第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（高頻精講）

第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(精講）目錄TOC\o"13"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 6高頻考點一：對數(shù)的運算 6高頻考點二：換底公式 8高頻考點三：對數(shù)函數(shù)的概念 9高頻考點四：對數(shù)函數(shù)的定義域 12高頻考點五：對數(shù)函數(shù)的值域 13①求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域 13②求對數(shù)型復合函數(shù)的值域 13③根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍 16高頻考點六：對數(shù)函數(shù)的圖象 19①對數(shù)（型）函數(shù)與其它函數(shù)的圖象 19②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù) 25③對數(shù)（型）函數(shù)圖象過定點問題 27高頻考點七：對數(shù)函數(shù)的單調性 30①對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調性 30②由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調性求參數(shù) 32③由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調性解不等式 36④對數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小 38高頻考點八：對數(shù)函數(shù)的最值 40①求對數(shù)（型）函數(shù)的最值 40②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的最值求參數(shù) 42③對數(shù)（型）函數(shù)的最值與不等式綜合應用 47第四部分：高考新題型 50①開放性試題 50②劣夠性試題 51第五部分：數(shù)學思想方法 55①數(shù)形結合的思想 55②分類討論的思想 58第六部分：新文化題 60溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).（2）牢記兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù).（3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2、對數(shù)的性質、運算性質與換底公式（1）對數(shù)的性質根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)具有以下性質：①負數(shù)和零沒有對數(shù)，即；②1的對數(shù)等于0，即；③底數(shù)的對數(shù)等于1，即；④對數(shù)恒等式.（2）對數(shù)的運算性質如果，那么：①；②；③.（3）對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式：.換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉化為底數(shù)相同的對數(shù)，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以為底的自然對數(shù).換底公式的變形及推廣：①；②；③(其中，，均大于0且不等于1，).3、對數(shù)函數(shù)及其性質（1）對數(shù)函數(shù)的定義形如(，且)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質圖象性質定義域：值域：過點，即當時，在上是單調增函數(shù)在上是單調減函數(shù)第二部分：高考真題回歸1．（2022·天津·高考真題）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【詳解】原式，故選：B2．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【詳解】因為，，即，所以．故選：C.3．（2022·全國（甲卷文）高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.4．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【詳解】當，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D5．（2022·全國（乙卷文）高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．【答案】

；

．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，則的定義域為，不關于原點對稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：對數(shù)的運算典型例題例題1．（2023秋·浙江·高一期末）計算：_________．【答案】1【詳解】．故答案為：1．例題2．（2023·全國·高三專題練習）____________【答案】【詳解】原式.故答案為：.例題3．（2023·全國·高三專題練習）=_______【答案】1【詳解】.故答案為：.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）.=_____________【答案】##【詳解】原式.故答案為：.2．（2023·全國·高三專題練習）________【答案】.【詳解】根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算法則，可得：.故答案為：3．（2023·全國·高三專題練習）=______【答案】【詳解】原式==．故答案為：.高頻考點二：換底公式典型例題例題1．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）設,則三者的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解:因為在上單調遞減,所以,因為在上單調遞增,所以,即,即,即,因為,所以,即,即,所以.故選:D例題2．（2023春·河北衡水·高一?？奸_學考試）已知，則__________.【答案】2【詳解】由題意：，；故答案為：2.例題3．（2023秋·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）_________.【答案】【詳解】.故答案為：.練透核心考點1．（2023·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學?？级＃┮阎?，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，，所以，，所以.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習）若，，則___________．【答案】1【詳解】因為，所以所以.故答案為：13．（2023秋·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知______．