北京市石景山區(qū)2025屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題 含解析

石景山區(qū)2025年高三統(tǒng)一練習(xí)數(shù)學(xué)本試卷共7頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槿?，所以，故選：B2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.故選：D3.在的二項(xiàng)展開式中,x的系數(shù)為()A.10 B.-10 C.40 D.-40【答案】D【解析】【詳解】分析：先求出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中的項(xiàng)的系數(shù).詳解：∵,∴當(dāng)時(shí),.∴,故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.4.在中，若，則（）A B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，即，由正弦定理，所以，所以，又，所以，所?故選：A5.已知x，，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，故B正確；因?yàn)椋嘞液瘮?shù)在上不單調(diào)，如，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，由于?dāng)時(shí)，恒有，故D錯(cuò)誤；故選：B.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義求出的取值范圍.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在上且，則，所以，即，故A錯(cuò)誤，C正確；又，所以，所以，故B、D錯(cuò)誤.故選：C7.等比數(shù)列中，，設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出與的關(guān)系，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷甲是乙的什么條件.判斷充分性時(shí)，看由甲能否推出乙；判斷必要性時(shí)，看由乙能否推出甲.【詳解】已知等比數(shù)列中，若，設(shè)公比為.根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即，解得.再根據(jù)通項(xiàng)公式求，所以由能推出，充分性成立.

若，同樣根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即，解得，則.又因?yàn)?，所以由能推出，必要性成?由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要條件.

故選：C.8.經(jīng)研究表明，糖塊的溶解過程可以用指數(shù)型函數(shù)（a，k為常數(shù)）來(lái)描述，其中S（單位：克）代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量．現(xiàn)將一塊質(zhì)量為7克的糖塊放入到一定量的水中，在第5分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)函數(shù)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，則，即.故選：A.9.已知點(diǎn)M，N為圓上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)Q為線段中點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，再根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到弦MN的距離，進(jìn)而確定點(diǎn)的軌跡，最后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出的最小值.【詳解】已知圓的方程為，將其配方可得.可知該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.

因?yàn)辄c(diǎn)為線段MN的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知.已知，則.在中，根據(jù)勾股定理.所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.

已知點(diǎn)在直線上，可得圓心到直線的距離為：.

因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑，即故選：B.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點(diǎn)，Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），給出下列三個(gè)命題：①對(duì)任意點(diǎn)Q，都有；②存在點(diǎn)Q，使得平面；③過點(diǎn)Q且與垂直的平面截正方體所得截面面積的最大值為．其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量可判斷①②；在平面內(nèi)作⊥，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作在平面內(nèi)作⊥交于，得到平面截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，截面面積最大，進(jìn)而判斷③.【詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，對(duì)于①，，則，所以，即，故①正確；對(duì)于②，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，要使平面，則，則，即，不符合題意，所以不存在點(diǎn)Q，使得平面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如下圖，在平面內(nèi)作⊥，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作在平面內(nèi)作⊥交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以⊥，因?yàn)?，、平面，所以平面，平面截正方體截面為平行四邊形，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，為中點(diǎn)，截面面積最大，此時(shí)，，截面面積為，故③對(duì).故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，求得所求表達(dá)式的值.【詳解】，，所以故答案為：12.如圖，角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為______【答案】##0.6【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】由題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，則.故答案為：.13.設(shè)，，，則______．【答案】【解析】【分析】先求出，由可得，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】由，得，因?yàn)椋?，即，所?故答案為：.14.已知雙曲線，若，則雙曲線的漸近線方程為______；若雙曲線上存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D使得四邊形為正方形，則m的一個(gè)取值為______．【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】第一空，根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解即可；第二空，分析可得，進(jìn)而解不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，雙曲線為，此時(shí)，則雙曲線的漸近線方程為.雙曲線，即，其漸近線方程為，要使雙曲線上存在四個(gè)點(diǎn)滿足四邊形是正方形，根據(jù)正方形的對(duì)稱性可得正方形的對(duì)稱中心在原點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)的頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，則，解得，可取.故答案為：；（答案不唯一）.15.高斯取整函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，．有如下四個(gè)結(jié)論：①若，則；②函數(shù)與函數(shù)無(wú)公共點(diǎn)；③；④所有滿足點(diǎn)組成區(qū)域的面積為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)的取值范圍，分別求出，的值，判斷①；作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，即可判斷②；對(duì)的取值分類討論，即可判斷③；對(duì)的取值分類討論，求出點(diǎn)組成區(qū)域的面積，判斷④．【詳解】對(duì)于①：若，則，則，，即，故①正確；對(duì)于②：函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得函數(shù)與函數(shù)無(wú)公共點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)組成區(qū)域的面積為，綜上點(diǎn)組成區(qū)域的面積為，故④正確．故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)（其中，，）．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為已知，使得函數(shù)唯一確定．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．條件①：；條件②：是的對(duì)稱中心；條件③：可以由函數(shù)平移得到．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答．按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）最大值為2，最小值為【解析】【分析】（1）分析易得要使函數(shù)唯一確定，則必須要選③，選①③或選②③，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；【小問1詳解】①，由，得；②，由是的對(duì)稱中心，得，則，；③，由，因?yàn)榭梢杂珊瘮?shù)平移得到，則，.由上述可知，要使函數(shù)唯一確定，則必須要選③.選①③，由上述可知，，，，則，即，所以或，，則或，，又，則，即.選②③，由上述可知，，，，，則，，即，，又，則，即.【小問2詳解】由，得，則，則，所以函數(shù)在上的最大值為2，最小值為.17.某市在高中階段舉辦“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”，全體高中生參與了此次活動(dòng)．現(xiàn)從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了男、女各30名學(xué)生，將他們的成績(jī)（單位：分）按，，，，五個(gè)分?jǐn)?shù)段進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)如下：成績(jī)男生人數(shù)361182女生人數(shù)ab1242（1）在抽取60名學(xué)生中，從成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分?jǐn)?shù)段不同的概率；（2）從該市參賽的男生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)成績(jī)?cè)?0分及以上的人數(shù)為X，用頻率估計(jì)概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試確定a，b的值，使得抽取的女生成績(jī)方差最?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）先確定成績(jī)?cè)?0分及以上的男、女生人數(shù)，再利用組合數(shù)計(jì)算從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，恰好男、女生各1人且分?jǐn)?shù)段不同的概率，用到古典概型的概率公式；

