湖南省長沙市南雅梅溪湖中學2024−2025學年高二下學期階段性檢測 數(shù)學試卷（含解析）

湖南省長沙市南雅梅溪湖中學2024?2025學年高二下學期階段性檢測數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），是的共軛復數(shù)，則的值為（

）A．1 B． C． D．3．直線與直線平行，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．2或4．已知向量，滿足，，則（

）A． B． C．2 D．15．在一次籃球比賽中，某支球隊共進行了8場比賽，得分分別為：29，30，38，25，37，40，42，32，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（

）A．37.5 B．38 C．39 D．406．已知甲盒中有3個大小和質地相同的小球，標號為，乙盒中有3個大小和質地相同的小球，標號為，現(xiàn)從甲?乙兩盒中分別隨機摸出1個小球，記事件“摸到的兩個小球標號相同”，事件“摸到的兩個小球標號之和為奇數(shù)”，則（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相對立C．事件A和相互獨立 D．事件A和互斥7．當動點在正方體的體對角線上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是A． B． C． D．8．已知點在橢圓上，，是橢圓的左、右焦點，若，且的面積為1，則的最小值為（

）A．2 B． C．2 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知是直線的一個方向向量，是直線的一個方向向量，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．直線，夾角的余弦值為10．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若a>b>c，則C．“”是無理數(shù)是“a是無理數(shù)”的充要條件D．在中，“為直角三角形”的充要條件是“”11．下列各組函數(shù)中，是相同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線與曲線有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為．13．已知點，若的夾角為銳角，則的取值范圍為．14．已知，為橢圓的兩個焦點，為上關于坐標原點對稱的兩點，且，則三角形的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線.（1）求證：直線過定點；（2）若直線不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍；（3）若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.16．已知函數(shù)最小值為，周期為.(1)求實數(shù)的值；(2)當時，求函數(shù)的值域.17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側棱底面，點是的中點，，．

(1)求與所成角的大小；(2)求與平而所成角的正弦值．18．在中，內角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，且，求的面積．19．杭州第19屆亞運會，是亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事，本屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州舉辦，某款亞運會周邊產(chǎn)品深受大家喜愛，供不應求，某工廠日夜加班生產(chǎn)該款產(chǎn)品，生產(chǎn)該款產(chǎn)品的固定成本為4萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本萬元．當產(chǎn)量不足6萬件時，；當產(chǎn)量不小于6萬件時，，若該款產(chǎn)品的售價為6元/件，通過市場分析，該工廠生產(chǎn)的該款產(chǎn)品可以全部銷售完．(1)求該款產(chǎn)品銷售利潤（萬元）關于產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)關系式；(2)當產(chǎn)量為多少萬件時，該工廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？

參考答案1．【答案】C【詳解】由，得，解得，所以.所以.故選C.2．【答案】B【詳解】因為復數(shù)，所以，.故選B.3．【答案】C【詳解】當直線與直線不相交時，，解得，當時，直線與直線重合，不符合題意，舍去；當時，直線，即與直線平行，所以實數(shù)的值為.故選C4．【答案】C【詳解】因為向量，滿足，所以，，又因為，故，所以.故選C.5．【答案】C【分析】由百分位數(shù)的概念求解．【詳解】數(shù)據(jù)按從小到大排序為，而，故第75百分位數(shù)為.故選C.6．【答案】D【詳解】用每次取球的結果，分別表示甲?乙兩盒中分別隨機摸出1個小球的標號，由題意可知：樣本空間；事件；事件，；對于選項A：因為，所以事件A和不相等，故A錯誤；對于選項BD：因為事件，所以事件A和互斥，事件A和不互相對立，故B錯誤，D正確；對于選項C：因為，則，顯然，所以事件A和不相互獨立，故C錯誤；故選D.7．【答案】B【詳解】以為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BP與AD1所成角的取值范圍．【詳解】以為原點，，，分別為，，軸正向，建立空間直角坐標系，則，，設，則，，，故，對于函數(shù)，有：，，故，又，故.故選.8．【答案】B【詳解】如圖所示：不妨設，，（，），，則可知，，兩式相除可得，所以，又，所以，可得（，），由橢圓的定義，得（當且僅當時等號成立），所以．故選B．9．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的坐標運算和向量的位置關系，及夾角公式，逐項判定，即可求解.【詳解】因為向量是直線的一個方向向量，是直線的一個方向向量，由，所以A不正確；設，可得，此時，此時方程組無解，所以B不正確；由，所以與不垂直，所以C不正確；由，可得，所以D正確.故選：ABC．10．【答案】BC【詳解】對于，當時，滿足，但，故錯誤；對于，因為，所以，所以，所以，故B正確；對于C，充分性：若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，充分性成立；必要性：若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，必要性成立.故“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件，故C正確；對于，若為直角三角形，當時，則有，故D錯誤.故選BC.11．【答案】ABD【詳解】對于A，的定義域、值域、對應關系都與相同，是同一函數(shù)．對于B，與是同一函數(shù)．對于C，，解析式不同，與不是同一函數(shù)．對于D，與是同一函數(shù)．故選ABD.12．【答案】或【詳解】曲線，，即曲線表示圓的上半圓，直線變形可得，該直線過定點，且斜率為，如圖所示，

當直線與半圓相切時，則有，即，解得，由圖得，舍去，當直線過點時，，當直線過點時，，由圖形可知，當曲線與直線有一個公共點時，或．13．【答案】【詳解】，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．14．【答案】4【詳解】因為為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，由橢圓的定義可得，所以，又因為，所以，所以，則.

15．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）由，即，則，解得，所以直線過定點；（2）如圖所示，結合圖象可知，當時，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；當時，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；綜上所述；（3）已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當時，取最小值，此時直線的方程為，即.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，所以.（2）由題意，因為，所以，于是，所以，所以函數(shù)的值域為.17．【答案】(1)；(2)【詳解】（1），又底面，，底面，，，故以A為坐標原點，，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，所以，所以，即與所成角的大小為；（2）由（1）知，，．設平面的一個法向量為，則，取，則，，所以是平面的一個法向量，設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．

18．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出，再由，得；（2）由已知條件及正弦定理得，根據(jù)余弦定理得，求出，最后根據(jù)面積公式計算即可.【詳解】（1）因為，，所以由正弦定理得,，又，所以，又，所以.（2）由，則，故，，所以，所以，又，整理得，則，解得，所以的面積為．19．【答案】(1)；(2)9；9.5萬元【分析】（1）根據(jù)題意可列出利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關系式.（