2025北京五中高二（下）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2025北京五中高二（下）期中數(shù)學(xué)班級(jí)_________姓名_________學(xué)號(hào)_________成績_________一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.3.在一個(gè)壇子中裝有個(gè)除顏色外完全相同的玻璃球，其中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，個(gè)黃球，個(gè)綠球，現(xiàn)從中任取一球后（不放回），再取一球，則已知第一個(gè)球?yàn)榧t色的情況下第二個(gè)球?yàn)辄S色的概率為（）A. B. C. D.4.若函數(shù)在處取最小值，則（）A.1 B.2 C.4 D.2或45.設(shè)為全集，，是集合，則“存在集合使得，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知函數(shù)，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)，若對(duì)任意正數(shù)，，都有恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A. B.C. D.8.某一地區(qū)的患有癌癥的人占0.004，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.02.現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率約為（）A.0.16 B.0.32 C.0.42 D.0.84二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.9.函數(shù)的定義域?yàn)開______．10.命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.11.過坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為__________．12.投擲一枚質(zhì)地并不均勻的硬幣，結(jié)果只有正面和反面兩種情況，記每次投擲結(jié)果是正面的概率為p（）.現(xiàn)在連續(xù)投擲該枚硬幣10次，設(shè)這10次的結(jié)果恰有2次是正面的概率為，則__________；函數(shù)取最大值時(shí)，__________.13.為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.14.京廣高速鐵路是世界上運(yùn)營里程最長的高速鐵路之一，也是中國客運(yùn)量最大、運(yùn)輸最為繁忙的高速鐵路之一，某日從北京西到廣州南的部分G字頭高鐵車次情況如下表：注：以下高鐵車次均能準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)（1）某乘客從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，求這趟列車的運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率；（2）甲、乙、丙3人分別從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，其中甲必須上午出發(fā)，乙必須下午出發(fā)，丙的出發(fā)時(shí)間沒有限制，且甲、乙、丙3人的選擇互不影響.（ⅰ）記隨機(jī)變量為甲、乙、丙選取的列車中運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）甲、乙、丙3人中，誰選取的列車運(yùn)行時(shí)長最短的概率最大？（結(jié)論不要求證明）15.已知橢圓，，分別是的左、右頂點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，的面積為2，且．（1）求橢圓的方程及長軸長；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，并說明理由．16.已知函數(shù)，其中．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，，求使得不等式成立的的最小值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.1.【答案】C【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C2.【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：在上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，所以在區(qū)間上恒成立，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，則在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，則在區(qū)間上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤．故選：B3.【答案】A【分析】設(shè)第一次取出的是紅球?yàn)槭录?，第二次取到黃球?yàn)槭录?，求出，，然后利用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)第一次取出的是紅球?yàn)槭录?，第二次取到黃球?yàn)槭录?/p>

