江蘇省大豐市新豐中學(xué)2016屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題

江蘇省大豐市新豐中學(xué)2016屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知函數(shù)\(f(x)=\log_2(x^2+1)\)，則該函數(shù)的定義域為（）A.\((\infty,1]\cup[1,+\infty)\)B.\((\infty,1)\cup(1,+\infty)\)C.\((1,1)\)D.\([0,+\infty)\)2.已知\(a>b>0\)，則下列不等式恒成立的是（）A.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)B.\(a^2>b^2\)C.\(a^3>b^3\)D.\(\frac{1}{a^2}<\frac{1}{b^2}\)3.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^21}\)的奇偶性為（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法確定4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)5.函數(shù)\(f(x)=2x^33x^2+x\)的極值點個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.36.已知\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，則\(a\cdotb\cdotc\)的值為（）A.16B.18C.20D.247.直線\(y=2x+3\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定8.若\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow=(1,2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^24}\)的值域為__________。10.已知\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，\(\cos\theta<0\)，則\(\tan\theta\)的值為__________。11.若\(\log_2(x+1)=3\)，則\(x\)的值為__________。12.已知\(a,b,c\)是等比數(shù)列，且\(a+b+c=14\)，\(abc=64\)，則\(a^2+b^2+c^2\)的值為__________。13.已知\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)處取得極值，且\(f(0)=0\)，\(f(2)=8\)，則\(a+b+c\)的值為__________。14.直線\(y=mx+2\)與拋物線\(y=x^24x+3\)相切時，\(m\)的值為__________。三、解答題（本大題共4小題，每小題10分，共40分）15.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}\)。（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由；（3）求函數(shù)在區(qū)間\((0,2)\)上的最大值和最小值。16.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=n^2+2n\)。（1）求\(a_1\)的值；（2）寫出數(shù)列的通項公式；（3）判斷數(shù)列的單調(diào)性。17.已知直線\(l\)的方程為\(y=mx+b\)（\(m\neq0\)），圓\(C\)的方程為\(x^2+y^2=1\)。（1）若直線\(l\)與圓\(C\)相切，求\(b\)的值；（2）若直線\(l\)與圓\(C\)相交，求\(m\)的取值范圍。18.已知函數(shù)\(f(x)=x^33x^2+2x\)。（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）求函數(shù)在區(qū)間\([1,2]\)上的最大值和最小值。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為\(40\)元，售價為\(60\)元。若每天生產(chǎn)\(x\)件產(chǎn)品，則利潤\(y\)（元）與\(x\)的關(guān)系為\(y=20x0.2x^2\)。（1）求每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，利潤最大；（2）求最大利潤是多少。20.一艘船以\(5\)千米/小時的速度向正北方向航行，同時一股水流以\(3\)千米/小時的速度向東流。（1）求船的實際航行速度；（2）若船在\(2\)小時后到達某點，求該點離起點的距離。五、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）21.已知\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，\(abc=64\)。證明：\(a^2+b^2+c^2=20\)。22.已知\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)。證明：\(\triangleABC\)是直角三角形。八、解答題（本大題共3小題，每小題15分，共45分）19.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^21}\)，求證：該函數(shù)在定義域內(nèi)無最大值也無最小值。20.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=n^2+n\)，求通項公式\(a_n\)。21.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項為2，公差為3，求該數(shù)列的前10項和。九、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）22.