單位化思想使除法問題更有條理

［摘"要］除法的意義一般有兩種模型：包含除和等分除。教師可以通過“確定單位”“操作單位”“包含單位個數(shù)”等教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生分析問題，使除法問題的解決變得有條理、有順序。［關(guān)鍵詞］包含除；等分除；單位化；結(jié)構(gòu)化度量意識是學(xué)生在測量中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在解決除法問題時也有重要作用。為了方便表達(dá)與交流，在比較某些事物時人們常常設(shè)置一個標(biāo)準(zhǔn)量，用“單位”來量化研究對象，目的在于簡化解決問題的思維過程［１］。劉加霞教授稱這種解決問題的思維策略叫“單位化思想”。單位化思想有利于學(xué)生闡明思維過程，使思維有條理。單位化思想隱藏在“包含除”中，不易被提取出來使之明確化，導(dǎo)致學(xué)生在解決復(fù)雜的小數(shù)、分?jǐn)?shù)問題時容易混淆。一、除法的兩種模型除法就是不斷地減相同的數(shù)，把相同數(shù)看作一個單位，有幾個這樣的單位，商就是幾。它與單位化思想不謀而合。除法的基礎(chǔ)是平均分，從分的過程來看，有兩個不同的模型，被研究者稱為“包含除”和“等分除”［２］。平均分的過程體現(xiàn)單位化思想，比如：12個蘋果，每3個裝一盤，可以裝幾盤？3個一盤，3就是題目中的單位，用這個單位去度量12，看12里面包含幾個3，學(xué)生很容易想到除法就是“不停地減去相同的數(shù)”。在教學(xué)整數(shù)除法時，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分的過程，讓學(xué)生通過操作“每幾個1份”，加深對“單位化思想”的理解；在教學(xué)小數(shù)除法、分?jǐn)?shù)除法的意義時，教師要引導(dǎo)學(xué)生遷移知識，用除法的意義來理解新問題，比如2÷1/3，學(xué)生不會認(rèn)為是把2平均分成1/3份，而會思考2里面包含幾個1/3?！暗确殖备囿w現(xiàn)“平均分”，幾個幾個地分，實際上是單位化思想［３］。比如“分物游戲”：15根骨頭，平均分給3只小狗，有幾種不同的分法？由于數(shù)字不大，學(xué)生說每只小狗分5根，實際上就是5根5根地分，5根是一個單位，這種分法是“包含除”。學(xué)生如果1根1根地分，會發(fā)現(xiàn)還剩很多，就大膽地調(diào)整為3根3根地分；然后對剩下的骨頭1根1根地分，可以說每一次“平均分”都有單位化思想。每一次調(diào)整的過程，學(xué)生都在思考“合適的單位”，經(jīng)歷調(diào)整“單位”的過程，加深對除法意義的理解。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生常常根據(jù)乘法口訣或生活經(jīng)驗很快得出1份有幾個，不再借助“合適的單位”，說明學(xué)生已有的知識對學(xué)習(xí)活動的設(shè)計提出了更高要求。二、教學(xué)中的偏頗部分學(xué)生喜歡用“平均分”來解釋除法問題。比如，學(xué)生學(xué)習(xí)除法第一課“分物游戲”，這是學(xué)生第一次認(rèn)識平均分，強調(diào)要分得公平，每人一樣多，應(yīng)該“平均分”；學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”，再一次強化“平均分”的思想，把一張紙平均分成3份，其中的1份用分?jǐn)?shù)1/3表示，因此學(xué)生描述一個分?jǐn)?shù)時使用“平均分”；在學(xué)習(xí)“平均數(shù)的認(rèn)識”時，除了“移多補少”的方法，學(xué)生知道把總數(shù)算出來再平均分成幾份，得到的數(shù)就是平均數(shù)；學(xué)習(xí)“小數(shù)除法”時，學(xué)生用“平均分”就無法解釋遇到的新問題。比如，“誰打電話時間長”的問題：國內(nèi)電話費0.3元1分鐘，笑笑花了5.1元，笑笑打了幾分鐘？