【答案】1【詳解】由已知，，則，，．故答案為：1.高頻考點三：對數(shù)函數(shù)的概念典型例題例題1．（2023·高一課時練習）函數(shù)是以為底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，則等于A．3 B． C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)系數(shù)為1，即即或，因為對數(shù)函數(shù)底數(shù)大于0，所以，，所以．例題2．（2023·高一課時練習）若函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則.【答案】5【詳解】解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義有，解得，故答案為：5．例題3．（2023秋·湖北·高一湖北省黃梅縣第一中學校聯(lián)考期末）已知對數(shù)函數(shù)，(1)求的值；(2)解不等式．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，，解得，，（2）在定義域上單調遞增，可得到，解得，不等式的解集為．練透核心考點1．（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學校考期末）若對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則__________．【答案】【詳解】設對數(shù)函數(shù)（，且），因為函數(shù)圖象過點，所以，得，所以.故答案為：2．（2023·高一課時練習）若對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的表達式為______.【答案】【詳解】設對數(shù)函數(shù)為，，因為對數(shù)函數(shù)的圖象過點，所以，即，解得，所以.故答案為：3．（2023·高一課時練習）已知對數(shù)函數(shù)，則______．【答案】2【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為．高頻考點四：對數(shù)函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，所以函數(shù)定義域為.故選：A.例題2．（2023春·北京順義·高一牛欄山一中?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為___．【答案】且【詳解】要使函數(shù)函數(shù)有意義，需滿足，解得且，故函數(shù)的定義域為且，故答案為：且練透核心考點1．（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學?？计谀┰O函數(shù)的定義域A，函數(shù)的定義域為B，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于函數(shù)，有，解得，即；對于函數(shù)，有，解得，即，故選：D.2．（2023秋·湖南長沙·高一雅禮中學?？计谀┖瘮?shù)的定義域為__________．【答案】【詳解】根據(jù)題意可得，，解得即函數(shù)的定義域為.故答案為:高頻考點五：對數(shù)函數(shù)的值域①求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域典型例題例題1．（2023·高一課時練習）函數(shù)的值域為（

）A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]【答案】C【詳解】因為，所以，所以,即函數(shù)的值域為[3，＋∞).故選：C例題2．（2023秋·山西朔州·高一懷仁市第一中學校?？计谀┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】．故的值域為．故選：B．②求對數(shù)型復合函數(shù)的值域典型例題例題1．（2023秋·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┖瘮?shù)的值域為_______________.【答案】【詳解】因為，對于函數(shù)，則有，所以，.故答案為：.例題2．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學?？奸_學考試）已知函數(shù)，.(1)求實數(shù)的值；(2)，.求的最小值、最大值及對應的的值.【答案】(1)；(2)時；時.【詳解】（1）因為，則，所以.（2）由題設，，令且，故，則，當時；此時，當時；此時.例題3．（2023·山東臨沂·高一校考期末）設函數(shù)，且，．(1)求的解析式；(2)當時，求的值域．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得所以即解得：．所以的解析式為：（2）由（1）知.設，因為，所以.令，所以當時，，則，故的值域為．練透核心考點1．（2023·高一課時練習）函數(shù)的最小值是______．【答案】－2【詳解】設，所以，是單調遞減函數(shù)，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值是.故答案為：2．（2023秋·湖南湘潭·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的定義域;(2)求的值域．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為,所以,解得,所以的定義域為．（2）因為,由(1)知的定義域為,所以,,，因為是增函數(shù)，所以，故的值域為．3．（2023秋·廣東深圳·高一?？计谀┮阎瘮?shù)（且）．(1)若，求的值域；【答案】(1)(2)【詳解】（1），因為，所以的定義域為，令，所以，即的值域為③根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當時，當時，要使的值域為則，故選：C例題2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)的值域為，可得真數(shù)部分取到所有的正數(shù)，即函數(shù)取到所有的正數(shù)，所以是函數(shù)的值域的子集，所以解得：或，所以實數(shù)的取值范圍是：.故選：A.例題3．（2023秋·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若函數(shù)的定義域為，值域為，求實數(shù)的值；【答案】(1)【詳解】（1）記①.由函數(shù)是減函數(shù)及函數(shù)的值域為可知.由①知的值域為，.例題4．（2023秋·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)的最小值為6，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）當a=0時，，x∈[，9].∴，，∴，∴函數(shù)f(x)的值域為；（2）令，即函數(shù)的最小值為，函數(shù)圖象的對稱軸為，當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得（舍）；綜上，實數(shù)a的值為或.練透核心考點1．