數(shù)學(xué)－“問(wèn)題解決策略：轉(zhuǎn)化”教案 2024-2025學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

“問(wèn)題解決策略：轉(zhuǎn)化”教案一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能理解“轉(zhuǎn)化”策略在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的意義，能運(yùn)用軸對(duì)稱變換解決最短路徑問(wèn)題。掌握將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應(yīng)用。通過(guò)“將軍飲馬”等實(shí)例，感受轉(zhuǎn)化策略在實(shí)際問(wèn)題中的通用性。過(guò)程與方法經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。通過(guò)小組討論、動(dòng)手操作等活動(dòng)，體會(huì)“化繁為簡(jiǎn)”“化陌生為熟悉”的轉(zhuǎn)化思路。情感態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究興趣，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。培養(yǎng)合作交流意識(shí)和創(chuàng)新思維，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化策略的巧妙性與實(shí)用性。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)1.利用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化最短路徑問(wèn)題（“將軍飲馬”模型）2.不規(guī)則圖形面積的轉(zhuǎn)化方法1.最短路徑問(wèn)題中對(duì)稱軸的構(gòu)造與邏輯推理2.復(fù)雜問(wèn)題中轉(zhuǎn)化策略的靈活應(yīng)用三、教學(xué)方法講授法、探究法、小組討論法、多媒體輔助教學(xué)法四、教學(xué)過(guò)程（一）新課導(dǎo)入（5分鐘）情境引入提問(wèn)：如何計(jì)算平行四邊形的面積？（學(xué)生回答：底×高）計(jì)算：12.5×0.5。引導(dǎo)學(xué)生觀察：將12.5×0.5轉(zhuǎn)化為125×5÷100，體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”思想?？偨Y(jié)：轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要策略，引出課題。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算喚醒學(xué)生對(duì)“轉(zhuǎn)化”的認(rèn)知，自然切入主題，降低學(xué)習(xí)難度。（二）新課探究：最短路徑問(wèn)題（15分鐘）問(wèn)題呈現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題：如圖，某工廠計(jì)劃在一條筆直的道路上設(shè)立一個(gè)儲(chǔ)物點(diǎn)，工作人員每天進(jìn)入工廠大門后，先到儲(chǔ)物點(diǎn)取物品，然后再到車間。你認(rèn)為該儲(chǔ)物點(diǎn)應(yīng)建在什么地方，才能使工作人員所走的路程最短?數(shù)學(xué)抽象：如果把大門、車間和儲(chǔ)物點(diǎn)所在的位置都看作點(diǎn)，把道路看作一條直線，那么上述問(wèn)題可以抽象成怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題?類比遷移回顧“將軍飲馬”問(wèn)題：直線

l

兩側(cè)有

A、B，直接連接

AB

與

l

交點(diǎn)即為最短點(diǎn)（依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短）。對(duì)比分析：原問(wèn)題中

A、B

在同側(cè)，需轉(zhuǎn)化為兩側(cè)問(wèn)題。轉(zhuǎn)化策略操作演示：作點(diǎn)

B

關(guān)于

l

的對(duì)稱點(diǎn)

B'，連接

AB'交

l

于點(diǎn)

C。邏輯推理：由軸對(duì)稱性質(zhì)，BC=B'C，故

AC+BC=AC+B'C。根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB'最短，因此點(diǎn)

C

為所求?？偨Y(jié)模型：同側(cè)點(diǎn)最短路徑問(wèn)題，通過(guò)軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)點(diǎn)，利用線段公理解決。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)模型→類比轉(zhuǎn)化→推理驗(yàn)證”的流程，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過(guò)程，理解轉(zhuǎn)化的邏輯依據(jù)。（三）課堂練習(xí)：轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用（12分鐘）圖形面積轉(zhuǎn)化練習(xí)1：正方形內(nèi)畫(huà)半圓，求陰影面積（如圖）。引導(dǎo)分析：陰影部分由4個(gè)“半圓-三角形”組成，轉(zhuǎn)化為

2S圓-S正方形。解答：S陰影=4(S半圓-S三角形)=2S圓-4S三角形=2S圓-S正方形=12練習(xí)2：雙正方形組合中求陰影面積（扇形BAC）。直接轉(zhuǎn)化：陰影面積即扇形面積，計(jì)算得

S扇形BAC=14π×22=π策略性問(wèn)題轉(zhuǎn)化練習(xí)3：兩堆棋子取子策略。（1）數(shù)量相等時(shí)：后取，對(duì)稱策略（對(duì)方取

n

枚，己方在另一堆取

n

枚）。（2）數(shù)量不等時(shí)：先取多的一堆使剩余數(shù)量相等，再用對(duì)稱策略。最短周長(zhǎng)問(wèn)題練習(xí)4：在∠AOB內(nèi)找

M、N，使△PMN周長(zhǎng)最小。轉(zhuǎn)化方法：作點(diǎn)

P

關(guān)于

OA

和

OB

的對(duì)稱點(diǎn)

P'、P''，連接

P'P''交

OA、OB

于

M、N。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)多類型練習(xí)，鞏固轉(zhuǎn)化策略在幾何、策略游戲中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生靈活遷移的能力。（四）課堂小結(jié)（3分鐘）知識(shí)梳理轉(zhuǎn)化策略：化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化不規(guī)則為規(guī)則。典型應(yīng)用：最短路徑：軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化（同側(cè)→異側(cè)）。面積計(jì)算：分割、補(bǔ)全、對(duì)稱等轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。策略問(wèn)題：利用“對(duì)稱”“平衡”思想構(gòu)造等價(jià)模型。學(xué)生分享：請(qǐng)學(xué)生舉例說(shuō)明生活或數(shù)學(xué)中遇到的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)總結(jié)提煉，幫助學(xué)生構(gòu)建轉(zhuǎn)化策略的知識(shí)框架，提升數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知層次。（五）課后作業(yè)（布置）基礎(chǔ)題：課本對(duì)應(yīng)練習(xí)題，鞏固最短路徑和面積轉(zhuǎn)化的基本方法。拓展題：設(shè)計(jì)一個(gè)生活中的最短路徑問(wèn)題，并用轉(zhuǎn)化策略解決（圖文結(jié)合）。設(shè)計(jì)意圖：分層作業(yè)滿足不同學(xué)生需求，拓展題培養(yǎng)實(shí)踐創(chuàng)新能力。五、板書(shū)設(shè)計(jì)問(wèn)題解決策略：轉(zhuǎn)化

核心思想：化繁為簡(jiǎn)、化陌生為熟悉

最短路徑問(wèn)題-模型：同側(cè)點(diǎn)→異側(cè)點(diǎn)（軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化）-步驟：作對(duì)稱點(diǎn)→連線段→求交點(diǎn)

面積轉(zhuǎn)化問(wèn)題-方法：分割法、補(bǔ)全法、對(duì)稱法-示例：陰影面積=規(guī)則圖形面積差4.

策略應(yīng)用：對(duì)稱策略（取子問(wèn)題、周長(zhǎng)最小問(wèn)題）六、教學(xué)反思成功點(diǎn)：通過(guò)“將軍飲馬”模型直觀展示轉(zhuǎn)化過(guò)程，學(xué)生對(duì)最短路徑問(wèn)題理解較深入；練習(xí)設(shè)計(jì)涵蓋多維度，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化策略的廣泛性。改進(jìn)點(diǎn)：部分學(xué)生在復(fù)雜圖形面積轉(zhuǎn)化中缺乏構(gòu)圖技巧