山西省部分學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

山西省部分學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若直線與直線垂直，則（

）A． B． C．1 D．22．如果隨機(jī)變量，且，則（

）A．0.28 B．0.36 C．0.72 D．0.563．已知橢圓E：的上、下頂點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)分別為A，B，，，且四邊形是正方形，則E的離心率為（

）A． B． C． D．4．直線l：與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)m的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．45．已知雙曲線C：，其左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交C的左右兩支分別于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（

）A．1 B．6 C．2 D．46．已知函數(shù)有最大值，則a的值為（

）A． B． C． D．7．用五種不同顏色的涂料涂在如圖所示的五個(gè)區(qū)域，相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色，且至少要用四種顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．480 C．420 D．3608．將數(shù)列和中所有的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計(jì)入排列），則數(shù)列的前50項(xiàng)和為（

）A．2160 B．2240 C．2236 D．2490二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．若，，則B．若，則C．若，，則D．若，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為10．已知隨機(jī)變量X，Y滿足，，且，則（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則B．若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則C．若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是D．若恰有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．從1，2，3，4，5，6，7這7個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為4的概率為．14．已知拋物線E：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)（A，B在x軸兩側(cè)），過點(diǎn)O向直線l作垂線，垂足為C，且，則點(diǎn)C到x軸的最大距離為．四、解答題（本大題共5小題）15．若，其中．（1）求m的值；（2）求．16．已知橢圓C：的焦距為，且橢圓C過點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：與橢圓C交于不同的A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，證明：為定值．17．設(shè)甲盒有4個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有2個(gè)白球，4個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒中任取2個(gè)球放入乙盒中，再?gòu)囊液兄腥稳?個(gè)球．（1）記隨機(jī)變量表示從甲盒取出的紅球個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求從乙盒取出的1個(gè)球?yàn)榧t球的概率．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）記，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．①求；②若存在，使得，求的取值范圍．19．已知函數(shù)．（1）若，求證：在上單調(diào)遞減；（2）若在上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明：

參考答案1．【答案】C【詳解】由直線與直線垂直，得，所以.故選C2．【答案】A【詳解】由隨機(jī)變量，且，所以.故選A3．【答案】B【詳解】由題意得，故，又，則E的離心率為.故選B4．【答案】A【詳解】依題意，，解得，而，則，，于是點(diǎn)到直線的距離，因此，而，所以.故選A5．【答案】D【詳解】設(shè)，則，因此，解得，所以C的實(shí)軸長(zhǎng).故選D6．【答案】A【詳解】易知，且；令，解得或（舍）；顯然當(dāng)時(shí)不合題意，當(dāng)時(shí)，若，易知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，易知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，也是最大值，即，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，若，易知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，易知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；此時(shí)無最大值，不符合題意；綜上可知，.故選A7．【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，完成涂色需要分5步，按照順序依次涂區(qū)域CADEB，C區(qū)域有5種顏色可選，A區(qū)域有4種顏色可選，D區(qū)域有3種顏色可選；若E區(qū)域與D區(qū)域顏色相同，E區(qū)域有1種顏色可選，則B區(qū)域有3種顏色可選；若E區(qū)域與D區(qū)域顏色不同，E區(qū)域有2種顏色可選，則B區(qū)域有2種顏色可選；再由分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得共有種.故選C.8．【答案】C【詳解】由題知：中第50個(gè)數(shù)為，第41個(gè)數(shù)為，因?yàn)?，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和中含中元素46個(gè)，含中元素4個(gè)，所以.故選C9．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，顯然不共線，因此與平面不垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，因此在上的投影向量為，D正確.故選BCD10．【答案】ABD【詳解】由，，得，而，解得，對(duì)于AC，，，A正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于BD，由，得，，，BD正確.故選ABD11．【答案】AD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，于是，令，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求導(dǎo)得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則存在，使得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則存在，使得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，于是函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，且，當(dāng)或或時(shí)；當(dāng)或或時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象最多兩個(gè)交點(diǎn)；函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，，，由，得，當(dāng)時(shí)，取得極小值，，同理，對(duì)于AB，恰有3個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，恰有4個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則，C錯(cuò)誤，D正確.故選AD12．【答案】5【詳解】依題意，展開式中項(xiàng)分別為，因此的展開式中項(xiàng)為，所以所求系數(shù)為5.13．【答案】【詳解】從這7個(gè)數(shù)中任取3個(gè)不同的數(shù)，所有的情況有種，要使得這3個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)為4，則需要從1,2,3中任選一個(gè)數(shù)，從5,6,7中任選一個(gè)數(shù)，再加上4，即可滿足，故有,故概率為.14．【答案】4【詳解】由于，，得∽，則，，即，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由消去得，則，，由，得，而，解得，因此直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓（除點(diǎn)外），所以點(diǎn)到x軸的最大距離為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）易知展開式中含項(xiàng)為，因此可得，即；解得；（2）由（1）可知，二項(xiàng)式為，令，可得；令，可得;因此可得.16．【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）由橢圓C：過點(diǎn)，得，而橢圓的半焦距，則，所以橢圓C的方程為.（2）由消去得，設(shè)，，則，，而，因此，所以為定值.17．【答案】（1）分布列見解析，期望；（2）【詳解】（1）易知的所有可能取值為，所以，因此的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)“從甲盒中任取2個(gè)球全為紅色”為事件，“從甲盒中任取2個(gè)球?yàn)橐患t一白”為事件，“從甲盒中任取2個(gè)球全為白色”為事件，“從乙盒取出的1個(gè)球?yàn)榧t球”為事件，易知；；所以.即從乙盒取出的1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為.18．【答案】（1）證明見解析，；（2）①；②.【詳解】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，于是，而，即，則，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，.（2）①由（1）知，，，.②由①知，，，，而數(shù)列單調(diào)遞增，則，因此，由存在，使得，得，所以的取值范圍是.19．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【詳解】（1）證明：由，則，故，令，則，令，則，故，，在單調(diào)遞增，，，在單調(diào)遞減，故，則在單調(diào)遞減；（2）由在恒成立，則在