（2023·高一課時練習）已知的值域為R，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)的值域為R，所以取得一切正數(shù)，即方程有實數(shù)解，得，解得或；又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上恒成立，則，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍為或.故選：B2．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學校?？计谀┖瘮?shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【詳解】由函數(shù)的值域為及對數(shù)函數(shù)的圖像和性質可得，是值域的子集，當即時，的值域為，顯然成立；當即時，二次函數(shù)的對稱軸為，所以由一元二次函數(shù)的圖像可得，解得，.綜上，故答案為：3．（2023秋·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎瘮?shù)的值域為，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】解：因為函數(shù)的值域為，所以，是函數(shù)的值域的子集，所以，當時，的值域為，滿足題意；當時，要使是函數(shù)的值域的子集，則需滿足，解得，綜上，的取值范圍是故答案為：高頻考點六：對數(shù)函數(shù)的圖象①對數(shù)（型）函數(shù)與其它函數(shù)的圖象典型例題例題1．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)，且的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對于AB，若圖象正確，則，單調遞減，又時，，A正確，B錯誤；對于CD，若圖象正確，則，單調遞增，CD錯誤.故選：A.例題2．（2023秋·湖南益陽·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)（且）的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，函數(shù)定義域為，有，函數(shù)圖像過原點，AD選項不符合，，B選項不符合.故選：C.例題3．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】的定義域為，因為，所以是偶函數(shù)，當時，單調遞增，由此可判斷出選A故選：A例題4．（2023秋·吉林長春·高一長春市實驗中學校考期末）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則函數(shù)圖象的大致形狀為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為的圖象關于對稱，所以，解得，則，所以的圖象可由函數(shù)的圖象沿軸翻折，再向右平移2個單位得到.故選：A.練透核心考點1．（2023·全國·高三對口高考）已知a、b滿足，則函數(shù)與函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（

）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】由得，，且，即，進而得，或，．當，時，兩個函數(shù)都為增函數(shù)；當，時，兩個函數(shù)都為減函數(shù)，故選：．2．（2023·全國·高三專題練習）已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由（且，且），可得，則，則則，又，則與互為反函數(shù)，則與單調性一致，且兩圖像關于直線軸對稱故選：B3．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）若，則函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，函數(shù)滿足，解答或，即函數(shù)的定義域為，排除A、B，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于對稱的偶函數(shù)，當時，函數(shù)是函數(shù)的圖像向右平移一個單位得到的，可排除C.故選：D.4．（2023春·甘肅蘭州·高一校考開學考試）若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()A． B．C． D．【答案】B【詳解】由于y＝a|x|的值域為{y|y≥1}，∴a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關于y軸對稱．因此y＝loga|x|的圖象應大致為選項B.②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù)典型例題例題1．（2023·高一課時練習）已知，，函數(shù)的圖象如圖，則，的取值范圍分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】解析：由題中圖象知函數(shù)為增函數(shù)，故n>1．又當x＝1時，f(x)＝m>0，故m>0．故選：C．例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】本小題主要考查正確利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大?。蓤D易得，；取特殊點，，．選A．例題3．（2022秋·廣東廣州·高一廣州市白云中學?？计谀┖瘮?shù)與的圖像如圖所示，則實數(shù)的值可能為（

）A． B． C． D．3【答案】AC【詳解】由圖像結合對數(shù)函數(shù)的性質可知，則D錯誤；由圖像可知函數(shù)為奇函數(shù)，則B錯誤，AC正確；故選：AC練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關系是A． B．C． D．【答案】D【詳解】由圖可知函數(shù)遞增，所以，故，即，，即，故選D.2．（2022·高一單元測試）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以又因為函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸，所以，即又因為函數(shù)圖象與軸有交點，所以，所以，故選：D3．（多選）（2023春·湖南常德·高一漢壽縣第一中學校考開學考試）已知函數(shù)(為常數(shù)，其中)的圖象如圖，則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】由圖象知，可以看作是向左移動個單位得到的，因此，故選：BD．③對數(shù)（型）函數(shù)圖象過定點問題典型例題例題1．（2023秋·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)在上單調遞減，則函數(shù)（且）的圖象過定點（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為冪函數(shù)在上單調遞減，所以，解得，則，（且），因為（且）過定點，所以的圖象過定點.故選：C例題2．