則由題意知，，

已知第一個(gè)球?yàn)榧t色的情況下第二個(gè)球?yàn)辄S色的概率為．

故選A．4.【答案】B【分析】利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得.故選：B5.【答案】C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系及交集的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】1.判斷充分性已知，所以.又因?yàn)?，即中的元素都在?而中的元素都不在中，所以和沒有公共元素，即.由此可知，當(dāng)“存在集合使得，”時(shí)，能推出“”，所以“存在集合使得，”是“”的充分條件.2.判斷必要性已知，即和沒有公共元素.此時(shí)取集合，那么對(duì)于全集，就是由所有不屬于但屬于的元素組成的集合.如圖，因?yàn)楹蜎]有公共元素，所以中的元素都不屬于，即，同時(shí)（即）.所以當(dāng)“”時(shí)，能推出“存在集合使得，”，所以“存在集合使得，”是“”的必要條件.則“存在集合使得，”是“”的充分必要條件.故選：C.6.【答案】A【分析】要使函數(shù)有三個(gè)解，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】要使函數(shù)有三個(gè)解，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時(shí)，，當(dāng)趨向于負(fù)無窮時(shí)，趨向于0，但始終小于0，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由圖像可知：所以要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：A．7.【答案】C【分析】根據(jù)恒成立，得到在單調(diào)遞增求解.【詳解】解：不妨令，則，即在單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t在上恒成立，即，在上恒成立，則，又，∴．故選：C8.【答案】A【分析】根據(jù)貝葉斯公式求得正確答案.【詳解】此人是癌癥患者的概率為.故選：A二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.9.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.10.【答案】【分析】首先求出命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再取其補(bǔ)集即可.【詳解】若命題“，使”是真命題，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，則，解得，即當(dāng)時(shí)命題“，使”是真命題；因?yàn)槊}“，使”是假命題，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：11.【答案】##【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求出切線的方程，將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的值，可得出切線的方程.【詳解】設(shè)切線的切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則切線的斜率為，所以切線方程為，將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，則，因此，所求切線方程為，即.故答案為：.12.【答案】①.②.【分析】利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得，之后對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn).【詳解】10次的結(jié)果恰有2次是正面的概率為.因此.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值.故答案為：；.13.【答案】①②③【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果【詳解】表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)．④錯(cuò)誤；在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；故答案為：①②③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.14.【答案】（1）（2）（?。┓植剂幸娊馕?，數(shù)學(xué)期望為；（ⅱ）甲，理由見解析【分析】（1）利用古典概率求概率公式得到答案；（2）（ⅰ）求出的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，并求出數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）列車運(yùn)行時(shí)長最短為7小時(shí)17分，在上午，分別計(jì)算出甲，乙，丙選取此列車的概率，比較后得到結(jié)論.【小問1詳解】從北京西出發(fā)到廣州南的高鐵車次共7個(gè)，運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的有4個(gè)，超過10小時(shí)的有3個(gè)，故這趟列車的運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率為；【小問2詳解】（ⅰ）上午運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的列車有2個(gè)，超過10小時(shí)的列車有2個(gè)，下午運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的列車有2個(gè)，超過10小時(shí)的列車有1個(gè)，甲選取的列車中運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率為，乙選取的列車中運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率為，丙選取的列車中運(yùn)行時(shí)長不超過10小時(shí)的概率為，的可能取值為0,1,2,3，，，，，所以的分布列為0123數(shù)學(xué)期望為；（ⅱ）甲選取的列車運(yùn)行時(shí)長最短的概率最大，理由如下：列車運(yùn)行時(shí)長最短為7小時(shí)17分，在上午，甲選取此列車的概率為，乙選取此列車的概率為0，丙選取此列車的概率為，故甲選取的列車運(yùn)行時(shí)長最短的概率最大.15.【答案】（1）橢圓的方程為：，其長軸長為；（2）在橢圓上，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，列出滿足的方程組，求得，即可求得橢圓方程和長軸長；（2）求出方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出方程，從而求得的坐標(biāo)；再結(jié)合已知條件，求得方程，聯(lián)立方程組，解得坐標(biāo)，將其代入橢圓方程，即可檢驗(yàn)和判斷.【小問1詳解】由題可知，，的面積為2，且，則，又，解得；故橢圓的方程為：，其長軸長.【小問2詳解】由（1）可知，，又，故直線方程為：，又在直線上，故設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)與重合，也與重合，顯然在橢圓上；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，與軸沒有交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)，且時(shí)，直線斜率為，直線方程為：，令，可得，故；直線斜率為：，直線方程為：；直線斜率為：，直線方程為：；聯(lián)立，消去可得，代入可得：，即，又，即，故點(diǎn)在橢圓上.綜上所述，在橢圓上.16.【答案】（1）（2）答案見解析（3）2【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導(dǎo)，分和兩種情況討論求解即可；（3）結(jié)合（2）易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再結(jié)合題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而求解即可.【小問1詳解】由，則，則，解得．【小問2詳解】由，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令，得，若，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；若，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，