2025屆安徽省高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（二模）含解析

2025屆安徽省高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（二模）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A．1 B． C． D．3．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．4．已知是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不同的直線(xiàn)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．2025年春節(jié)，國(guó)產(chǎn)電影《哪吒之魔童鬧?！坊鸨槿?，更是于2月18日登頂全球動(dòng)畫(huà)榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)打算去蚌埠固鎮(zhèn)、天津陳塘關(guān)、南陽(yáng)西峽縣三個(gè)哪吒故里旅游打卡，每位同學(xué)只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去1人，則不同的安排方法有（）A．120種 B．150種 C．180種 D．300種6．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若為等比數(shù)列，則（）A．64 B．32 C．16 D．87．已知是雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)作的兩條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值為（）A．-e B．-1 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．一組樣本數(shù)據(jù)如下：47，48，49，50，50，51，52，53，則（）A．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50 B．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為50C．該組數(shù)據(jù)的方差為3 D．該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為51.510．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（）A． B．當(dāng)時(shí)，C．可以為 D．周長(zhǎng)的最小值是1111．由函數(shù)相加后得到的函數(shù)，具有優(yōu)美的圖象和性質(zhì)，稱(chēng)為“優(yōu)生成函數(shù)”．已知，其優(yōu)生成函數(shù)記為，則（）A．的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) B．在區(qū)間上先增后減C．的值域?yàn)?D．在區(qū)間上有11個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓的半徑為.13．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為．14．已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線(xiàn)分別與的圖象交于另外的點(diǎn)和，且四邊形ABCD為正方形，則這兩條直線(xiàn)的斜率之和為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值．16．如圖，在四棱錐中，，，，底面，是上一點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若是的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的正弦值．17．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，且離心率為．(1)求的方程；(2)若分別是的左、右頂點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線(xiàn)BQ與交于另一點(diǎn)，直線(xiàn)AM與交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練結(jié)果，第一次投籃命中的概率為．若前一次投籃命中，那么下次投籃命中的概率為；若前一次投籃未命中，那么下次投籃命中的概率為．(1)求該運(yùn)動(dòng)員第二次投籃命中的概率；(2)記該運(yùn)動(dòng)員前兩次投籃命中的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)設(shè)第次投籃命中的概率為，求證：．19．已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)方程為，其中為常數(shù)．(1)①求的值；②證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．(2)若函數(shù)，且存在正實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【詳解】由題意得，，所以．故選B.2．【正確答案】C【詳解】由題意得，，因?yàn)椋?，解得，故選C.3．【正確答案】D【詳解】設(shè)，則，則．故選D.4．【正確答案】A【詳解】對(duì)于A(yíng)項(xiàng)，若，則或．對(duì)于B，C，D項(xiàng)，顯然成立，故選A.5．【正確答案】B【詳解】將五位同學(xué)分成三組，各組人數(shù)分別為1,1,3或1,2,2．當(dāng)各組人數(shù)為1,1,3時(shí)，共有種安排方法；當(dāng)各組人數(shù)為1,2,2時(shí)，共有種安排方法，所以不同的安排方法有種．故選B.6．【正確答案】A【詳解】為等比數(shù)列，的首項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，第三項(xiàng)為，的公比為當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)也符合，．故選A.7．【正確答案】D【詳解】

如圖，由題意，設(shè)，則，即．因?yàn)闈u近線(xiàn)方程為，所以，因?yàn)?，所?故選D.8．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，而，故，又在定義域上單調(diào)遞增，則，于是．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．故選C.9．【正確答案】AB【詳解】對(duì)于A(yíng)，平均數(shù)為，A正確；對(duì)于B，中位數(shù)為，B正確；對(duì)于C，方差為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得第80百分位數(shù)為52，D錯(cuò)誤.故選AB.10．【正確答案】ABD【詳解】設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為，聯(lián)立，消去得，．由拋物線(xiàn)定義知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為，則，，即，解得或（負(fù)值舍去），則．故B正確；，故C錯(cuò)誤；由拋物線(xiàn)的定義知，的最小值是點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離，的最小值為6，又周長(zhǎng)的最小值是11，故D正確．故選ABD.11．【正確答案】ACD【詳解】易知“優(yōu)生成函數(shù)”為，因?yàn)?，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；顯然，所以是函數(shù)的周期，所以在區(qū)間上的單調(diào)性與在區(qū)間上的單調(diào)性相同，設(shè)，則，求導(dǎo)得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由關(guān)于對(duì)稱(chēng)及是函數(shù)的周期知，只需考查時(shí)的值域，因?yàn)?，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，故C正確；易知在區(qū)間上，零點(diǎn)分別為，故D正確．故選ACD.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)過(guò)圓心，從而，解得，則圓的方程為，故圓的半徑為．13．【正確答案】【詳解】如圖，

為的中點(diǎn)，平面，平面平面平面正方體的棱長(zhǎng)為2，，，的外接圓半徑為所求問(wèn)題等價(jià)于求以為半徑的底面圓，高為的圓柱的外接球表面積．設(shè)圓柱的外接球半徑為，則三棱錐的外接球的表面積為．14．【正確答案】【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)直線(xiàn)AC的方程為，由，得，解得或或，則，同理可得，由，得，即，即，即，令，則這兩條直線(xiàn)的斜率之和為．15．【正確答案】(1)(2)9【詳解】（1）由正弦定理及，得，，，．（2）設(shè)的外接圓半徑為，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，周長(zhǎng)的最大值為9．16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）在四棱錐中，，，則，，在中，，則，即，于是，由平面，平面，得，又平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，而平面，則，又，因此是二面角的平面角，在中，，則，由是的中點(diǎn)，得，于是，所以平面與平面的夾角的正弦值為.17．【正確答案】(1)(2)存在，或【詳解】（1）由題意得，，解得橢圓的方程為．（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則．設(shè)，則，，直線(xiàn)BQ的方程為．點(diǎn)在直線(xiàn)BQ上，，點(diǎn)是直線(xiàn)上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，，解得點(diǎn)在橢圓上，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．18．【正確答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)事件“第次投籃命中”，則“第次投籃未命中”，，易知與是互斥事件，所以由全概率公式得該運(yùn)動(dòng)員第二次投籃命中的概率為．（2）由題意得，，的所有取值為0,1,2，,所以的分布列為012……所以．（3）由題意得，；當(dāng)時(shí)，即，變形為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，于是，即，所以．19．【正確答案】(1)①，；②證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）①由題意得，，則，解得．易得，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，解得．②由①知，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以由零點(diǎn)存在