人教A版高中數(shù)學必修第二冊第8章8.6.1直線與直線垂直課件

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直新課程標準解讀學科核心素養(yǎng)理解異面直線所成角的概念，會求兩異面直線所成的角.數(shù)學抽象、數(shù)學運算了解空間中直線與直線垂直的關系，會證明空間中兩直線的垂直.直觀想象、邏輯推理教材梳理明要點如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB與B1C1異面，AB與B1D1也異面．問題直觀上，你認為這兩種異面有什么區(qū)別？

情境導入?[提示][提示]AB與B1C1兩條異面直線所成的角是直角，AB與B1D1所成的角不是直角．知識點一異面直線所成的角1．已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線_____________所成的角α叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．2．空間兩條直線所成角α的取值范圍是____________________.新知初探?[提醒1]a′與b′0°≤α≤90°[提醒1](1)兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點O的位置選取無關；(2)找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．知識點二直線與直線垂直如果兩條異面直線所成的角是_______，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b垂直，記作a_____b.?[提醒2]直角⊥[提醒2]兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形．1．設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b(

)A．平行

B．相交C．異面

D．以上都有可能【答案】

D預習自測【解析】

如圖，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，則a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，則a和b異面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，則a和b平行，所以空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面．故選D.2．設P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線(

)A．有無數(shù)條

B．有兩條C．至多有兩條

D．有一條【答案】

A【解析】

過點P且與l成30°角的異面直線有無數(shù)條，并且異面直線在以P為頂點的圓錐的側面上．故選A．3．若∠AOB＝120°，直線a∥OA，a與OB為異面直線，則a和OB所成的角的大小為________.【答案】

60°【解析】

因為a∥OA，根據(jù)等角定理，又因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以a與OB所成的角為60°.題型探究提技能1.在三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且AB與CD所成角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大?。窘馕觥咳鐖D所示，取AC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，題型一求異面直線所成的角由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°，當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，故EF與AB所成角的大小為15°或75°.?[方法總結1][提醒][方法總結1]求兩異面直線所成角的一般步驟(1)構造角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關角；(2)計算角：求角度，常利用三角形；(3)確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角．[提醒]找異面直線所成的角，可以從如下“口訣”入手：中點、端點定頂點，平移常用中位線；平行四邊形中見，指出成角很關鍵；求角構造三角形，銳角、鈍角要明辨；平行直線若在外，補上原體在外邊．１(1)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，點D，E分別為AB，PC的中點，則異面直線PD，BE所成角的余弦值為(

)(2)如圖，在正方體ABCD－EFGH中，O為側面ADHE的中心，求：①BE與CG所成的角；②FO與BD所成的角．【答案】

(1)B

(2)見解析(2)①∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角．在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.②如圖，連接FH，易知FB＝HD，F(xiàn)B∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其補角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.題型二證明直線與直線垂直【證明】如圖，連接A1B，設A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，又因為AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直線AC與BC1所成的角，所以AC⊥BC1.?[方法總結2][方法總結2]證明空間中兩條直線垂直的方法(1)定義法：利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直；(2)平面幾何圖形性質法：利用勾股定理、菱形的對角線相互垂直、等腰三角形(等邊三角形)底邊的中線和底邊垂直等．2【證明】因為點G，E分別是CD，BC的中點，所以GE∥BD，同理GF∥AC．所以∠FGE或∠FGE的補角是異面直線AC與BD所成的角．滿足FG2＋GE2＝EF2，所以∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.所以AC⊥BD.隨堂檢測重反饋1．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列直線與B1D1垂直的是(

)A．BC1

B．A1DC．AC

D．BC【答案】

C【解析】

連接BD(圖略)，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故選C．A．90° B．60°C．45° D．30°【答案】

B3．(多選)四棱錐P－ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點，下列說法正確的是(

)A．MN與PD是異面直線

B．MN∥平面PBCC．MN∥AC D．MN⊥PB【答案】

ABD【解析】

由題意可知四棱錐P－ABCD所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點，MN與PD是異面直線，A正確；取PB的中點為H，連接MH，HC，可得MN∥HC，所以MN∥平面PBC，B正確；因HC∩AC＝C，C不正確；因為HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正確．故選ABD.4．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角大小為________.【答案】