（多選）（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)且的圖象過定點，正數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】在函數(shù)的解析式中，令可得，且，則函數(shù)的圖象過定點，，所以，故A錯誤；由不等式，可得，故，當且僅當時取等號，故B正確；由基本不等式可得，，當且僅當時取等號，故C錯誤；，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：BD.例題3．（2023秋·四川成都·高一?？计谀┮阎瘮?shù)（）的圖像恒過定點，則點的坐標為____.【答案】【詳解】∵，∴當時，，∴函數(shù)的圖像恒過定點故答案為：例題4．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過函數(shù)的定點，則的最小值為___________.【答案】8【詳解】對于函數(shù)，令，則該函數(shù)圖象過定點，將代入，得，故，當且僅當且，即時取等號，故答案為：8練透核心考點1．（2023春·上海寶山·高一校考階段練習）函數(shù)（且）的圖象恒過定點______．【答案】【詳解】解：由，令，得，所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點，故答案為：2．（2023秋·上海金山·高一統(tǒng)考期末）已知常數(shù)且，無論a取何值，函數(shù)的圖像恒過一個定點，則此定點為__________．【答案】【詳解】因為的圖像必過，即，當，即時，，從而圖像必過定點.故答案為：.3．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點M，則點M的坐標為______．【答案】【詳解】令，解得，此時，故定點坐標為．故答案為：4．（2023·高一課時練習）已知正數(shù)，，函數(shù)（且）的圖象過定點A，且點A在直線上，則的最小值為________.【答案】【詳解】因為函數(shù)，恒過點，所以，代入直線的方程得，其中，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為:高頻考點七：對數(shù)函數(shù)的單調性①對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調性典型例題例題1．（2023秋·吉林·高一長春市第二實驗中學校聯(lián)考期末）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，解得：，故函數(shù)的定義域是，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，而函數(shù)在定義域內(nèi)是單調遞減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調性之間的關系可知，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.故選：D例題2．（2023秋·上海松江·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)定義域為，令，，則，函數(shù)在定義域上為單調減函數(shù)，函數(shù)，，在上單調遞增，在上單調遞減，則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故選：C.例題3．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一校考期末）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是______．【答案】##【詳解】由，得，則函數(shù)的定義域為，，令，在上遞增，在上遞減，又在定義域上是增函數(shù)，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.故答案為：.練透核心考點1．（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？茧A段練習）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．.【答案】C【詳解】由有：，解得或，根據(jù)對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調性以及復合函數(shù)的單調性法則有：函數(shù)的單調遞增區(qū)間為：，故A，B，D錯誤.故選：C.2．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習）已知的單調減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由得，解得或即函數(shù)的定義域為因為在上單調遞減，故的單調減區(qū)間即為的單調增區(qū)間,故的單調減區(qū)間為.故選：D.3．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【詳解】解：令，因為在定義域上單調遞減，又在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在上單調遞增且恒大于零，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：②由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調性求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中校考階段練習）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設函數(shù)，因為在上為減函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，則解得，又因為在恒成立，所以解得，所以a的取值范圍為，故選:B.例題2．（2023春·江西宜春·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（－2，4] B．[－2，4）C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，要使得函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則在區(qū)間上單調遞增，對稱軸為，則.故選：A例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都滿足不等式，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【詳解】由于滿足：對任意兩個不相等的實數(shù)，都滿足不等式，所以在區(qū)間上單調遞增.在上遞減；的開口向上，對稱軸為，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：例題4．（2023春·重慶永川·高一重慶市永川北山中學校校考開學考試）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【詳解】∵函數(shù)在R上單調遞增，∴，即實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．練透核心考點1．（2023秋·福建莆田·高一莆田第五中學校考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為時,恒成立,所以,設,因為函數(shù)是增函數(shù),所以要使在上是增函數(shù),則需函數(shù)是減函數(shù),可得,所以,實數(shù)的取值范圍為.