空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（重難點(diǎn)突破）

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）、回顧平面向量1.平面向量基本定理如果QUOTE是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量QUOTE，一對(duì)實(shí)數(shù)QUOTE使QUOTE，其中不共線(xiàn)的向量QUOTE叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。結(jié)論：（1）若向量QUOTE，QUOTE不共線(xiàn)，則QUOTE的等價(jià)條件是QUOTE；（2）三終點(diǎn)A,B,C共線(xiàn)存在實(shí)數(shù)QUOTE使得QUOTE=QUOTE，且QUOTE2.兩個(gè)向量的夾角（1）定義：一直兩個(gè)非零向量QUOTE，作QUOTE，則∠QUOTE叫做QUOTE與QUOTE的夾角。（2）范圍：夾角QUOTE的取值范圍是。①當(dāng)QUOTE與QUOTE同向時(shí)，QUOTE=；②反向時(shí)，QUOTE=；③當(dāng)QUOTE與QUOTE垂直時(shí)，QUOTE=，并記作QUOTE⊥QUOTE。3.兩向量的夾角分別是銳角與鈍角的充要條件（1）QUOTE與QUOTE的夾角是銳角QUOTE·QUOTE0且QUOTE與QUOTE不共線(xiàn)；（2）QUOTE與QUOTE的夾角是鈍角QUOTE·QUOTE0且QUOTE與QUOTE不共線(xiàn)。4.平面向量的數(shù)量積（1）定義：QUOTE·QUOTE=，規(guī)定QUOTE·QUOTE=；（2）坐標(biāo)表示：QUOTE·QUOTE=，其中QUOTE；（3）運(yùn)算律①交換律：QUOTE·QUOTE=；②結(jié)合律QUOTE·QUOTE=；③數(shù)乘：QUOTE·QUOTE=.（4）在QUOTE方向上的投影是；（5）·QUOTE的幾何意義：數(shù)量積QUOTE·QUOTE等于的QUOTE模|QUOTE|與QUOTE在的QUOTE方向上的投影的乘積。5.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)QUOTE，QUOTE都是非零向量，是與QUOTE方向相同的單位向量，QUOTE是QUOTE與QUOTE的夾角，則（1）QUOTE==；（2）QUOTE⊥QUOTE；（3）QUOTE·QUOTE=；（4）|·QUOTE|≤|QUOTE|·|QUOTE|.（二）、學(xué)習(xí)空間向量知識(shí)點(diǎn)一：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積(1)、定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)、常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識(shí)點(diǎn)二：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0.知識(shí)點(diǎn)三：夾角問(wèn)題1.定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦。知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2.利用空間向量求異面直線(xiàn)所成的角異面直線(xiàn)所成的角可以通過(guò)選取直線(xiàn)的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到。在求異面直線(xiàn)所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線(xiàn)所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線(xiàn)所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線(xiàn)所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角。知識(shí)點(diǎn)四：空間向量的長(zhǎng)度1.定義：在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2.利用向量求線(xiàn)段的長(zhǎng)度。將所求線(xiàn)段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來(lái)求解。

重難點(diǎn)題型突破1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例1、（1）.（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到坐標(biāo)平面xOy的距離為（）A．2 B．1 C．5 D．3【答案】C【分析】根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式求解即可【詳解】因?yàn)樵诳臻g直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面xOy的投影為，所以點(diǎn)到坐標(biāo)平面xOy的距離為故選：C.（2）.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】【分析】先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故答案為：【變式訓(xùn)練11】、（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【分析】利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：AD.【變式訓(xùn)練12】、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是,則______________．【答案】【分析】根據(jù)題意為的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是,即為的中點(diǎn),所以,解得,故.故答案為:.重難點(diǎn)題型突破2平行與垂直例2、（1）.（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，，若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】4【分析】由題意可得，即可得到方程組，進(jìn)而解出方程組即可.【詳解】由題意得，，即，所以，解得.故答案為：4（2）.（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，若，則______.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】空間向量，，由，得，解得，所以.故答案為：【變式訓(xùn)練21】、（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中條件，求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解?故選：D.【變式訓(xùn)練22】（2022秋·湖南郴州·高二校考期中）（多選題）已知空間向量則下列結(jié)論正確的是（）A． B．與夾角的余弦值為C． D．【答案】AD【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算以及向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】對(duì)于A：，則，即，故A正確；對(duì)于B：與夾角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，因?yàn)?，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確；故選：AD重難點(diǎn)題型突破3空間向量的數(shù)量積計(jì)算例3、（1）.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知，則_________，_________，_________，_________，_________．【答案】【分析】由空間向量的模長(zhǎng)公式，數(shù)量積的運(yùn)算法則，夾角公式計(jì)算即可.【詳解】已知，則，，，，.故答案為：；；；；.（2）.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)等于，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出，，點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算得到和，直接利用空間向量數(shù)量積公式即可得出結(jié)果.【詳解】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以．故選：B.

