shù)為（

）A．15 B．90 C．270 D．4054．已知函數(shù)在處可導，且，則（

）A． B．9 C． D．15．已知數(shù)列，則該數(shù)列的第99項為（

）A． B．197 C． D．1996．曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A．1 B．3 C． D．7．如圖，在平行六面體中，點在對角線上，點在對角線上，，，以下命題正確的是（

）A．B．、、三點共線C．與是異面直線D．8．樹人中學的科學社團設計了一塊如下圖所示的正反面內(nèi)容相同的雙面團牌，給團牌的正反兩面6個區(qū)域涂色，有3種不同顏色可選，要求同面有公共邊的區(qū)域不同色，同一區(qū)域的兩面也不同色，則不同的涂色方法的種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．54 D．56二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．10．已知數(shù)列的前項和為，，，則（）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．C．D．數(shù)列的前項和為11．已知函數(shù)（）存在兩個極值點，（），且，.設的零點個數(shù)為m，方程的實根個數(shù)為n，則（）A． B．n的取值為2、3、4C． D．mn的取值為3、6、9三、填空題（本大題共3小題）12．設等差數(shù)列的前項和分別為，若，則.13．已知函數(shù)，函數(shù)，若恒有，則的取值范圍為．14．將9個互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三個向量的和都相等，則不同的填法種數(shù)是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數(shù)列的前n項和為，.(1)求的通項公式；(2)若，求前n項和.16．在下列三個條件中任選一個條件，補充在問題中的橫線上，并解答．條件①：展開式中第3項的二項式系數(shù)是21；條件②：展開式中第2項與第7項的二項式系數(shù)相等；條件③：展開式中所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于64．【選擇多個條件解答，則按第一個條件計分】問題：已知二項式，若________，求：(1)的值；(2)展開式中二項式系數(shù)最大的項．17．如圖所示，在四面體中，平面，是的中點，分別在線段上，且，．(1)求證：平面；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，求實數(shù)k的取值范圍；(3)若在上恒成立，求出正整數(shù)k的最大值；19．定義正方形數(shù)陣滿足，其中i，.(1)若，求數(shù)陣所有項的和T；(2)若m，n，p，，求證：也是數(shù)陣中的項；(3)若，，且，求的值為奇數(shù)的概率.

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，所以，即，所以.故選D.2．【答案】A【詳解】由題意，.故選A.3．【答案】B【詳解】在展開式中，的項為，所以所求的系數(shù)為90.故選B4．【答案】B【詳解】.故選B.5．【答案】B【詳解】通過觀察，該數(shù)列的通項公式為，所以.故選B.6．【答案】C【詳解】由，得，則，，所以曲線在點處的切線方程為，令，得，令，得，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為.故選C.7．【答案】B【詳解】在平行六面體中，令，，，則，，，，因為不共線所以與不平行，故A錯誤.，，即有，，有公共點，所以、、三點共線，B選項正確.因為點在直線上，點也在直線上所以與是相交直線，故C選項錯誤.因為，所以，故D選項錯誤.故選B.8．【答案】C【詳解】若只用2種不同的顏色，則正反面的上下區(qū)域同色，中間區(qū)域涂剩下的一種顏色即可，所以有種涂色方法.若用3種不同的顏色，當正反面都只用2種顏色時，有種涂色方法；當正面用2種顏色，反面用3種顏色時，則在正面未用的顏色不能涂在反面的中間，所以有種涂色方法；同理，當正面用3種顏色，反面用2種顏色時，也有種涂色方法；當正反兩面都用3種顏色時，有種涂色方法.所以共有54種不同的涂色方法.故選C.9．【答案】ACD【詳解】A：，故A正確；B：，故B錯誤；C：，故C正確；D：，故D正確.選ACD10．【答案】ACD【詳解】A選項，，其中，所以是公比為2的等比數(shù)列，A正確；C選項，由A知，，所以，C正確；B選項，當時，，當時，，顯然滿足，故，B錯誤；D選項，，故，即為公比為的等比數(shù)列，且，所以的前項和為，D正確.故選ACD.11．【答案】AD【詳解】由，可得為二次函數(shù)，（）為的零點，由，得或，因為，令，解得或；令，解得，所以在和內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點，為極小值點，所以，又，，即，若，則，此時，與矛盾，故A正確；因為，所以有2個解，有1個解，所以有3個解，故B錯誤；當時，如圖所示，的零點個數(shù)為，所以，，故，當時，如圖所示，的零點個數(shù)為，所以，，故，當時，如圖所示，的零點個數(shù)為，所以，，故，故C錯誤，D正確.故選AD.12．【答案】【詳解】因為，所以.13．【答案】【詳解】因為，即，即，令，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.14．【答案】72【詳解】已知，那么向量的所有可能情況有共種.設每行、每列的三個向量的和為，因為，所以.又因為三行向量和等于三列向量和，且所有向量和為，所以，而的分量和分量都為（取值且各有個），所以.要使每行、每列的三個向量和為，則每行、每列的三個向量的分量和分量都分別為.對于分量，個數(shù)的和為，有這一種組合情況；對于分量，個數(shù)的和為，也有這一種組合情況.先確定第一行的填法，第一行的個向量的分量和分量都要滿足的組合，分量的排列有種，分量的排列也有種，所以第一行的填法有種.當?shù)谝恍写_定后，第二行第一列的向量分量要與第一行第一列和第三行第一列的分量和為，分量同理，所以第二行第一列的向量是唯一確定的，同理第二行第二列、第二行第三列的向量也唯一確定，第三行的向量也就隨之確定.因為第一行確定后，第二行和第三行可以交換位置.所以不同的填法種數(shù)是種.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為是等差數(shù)列，設其公差為，由題知，解得，所以的通項公式為.（2）由題知，所以.16．【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).【詳解】（1）選條件①，展開式中第3項的二項式系數(shù)是21，則，而，所以.選條件②，展開式中第2項與第7項的二項式系數(shù)相等，則，所以.選條件③，展開式中所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于64，則，所以.（2）由（1）知，，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項和第5項，即，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）方法一：如圖，在線段上取一點，使，由已知，，且，在線段上取一點，使，由已知，，且，所以，且，因此四邊形為平行四邊形，所以，又平面，且平面，所以平面．方法二：如圖，連接并延長交于連接，在中，過點作，交于點，因為，所以，又是的中點，則，所以，即，又因為，所以，又平面，平面，所以平面．（2）由，，知．以為坐標原點，過點與平行的直線為軸，分別以所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系．又，得，，，，，則，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．【答案】(1)增區(qū)間，減區(qū)間(2)(3)3【詳解】（1）當時，，，則，令，得，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由，當時，由，得，所以，在上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象不間斷，又，所以當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，不合題意.當時，令，得，若，則，故在上是單調(diào)減函數(shù)，若，則，故在上是單調(diào)增函數(shù)，當時，，又，所以函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，符合題意．綜上所述，的取值范圍為.（3）由在上恒成立，即，由，則，對上恒成立，令，則，設，則，所以在是單調(diào)增函數(shù)，又，，所以存在唯一的實數(shù)，使得，當時，，即，當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，即，，，又，，所以的最大值為3，19．【答案】(1)0；(2)證明見詳解；(3)答案見詳解.【詳解】（1）若，則的所有取值情況為：，故數(shù)陣共99項，由知：，，所以.（2）證明：，由知，，故