故選:A.2．（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，所以有，故選：A3．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為______．【答案】【詳解】令，則在為減函數(shù)，所以由復合函數(shù)的單調性可知在上為減函數(shù)，則，解得，即的取值范圍為．故答案為：4．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┰O函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】因為且，所以的定義域為，當時，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，因為當時，由對勾函數(shù)可得的單調遞增區(qū)間為，所以，解得；當時，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，因為當時，由對勾函數(shù)可得的單調遞減區(qū)間為，所以，解得，與相矛盾，不符合題意.綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：③由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調性解不等式典型例題例題1．（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谀┖瘮?shù)的定義域為（

）A．[0，1) B．(－∞，1) C．(1，+∞) D．[0，+∞)【答案】A【詳解】已知，則，解得，即函數(shù)的定義域為.故選：A例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】構造函數(shù)，，則函數(shù)為偶函數(shù)，且該函數(shù)在上為減函數(shù)，由可得，即，所以，，可得，即，解得.因此，不等式的解集為.故選：D.例題3．（2023·全國·高三對口高考）已知對數(shù)函數(shù)，且，則關于的不等式的解集為______．【答案】【詳解】因為，當時，則有，無解；當時，則有，解得：，所以，則對數(shù)函數(shù)在上單調遞增，又關于x的不等式，所以，解得：，所以關于x的不等式的解集為，故答案為：.練透核心考點1．（2023秋·全國·高三校聯(lián)考開學考試）“”成立的一個必要不充分條件為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，所以選項A是充要條件，選項B是既不充分又不必要條件，選項D是充分不必要條件，選項C是必要不充分條件.故選：C.2．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞增．若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，則，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，于是得：，解得，所以a的取值范圍是.故選：D3．（2023秋·上海浦東新·高一上海市建平中學?？计谀┮阎瘮?shù).(1)當時，求不等式的解集；【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當時，，由，所以不等式的解集為；④對數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小典型例題例題1．（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習）設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為且，，故.故選：B.例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，，，又，由于，故，綜合可得，故選：A例題3．（2023春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，即.即.故選：D練透核心考點1．（2023春·湖北·高一隨州市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由對數(shù)函數(shù)單調性可知，，可得；又因為，即，所以，即；而，即，所以，即，可得；所以.故選：A2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】由于，所以，而，所以，又，所以，因此，故選：D3．（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，，，所以.故選：B高頻考點八：對數(shù)函數(shù)的最值①求對數(shù)（型）函數(shù)的最值典型例題例題1．（2023·高一課時練習）若(為自然對數(shù))，則函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．2 C．0 D．6【答案】B【詳解】由題意，所以，則，設，，又，而，所以時，，所以函數(shù)的最小值為．故選：B．例題2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）函數(shù)的最大值為________.【答案】##【詳解】，故當時，.故答案為:.例題3．（2023秋·陜西西安·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，，求的最大值及最小值.【答案】最小值：最大值：7.【詳解】解：令，∵，在定義域遞減，則，

∴，∴，∴當時，取最小值；當t＝－1時，取最大值7.練透核心考點1．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┖瘮?shù)（）在上的最大值是（

）．A．0 B．1 C．3 D．a(chǎn)【答案】C【詳解】因為，所以該函數(shù)是單調遞增函數(shù)，所以，故選：C2．（2023·高一課時練習）函數(shù)的最小值是______．【答案】－2【詳解】設，所以，是單調遞減函數(shù)，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值是.故答案為：3．（2023秋·上海浦東新·高一上海南匯中學?？计谀┖瘮?shù)，的最大值為______.【答案】2【詳解】因為，則，由于是減函數(shù)，所以，故答案為：2②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的最值求參數(shù)典型例題例題1．（多選）（2023秋·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（0，且）的定義域為，值域為．若的最小值為，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，因為函數(shù)在的值域為，則，即，由，得，則有或，當時，，有，當時，，有，令方程的兩個根為，如圖，因此在上函數(shù)取得最小值0，最大值1，且最小時，，于是，解得或，而的最小值為，則有或，解得或，所以實數(shù)a的值可以是或，即BC滿足，AD不滿足.