【變式訓(xùn)練31】、（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則__________．【答案】【分析】直接根據(jù)向量的夾角公式求解.【詳解】根據(jù)向量的夾角公式，，由于向量夾角的范圍是，故故答案為：【變式訓(xùn)練32】、（2023春·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的各棱長(zhǎng)均為，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】依題意可得底面四邊形為正方形，為邊長(zhǎng)為的正三角形，根據(jù)，數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)樗睦忮F的各棱長(zhǎng)均為，則四棱錐為正四棱錐，所以底面四邊形為正方形，為邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，且，因?yàn)?，所?故選：D重難點(diǎn)題型突破4挑戰(zhàn)滿(mǎn)分壓軸題例4、（1）.（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中學(xué)校考期中）正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．（2）.（2023春·重慶北碚·高二重慶市朝陽(yáng)中學(xué)校考期中）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)F是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包括頂點(diǎn))，平面交棱于點(diǎn)E，則下列命題中正確的是(

)A．存在點(diǎn)F，使得為直角B．對(duì)于任意點(diǎn)F，都有直線(xiàn)∥平面C．對(duì)于任意點(diǎn)F，都有平面平面D．當(dāng)點(diǎn)F由向A移動(dòng)過(guò)程中，三棱錐的體積逐漸變大【答案】C【分析】A：驗(yàn)證是否為零即可；B：根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)即可判斷；C：證明⊥平面即可；D：證明∥平面即可．【詳解】對(duì)于A，易知，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接、AC、EF，則平面平面=EF，若∥平面，則∥EF，顯然僅當(dāng)F和E為所在棱中點(diǎn)時(shí)與EF才平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接、、、、、，由AB⊥平面得AB⊥，易知⊥，∵AB∩=A，AB、平面，∴⊥平面，∴⊥，同理可證⊥，∵∩=，、平面，∴⊥平面，∵平面，∴平面⊥平面，故C正確；對(duì)于D，連接、、，∵∥，平面，平面，∴∥平面，則F到平面的距離為定值，又△面積為定值，故三棱錐F體積為定值，故D錯(cuò)誤．故選：C．【變式訓(xùn)練41】、（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選題）在直四棱柱中中，底面為菱形，為中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足.下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則四面體的體積為定值B．若平面，則的最小值為C．若的外心為，則為定值2D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)分別為，由條件確定的軌跡，結(jié)合錐體體積公式判斷A，對(duì)于B，由條件確定的軌跡為，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離最小問(wèn)題求解；對(duì)于C，由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷，對(duì)于D，由條件確定點(diǎn)的軌跡為圓弧，利用弧長(zhǎng)公式求軌跡長(zhǎng)度即可判斷.【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)分別為，連接，則，，，因?yàn)?，，所以，，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，所以點(diǎn)在，因?yàn)椋?，所?平面，平面，所以∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以四面體的體積為定值，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，又平面，，平面，所以平面平面，取的中點(diǎn)，連接，則，，所以，所以四點(diǎn)共面，所以平面平面，平面平面,平面平面,所以，又，所以，所以點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，翻折平面，使其與五邊形在同一平面，如圖，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，因?yàn)椋裕?，所以，在中，，，所以，所以，所以，在中，，，，所以，所以，即的最小值為，所以B正確，對(duì)于C，若的外心為，過(guò)作于，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，過(guò)作，垂足為，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又在中，，所以，，在中，，，，所以，則在以為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在上取點(diǎn)，使得，則，所以點(diǎn)的軌跡為圓弧，因?yàn)?，所以，則圓弧等于，所以D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線(xiàn)面位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合錐體體積公式，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題.【變式訓(xùn)練42】、（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知在平行六面體中，，，為的中點(diǎn).給出下列四個(gè)說(shuō)法：①為異面直線(xiàn)與所成的角；②三棱錐是正三棱錐