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件成本為50元，售價為80元。若每天生產(chǎn)\(x\)件產(chǎn)品，則利潤\(y\)（元）與\(x\)的關(guān)系為\(y=30x0.5x^2\)。求每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，利潤最大，并求最大利潤是多少。23.一艘船以10千米/小時的速度向正北方向航行，同時一股水流以4千米/小時的速度向東流。求船的實際航行速度和方向。十、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）24.已知\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，\(abc=64\)。證明：\(a^2+b^2+c^2=20\)。25.已知\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)。證明：\(\triangleABC\)是直角三角形。八、解答題19.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2}1$，求證：該函數(shù)在定義域內(nèi)無最大值也無最小值。解答思路：1.求導(dǎo)數(shù)：計算$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。2.分析導(dǎo)數(shù)符號：判斷$f'(x)$在定義域內(nèi)的符號變化。3.得出結(jié)論：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷是否存在最大值或最小值。答案：$f'(x)=\frac{2}{x^3}$。當(dāng)$x>0$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x<0$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，$f(x)$在定義域內(nèi)無最大值也無最小值。函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算。函數(shù)單調(diào)性的判定。極值存在的條件。20.已知數(shù)列$a_n$的前$n$項和為$S_n=n^2n$，求通項公式$a_n$。解答思路：1.利用前$n$項和公式：根據(jù)$S_n$和$S_{n1}$的關(guān)系求$a_n$。2.化簡公式：化簡得到$a_n$的通項公式。答案：$a_n=S_nS_{n1}=(n^2n)[(n1)^2(n1)]=2n1$。數(shù)列前$n$項和的遞推關(guān)系。通項公式的求解方法。21.已知等差數(shù)列$a_n$的首項為2，公差為3，求該數(shù)列的前10項和。解答思路：1.使用等差數(shù)列求和公式：$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n1)d]$。2.代入已知條件：將首項$a_1=2$和公差$d=3$代入公式。答案：$S_{10}=\frac{10}{2}[2\times2+(101)\times3]=110$。等差數(shù)列的求和公式。公式應(yīng)用與計算。九、應(yīng)用題22.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件成本為50元，售價為80元。若每天生產(chǎn)$x$件產(chǎn)品，則利潤$y$（元）與$x$的關(guān)系為$y=30x0.5x^2$。求每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，利潤最大，并求最大利潤是多少。解答思路：1.求導(dǎo)數(shù)：計算$y=30x0.5x^2$的導(dǎo)數(shù)$y'$。2.求極值點：令$y'=0$，解出$x$的值。3.驗證極值類型：通過二階導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)符號變化判斷極值類型。4.計算最大利潤：將極值點代入原函數(shù)求最大利潤。答案：$y'=30x$，令$y'=0$得$x=30$。最大利潤為$y(30)=30\times300.5\times30^2=450$元。利潤函數(shù)的建模。函數(shù)極值問題的求解。23.一艘船以10千米/小時的速度向正北方向航行，同時一股水流以4千米/小時的速度向東流。求船的實際航行速度和方向。解答思路：1.建立速度向量模型：船的速度向量與水流速度向量的合成。2.計算實際速度：利用向量加法計算實際速度的大小。3.計算方向：通過向量分解或三角函數(shù)計算方向角。答案：實際速度$v=\sqrt{10^2+4^2}=\sqrt{116}$千米/小時。方向角$\theta=\arctan\left(\frac{4}{10}\right)$。向量加法與分解。實際速度的計算。方向角的求解。十、證明題24.已知$a,b,c$是等差數(shù)列，且$a+b+c=12$，$abc=64$。證明：$a^2+b^2+c^2=20$。解答思路：1.利用等差數(shù)列性質(zhì)：$b=\frac{a+c}{2}$。2.代入條件：將$b$表達式代入$a+b+c=12$和$abc=64$。3.化簡并證明：通過代數(shù)恒等式證明$a^2+b^2+c^2=20$。答案：$a+b+c=12$，代入$b=\frac{a+c}{2}$得$3b=12$，即$b=4$。$abc=64$，代入$b=4$得$a\cdot4\cdotc=64$，即$ac=16$。$a^2+b^2+c^2=a^2+4^2+c^2$。利用$(a+c)^2=a^2+2ac+c^2$和$ac=16$，化簡得$a^2+b^2+c^2=20$。等差數(shù)列的性質(zhì)。代數(shù)恒等式的應(yīng)用。25.已知$\triangleABC$的三邊長分別為$a,b,c$，且$a^2+b^2=c^2$。證明：$\triangleABC$是直角三角形。解答思路：1.應(yīng)用勾股定理：已知$a^2+b^2=c^2$。2.判斷直角三角形：根據(jù)勾股定理逆定理，若$a^2+b^2=c^2$，則$\triangleABC$是直角三角形。答案：已知條件滿足勾股定理