有的學(xué)生將算式5.1÷0.3理解為“把5.1平均分成0.3份，每份是多少”，一些學(xué)生認(rèn)為不正確，因為以前平均分成幾份時的“幾”是整數(shù)，現(xiàn)在卻是小數(shù)。于是筆者引導(dǎo)學(xué)生回到題目情境，把0.3元看作1份，看5.1元里包含幾個0.3元，有幾個0.3就有幾分鐘。教師引導(dǎo)學(xué)生將0.3看作此題中的“單位”，用它去度量5.1，讓學(xué)生用度量的思想理解除法的含義。教材多個地方強調(diào)“平均分”，造成學(xué)生對包含除的理解弱化的現(xiàn)象。三、教材對兩種除法的安排筆者發(fā)現(xiàn)教材比較重視“等分除”，對“包含除”較少關(guān)注。筆者對北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中各年段除法意義相關(guān)內(nèi)容的課時數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計（見表1）。從總體上看，筆者發(fā)現(xiàn)小學(xué)階段關(guān)于除法的運算共計34課時，“等分除”有15課時，“包含除”有11課時，兩者皆涉及有8課時。而且在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的除法教學(xué)時都是先教學(xué)“等分除”，再教學(xué)“包含除”，最后進(jìn)行融合學(xué)習(xí)。可見，教材力求平衡除法“等分除”與“包含除”兩種意義，不斷循環(huán)，以促進(jìn)學(xué)生對除法意義的認(rèn)知螺旋上升。單從某一年級看，又有偏向，特別是三年級下冊有8課時關(guān)于除法的內(nèi)容，如表2所示，其中有7課時都是“等分除”［４］。這一單元8課時內(nèi)容中，有6課時出現(xiàn)“平均分”。四年級只有2課時涉及“包含除”，數(shù)量較少，導(dǎo)致“平均分”在學(xué)生大腦里占據(jù)主導(dǎo)地位。學(xué)生對除法的理解習(xí)慣性認(rèn)為是“等分除”，這個單元具有推動作用。但到了五年級，學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法時，無法理解復(fù)雜算式的意義，無法解決復(fù)雜的問題。在實踐教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的困難集中出現(xiàn)在“人民幣兌換”這一內(nèi)容。四、單位化思想的實踐學(xué)生在現(xiàn)實生活中較少涉及人民幣兌換的知識，與其他小數(shù)除法的問題相比，在解決這類題時出錯率高。教學(xué)后，筆者針對常見的人民幣兌換問題對所教學(xué)的兩個班級進(jìn)行測試，一班36人，二班47人，正確率統(tǒng)計如表3所示。從結(jié)果看正確率最高的是一步計算，一班正確率達(dá)到100%，二班正確率是95%，明顯看出用乘法解決人民幣兌換問題最好。用除法解決問題時，兩個班的正確率分別下降到72.3%和86.1%，情況不是很好。在兩步混合計算中，兩個班的正確率都在83%左右。74000日元與100日元兌換多少人民幣，二者單位一樣，大部分學(xué)生利用單位化思想解決，只有少數(shù)學(xué)生不明白。如果匯率呈現(xiàn)100元的幣種與較大數(shù)額的幣種不一樣，需要轉(zhuǎn)化。如對于“100泰銖換23.28元人民幣，3400元人民幣換多少泰銖”，學(xué)生正確率約75%。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對兩類題進(jìn)行強化訓(xùn)練，一類是用除法解決的問題，另一類是兌換率以100為單位呈現(xiàn)的題。為了讓學(xué)生真正理解其中的道理，用單位化思想解決問題時條理更清晰，筆者開展了教學(xué)實踐。情境問題：淘氣和爸爸去香港迪士尼玩，成人票539港元，兒童票383港元，兩人門票共折合人民幣多少元？（當(dāng)時1元人民幣兌換1.15港元）生1：以前我用“單位進(jìn)率”的思想來做，單位大化小用乘法，小化大用除法。