（2）先求出從男生中隨機(jī)抽取1人成績(jī)?cè)?0分及以上的概率，判斷隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列，再根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)方差的性質(zhì)，數(shù)據(jù)越集中方差越小，確定a，b的值.【小問1詳解】確定成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生人數(shù)，男生中成績(jī)?cè)诘挠?人，在的有2人，共人；女生中成績(jī)?cè)诘挠?人，在的有2人，共人.所以成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生共有人.

從這16人中隨機(jī)抽取2人的總組合數(shù)為種.

要滿足恰好男、女生各1人且分?jǐn)?shù)段不同，分兩種情況：男生從選，女生從選，有種選法.

男生從選，女生從選，有種選法

所以滿足條件的選法共有種.

根據(jù)古典概型概率公式所求概率.【小問2詳解】從男生中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)?cè)?0分及以上的概率為.

從該市參賽的男生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)成績(jī)?cè)?0分及以上的人數(shù)為X，因?yàn)槊看纬槿∈窍嗷オ?dú)立的，且概率相同，所以X服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，即.

根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式，可得：.

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所以X的分布列為：X01234P根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式，可得.【小問3詳解】因?yàn)槌槿〉呐?0人，所以，即.當(dāng)數(shù)據(jù)越集中時(shí)方差越小，所以當(dāng)時(shí)，抽取的女生成績(jī)方差最小.18.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，N為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）點(diǎn)M在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)M到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，（2）記的中點(diǎn)為，連結(jié)，易得，，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可；（3）設(shè)，利用空間向量結(jié)合直線與平面所成角的正弦值為求出的值，再利用空間向量求解即可.【小問1詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以，且，又，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】記的中點(diǎn)為，連結(jié)，因?yàn)?，，，所以四邊形是矩形，則，，以為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【小問3詳解】依題意，設(shè)，則，又由（2）得平面的一個(gè)法向量為，記直線與平面所成角為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，則，而由（2）得平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.已知橢圓過點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，．設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)．試問點(diǎn)是否在某定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）在定直線上，理由見詳解.【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出、，從而得解；（2）由對(duì)稱性分析該定直線為平行于橫軸的直線，將直線與橢圓聯(lián)立消，設(shè)直線、的方程解出縱坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【小問1詳解】依題意可得，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】在定直線上，理由如下：設(shè)點(diǎn)與直線聯(lián)立消去整理得，由，且，所以，易知，，則，，兩式作商得，解得，故在定直線上.20.已知函數(shù)．（1）若，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）證明：函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（2）若實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（i）；（ii）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）（i）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；（ii）令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）令，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分三種情況討論，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【小問1詳解】（i）當(dāng)時(shí)，則，又，則，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；（ii）因?yàn)?，，令，，則，當(dāng)時(shí)，所以，所以即在上單調(diào)遞減，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；【小問2詳解】由對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，，則，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，則，所以在單調(diào)遞減，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，又，，①當(dāng)，即時(shí)，