故選：BC例題2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考期末）已知函數(shù)定義域為，(1)求的取值范圍；(2)若，函數(shù)在[2,1]上的最大值與最小值和為0，求實數(shù)的值.【答案】(1)0≤a<1；(2).【詳解】（1）由題設，在上恒成立，當時，易知不等號恒成立；當時，有，可得；綜上，.（2）由及（1）結論，令，∴由已知及，有，又為增函數(shù)，∴，即，∴或，由（1）知：，∴.例題3．（2023秋·河北邢臺·高一邢臺一中?？计谀┮阎瘮?shù)，且.(1)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，且點在函數(shù)的圖象上，求實數(shù)的值；(2)已知函數(shù).若的最大值為12，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或2【詳解】（1）因為函數(shù)，且）的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以（，且），因為點在函數(shù)的圖象上，所以，解得，或（舍去）.（2）.令.①當時，由，有，二次函數(shù)的對稱軸為，最大值為，解得或（舍去）；②當時，由，有，二次函數(shù)的對稱軸為，可得最大值為，解得或（舍去），綜上，實數(shù)的值為或2.練透核心考點1．（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學?？计谀┤舨坏仁皆谏虾愠闪?，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【詳解】解：因為不等式在上恒成立，所以在上恒成立，令，，，則問題轉化為在上恒成立，若，此時在上單調遞減，，而當時，，顯然不合題意；當時，畫出兩個函數(shù)的圖象，要想滿足在上恒成立，只需，即，解得．綜上：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：2．（2023春·甘肅蘭州·高一?？奸_學考試）已知函數(shù)若，求的單調區(qū)間；是否存在實數(shù)a，使的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【答案】（I）單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（II）存在實數(shù)，使的最小值為0.【詳解】且，可得函數(shù)真數(shù)為函數(shù)定義域為令可得：當時，t為關于x的增函數(shù)；當時，t為關于x的減函數(shù)．底數(shù)為函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為設存在實數(shù)a，使的最小值為0，由于底數(shù)為，可得真數(shù)恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，即a為正數(shù)，且當時，t值為1．因此存在實數(shù)，使的最小值為0．3．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第五中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，或.(1)若，解關于x的不等式：；(2)若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)a的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若，不等式即為，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則，解得，故不等式的解集為.（2），由，解得，所以函數(shù)的定義域為.令，則在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.，即，因此，.當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.在定義域沒有最小值.綜上，.③對數(shù)（型）函數(shù)的最值與不等式綜合應用典型例題例題1．（2023·江蘇·高一專題練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查數(shù)形結合法及恒成立問題．由和圖像知：只需且，故實數(shù)的取值范圍為．例題2．（2023秋·河北廊坊·高一?？计谀┤舨坏仁綄愠闪?，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【詳解】結合函數(shù)及在上的圖像易知，只需滿足條件：，且即可，從而得到.故答案為：例題3．（2023秋·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為．(1)求實數(shù)，的值；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）,令，設，，∵，對稱軸為，∴在上單調遞增，則即解得，∴實數(shù)a的值為1，b的值為0．（2）由，得，令，則，，當時，恒成立，即；當時，，令，則只需，由于均為上的單調遞增函數(shù)，所以，在上單調遞增，∴，∴，綜上，實數(shù)k的取值范圍為．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）若且在上恒正，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù),且，在上恒正,令，所以當時，的對稱軸方程為，知，即.當時，，滿足或或解不等式得：，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：.2．（2023·高一課時練習）若不等式（）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【詳解】由題意，不等式即在上恒成立，因為在上的最小值為，所以.故答案為：.3．（2023秋·廣東河源·高一龍川縣第一中學統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，的圖象過點(1，0)，且為偶函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為為二次函數(shù)，且為偶函數(shù)，可得，所以的圖象的對稱軸方程為，又的圖象過點，故，解得，所以；（2）令，由，，則，，不等式，即，可得在，上恒成立，因為函數(shù)在，上單調遞增，易得當時，，即為最大值，故的取值范圍是，.第四部分：高考新題型①開放性試題1．（2023秋·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足①；②在定義域內(nèi)單調遞增.請寫出一個符合條件①②的函數(shù)的表達式______.【答案】（答案不唯一）【詳解】取，則，滿足①；因為所以在定義域內(nèi)單調遞增，滿足②，故符合條件①②的函數(shù)的表達式可以為.故答案為：（答案不唯一）.2．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)滿足：，且當時，，請你寫出符合上述條件的一個函數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）【詳解】對于函數(shù)，，且當時，，所以函數(shù)滿足條件，故答案為：（答案不唯一）.3．（2023秋·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）寫出一個同時具有下列性質①②的函數(shù)：______．