但發(fā)現(xiàn)有些題不能用這種方法，比如，1元人民幣換多少港元，1港元換多少人民幣，搞不明白究竟用乘法還是用除法，要思考好一會兒。生2：需要明白題目的意思才行，不能套用公式。門票是港元，就把1.15港元作為1份，看總數(shù)里有這樣的幾份，就能換幾個1元人民幣。生1：你的意思是把1.15港元作為一個標(biāo)準(zhǔn)，去度量539港元，看539里面包含幾個1.15，就知道能換多少人民幣。哦，那我知道了，用除法做。為了強化單位化思想，筆者呈現(xiàn)了一組兩步計算的題。情境問題：“五一”假期明明一家去日本旅游，5天共花了36000日元，折合人民幣多少元？（當(dāng)時100日元兌換人民幣6.42元）生3：我以100日元為1份，36000里有這樣的360份；再利用份數(shù)×每份數(shù)=總數(shù)，就能得到結(jié)果。生4：我先算1日元兌換人民幣多少元，再算36000日元兌換多少元人民幣。為了讓學(xué)生更容易理解，筆者對每一種方法都畫了線段圖進(jìn)行說明，如圖1所示。師：對比一下兩種方法，有什么相同的地方？生5：我發(fā)現(xiàn)兩種方法都是以“1份”為單位來思考。第一種方法以100日元為1份，第二種以1日元為1份，先算出份數(shù)，再乘以每份數(shù)就得到結(jié)果。第二種的1份更小，線段也畫得更短。師：1份可以是1，也可以是100，還可能是多少？生6：1000、10000都可以。生7：不是整百整千也可以，只要每份是相同的數(shù)。學(xué)生說的“1份”就是一個單位，有了這樣的鋪墊，學(xué)生對復(fù)雜的問題也能順利解決。情境問題：泰國學(xué)生小奇來到中國，買了一部價值2000元人民幣的手機，這部手機需要多少泰銖？（當(dāng)時100泰銖兌換人民幣23.28元，結(jié)果保留整數(shù)）在沒有強調(diào)“份”之前，筆者對中等能力的學(xué)生小高進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)他說不清解題過程。小高認(rèn)為100泰銖為1份，2000元人民幣里有多少個100泰銖，顯然其思維是混亂的。學(xué)習(xí)單位化思想后，小高認(rèn)為這道題不能把100泰銖作為1份，如圖2所示，要把23.28元人民幣看成1份，都是人民幣才能與2000元人民幣具有倍數(shù)關(guān)系，即2000元里有幾個23.28元，就有幾個100泰銖。筆者調(diào)查了全班50人，有42人選擇以23.28元作為1份進(jìn)行思考，有8人選擇1元人民幣換多少泰銖，再算2000元人民幣換泰銖的總額。由此可見，單位化思想已經(jīng)植根在學(xué)生心中，使學(xué)生分析問題條理清晰，解決問題的能力得到了提高。五、單位化視角下的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)在解決問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)梳理單位化思想，發(fā)現(xiàn)不同問題之間的共同特征，形成結(jié)構(gòu)化思維，促進(jìn)知識的遷移。比如，如圖3所示，兩摞同樣的紙，第一摞100張，第二摞大約有多少張？教師要引導(dǎo)學(xué)生用“份”數(shù)思想解決這一類問題，把1.2厘米高的紙看作1份，7.2厘米的紙有這樣的幾份，就有幾個100張。紙的張數(shù)不僅可以數(shù)出來，還可以通過測量高度算出來。回顧教材，雖然場景不同，但到處都有單位化思想。比如，一捆鐵絲的長度不用靠長度單位測量出來，可以通過稱重量算出來；估算體育館有多少個座位時，可以把場館進(jìn)行區(qū)域劃分，每份差不多，數(shù)出其中1份，有這樣的幾份就能算出大概的座位數(shù)。如圖4，估計數(shù)量時，同樣用到單位化“份”的思想，這成為解決問題的一個重要策略。在分?jǐn)?shù)除法教學(xué)時，如圖5所示，教師要以單位化思想引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的意義、解