第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測卷2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個做直線運動的質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系式為，則該質(zhì)點的瞬時速度為時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為計算即可.【詳解】由題意知，則，令，則，即該質(zhì)點瞬時速度為時，時間.故選:C.2．已知，則（

）A．0 B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合求導(dǎo)公式求解即可.【詳解】易知，.故選：D3．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）A． B． C．e D．【答案】A【分析】在上恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到，求出答案.【詳解】由題意得在上恒成立，，故，即，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，故a的最小值為.故選：A4．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】畫出函數(shù)的圖象，觀察與連線的斜率即得.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.

由圖可知曲線上各點與坐標(biāo)原點的連線的斜率隨著的增大而減小.由，得，即.故選：C.5．已知函數(shù)有三個零點，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解析式得，由，得，設(shè)，則，從而可得，求解導(dǎo)函數(shù)，分類討論與兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，從而可得答案.【詳解】定義域為，顯然，若是零點，則，，所以也是零點，函數(shù)有三個零點，不妨設(shè)，則，所以，，當(dāng)時，結(jié)合定義域和判別式易知恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時，設(shè)的兩根分別為，易知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，當(dāng)，，所以由零點存在定理易知有三個零點，滿足題意.綜上，的取值范圍是.【點睛】求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式得若是零點，也是零點，從而得，所以求的取值范圍即求的取值范圍，然后求解導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可.6．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有一極大值點為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令且恒成立，根據(jù)的極值點得到矛盾，有兩個不同的零點，利用三次函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性，進而求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，令，若恒成立，易知：當(dāng)時，當(dāng)時，所以是的極小值點，不合題意，故有兩個不同零點．設(shè)的兩個零點分別為，則，結(jié)合三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知：，在、上，單調(diào)遞減，在、上，單調(diào)遞增，是的極大值點，符合題意，此時需，得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：D.7．設(shè)點在曲線上，點在直線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，得，代入曲線，所以的最小值即為點到直線的距離.故選：B.8．已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，對函數(shù)求導(dǎo)，利用的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，因為，所以，對函數(shù)求導(dǎo)，得，因為，所以，所以函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，因此由.故選：D.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得09．下列求導(dǎo)運算正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】CD【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運算法則，求解即可.【詳解】對于選項A:,,故選項A錯誤；對于選項B:,,故選項B錯誤；對于選項C:,,故選項C正確；對于選項D:,,故選項D正確；故選：CD.10．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由為奇函數(shù)，可知，可得函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，再由，可得，函數(shù)圖像關(guān)于點對稱，再代入特值，可判斷各選項.【詳解】由為奇函數(shù)可得，即，，即，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，，即，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；將代入，得，將代入，得，B選項正確；將代入得，得，A選項錯誤；，C選項正確；將代入，得，故，，D選項錯誤.故選：BC.11．已知函數(shù)，恰好存在4個不同的正數(shù)，使得，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，并畫出圖象，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合圖象求解判斷即得.【詳解】令函數(shù)，依題意，恰有4個正實根，即直線與函數(shù)的圖象恰有4個公共點，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的部分圖象，如圖，顯然當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有一個交點，，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有唯一公共點，，此時直線必為曲線在點處的切線，由求導(dǎo)得，由，得，即，因此，而當(dāng)時，，則，C錯誤，D正確；令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上遞減，而，則當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，A正確，B錯誤.故選：AD三．填空題本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知泳池深度為，其容積為，如果池底每平方米的維修費用為元．設(shè)入水處的較短池壁長度為，且據(jù)估計較短的池壁維修費用與池壁長度成正比，且比例系數(shù)為，較長的池壁總維修費用滿足代數(shù)式，則當(dāng)泳池的總維修費用最低時的值為．【答案】【分析】將池壁的總維修費用表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得最小值點，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意知：池底面積為，則池底維修費用為（元）；表示較短池壁長，，解得：，池壁的總維修費用表達式為，，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最小值，即此時泳池的總維修費用最低.故答案為：.13．已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則方程在上的實根個數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)條件確定函數(shù)周期性，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象可得實根個數(shù).【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，即，對稱中心為，函數(shù)為偶函數(shù)，即，對稱軸為，又由可得函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，當(dāng)時，，則，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，所以.作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下：即在區(qū)間上，方程有個實根，又,則方程在上的實根個數(shù)為.故答案為：.14．若數(shù)列滿足，則稱該數(shù)列為“切線零點數(shù)列”，已知函數(shù)有兩個零點1?2，數(shù)列為“切線零點數(shù)列”，設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，則.【答案】【分析】先根據(jù)條件，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，確定首項和公比，再求其前項的和.【詳解】因為有兩個零點，由韋達定理可得，解得，所以，.由題意可得，所以，又因為，所以，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于判斷數(shù)列為等比數(shù)列，也就是要說明為常數(shù)，只需要說明：是常數(shù)即可.所以根據(jù)條件得到：就是解決該問題的突破口.四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步15．（13分）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求，的值；(2)證明：在上單調(diào)遞增.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到方程組，解得即可；（2）令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到當(dāng)時，即當(dāng)時，即可得證.【詳解】（1）因為，所以，依題意可得，即，解得，所以.（2）證明：由（1）可得，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，即當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增.16．（15分）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)設(shè)，證明：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得恒成立，從而得證.【詳解】（1）因為，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.（2）因為，，所以由，得，即，令，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即恒成立，所以.17．（15分）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．(1)若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)”；（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）(2)定義建筑物的“形狀因子”為，其中為建筑物底面面積，為建筑物底面周長，又定義為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設(shè)為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為．當(dāng)，時，試求當(dāng)該宿舍樓的層數(shù)為多少時，“體形系數(shù)”最?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓柱體的表面積和體積公式及求出答案；（2）表達出，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進而得到S的最小值在或7取得，代入比較后得到結(jié)論.【詳解】（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得：，，所以；（2）由題意可得，，令，，所以，令，解得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以S的最小值在或7取得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在時，該建筑體S最小．18．（17分）已知直線和是函數(shù)圖像兩條相鄰的對稱軸．(1)求的解析式和單調(diào)區(qū)間；(2)保持圖像上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖像．若在區(qū)間恰有兩個極值點，求的取值范圍．【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)周期性求出，再結(jié)合對稱軸處的特殊值和的范圍，可求出，從而求出解析式，利用整體代換來求單調(diào)區(qū)間即可；（2）利用三角函數(shù)的伸縮平移變換，可求出的解析式，再利用整體代換和數(shù)形結(jié)合的思想來求的范圍.【詳解】（1）由題設(shè)條件知的最小正周期，所以．又因為，，所以，．令，得的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，得的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題可知，所以當(dāng)時，．若在區(qū)間恰有兩個極值點，則在區(qū)間恰有兩個極值點，因此，解得的取值范圍是．19．（17分）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式.例如，在點處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.【答案】(1),；(2)答案見解析；(3)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)在點處的階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的正負，由此可得與的大小關(guān)系；（3）令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即；①當(dāng)時，由，，可直接證得不等式成立；②當(dāng)時，分類討論，由此可證得不等式成立.【詳解】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述：當(dāng)時，；