①對、，；②在其定義域內(nèi)單調遞增．【答案】（答案不唯一，均滿足）【詳解】取，、，則，滿足①，在定義域內(nèi)單調遞增滿足②，故答案為：（答案不唯一，均滿足）．②劣夠性試題1．（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）在“①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù).”這兩個條件中選擇一個補充在下列的橫線上，并作答問題.已知函數(shù)，且___________.(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調性，并根據(jù)單調性定義證明你的結論.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)選①，，選②，.(2)答案見解析【詳解】（1）若選擇①函數(shù)是偶函數(shù).解法一：根據(jù)題意，易得函數(shù)的定義域為.由為偶函數(shù)，因此，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題設，所以.解法二：由題，在上恒成立，則恒成立，則有，即恒成立，所以，.所以.若選擇②函數(shù)是奇函數(shù).解法一：根據(jù)題意，易得函數(shù)的定義域為.由為奇函數(shù)，因此，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題設，所以.解法二：在上恒成立，恒成立，即恒成立，所以，.所以.（2）若選擇①，函數(shù)在上單調遞減.證明：，且，有，由，得，所以，于是，所以，所以，即，所以，函數(shù)在上單調遞減.若選擇②，函數(shù)在上單調遞增.證明：，且，則由，得，所以，即，于是，所以，即，所以函數(shù)在上單調遞增.2．（2023秋·河北保定·高一保定一中?？计谀?；②且；③恒成立，且.在以上三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，并作答.問題：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，__________.(1)求的解析式；(2)若，求在的值域.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：選①：設，則，由可得，解得，則，由可得，；選②：因為，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，因為，設，則，可得，所以；選③：因為且，可設，其中，則，可得，所以；（2）解：當時，，令，則，，，令，則，因為函數(shù)在上單調遞增，因此函數(shù)值域為，所以在的值域為．3．（2023·高一課時練習）在①，②這兩個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并給出解答．已知函數(shù)滿足______．(1)求的值；(2)若函數(shù)，證明：．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)證明見解析【詳解】（1）選①，因為，所以，所以．所以，解得；選②，因為，所以，所以，所以，所以．（2）由（1）知，，，所以，所以．第五部分：數(shù)學思想方法①數(shù)形結合的思想1．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)滿足，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，聯(lián)立，得，在R上單調遞減，在同一坐標系中作，，，的圖象，如圖，所以，故.故選：B.2．（多選）（2023春·湖南長沙·高一長沙一中?？茧A段練習）已知函數(shù)，且，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．的最小值為8【答案】AB【詳解】依題意函數(shù)，且，所以，其中，所以C選項錯誤.A選項，，A選項正確.B選項，，B選項正確.D選項，由于，所以，則表示曲線圖象上的點，表示曲線圖象上的點與點的距離的平方，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，由得，即，解得，，即直線與曲線相切，如圖所示，所以，所以D選項錯誤.故選：AB3．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）設方程的解為，方程的解為，則___________．【答案】6【詳解】由方程得，由方程得.由于與互為反函數(shù)，圖像關于對稱.如圖示，的根為點A的橫坐標，的根為點B的橫坐標，因為與圖像關于對稱，且與垂直，所以兩點為與的交點，且關于對稱.由解得：，則．故答案為：6．4．（2023秋·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在，滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】根據(jù)題意作的圖象如圖所示，若存在，滿足，則與的圖象有兩個交點，由圖象可得，此時，，即，所以，故答案為：②分類討論的思想1．（2023春·安徽·高一淮北一中校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且．(1)求m的值，并確定的解析式；(2)若（且），求在上值域．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）因為，所以由冪函數(shù)的性質得，，解得.因為，所以或或.當或時，，為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不合題意，舍去；當時，是偶函數(shù)，符合題意.所以.（2）由（1）知.設，則，此時在上的值域，就是函數(shù)的值域；當時，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以；當時，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以；所以當時，函數(shù)的值域為，當時，的值域為．2．（2023秋·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）已知（，且）.(1)求函數(shù)的定義域；(2)當（其中，且為常數(shù)）時，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由；(3)當時，求滿足不等式的實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)當時存在最小值，當時，不存在最小值，理由見解析(3)【詳解】（1）由可得或，解得，即函數(shù)的定義域為.（2）設，則，∵，∴，，∴，①當時，則在上是減函數(shù)，又，∴時，有最小值，且最小值為；②當時，，則在上是增函數(shù)，又，∴時，無最小值.（3）由于的定義域為，定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù).由（2）可知，當時，函數(shù)為減函數(shù)，由此，不等式等價于，即有，解得，所以x的取值范圍是.3．（2023秋·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（且）(1)當時，解不等式；(2)，，求實