2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題20 概率、隨機(jī)變量與分布列（解析版）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題20概率、隨機(jī)變量與分布列（解析版）一、選擇題（每題1分，共5分）1.一個(gè)袋子里有5個(gè)紅球和3個(gè)藍(lán)球，隨機(jī)取出一個(gè)球，取出紅球的概率是多少？A.1/2B.2/3C.5/8D.3/52.拋擲兩個(gè)公平的六面骰子，兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是多少？A.1/6B.1/12C.5/36D.1/93.一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為：P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.5,P(X=2)=0.3，則X的期望值是多少？A.0.2B.1C.1.3D.1.64.如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，且E(X)=4，Var(X)=2.4，則n和p的值分別是多少？A.n=6,p=0.4B.n=8,p=0.3C.n=10,p=0.24D.n=12,p=0.25.在一個(gè)盒子中有10個(gè)球，編號(hào)為1到10。隨機(jī)抽取兩個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量Y為兩個(gè)球編號(hào)之和，Y的可能取值有多少種？A.9B.10C.11D.12二、判斷題（每題1分，共5分）6.拋擲一枚硬幣，得到正面和反面的概率是相等的。（正確/錯(cuò)誤）7.如果一個(gè)隨機(jī)變量的方差為0，那么這個(gè)隨機(jī)變量一定是常數(shù)。（正確/錯(cuò)誤）8.在二項(xiàng)分布中，如果試驗(yàn)次數(shù)n越大，那么分布越接近正態(tài)分布。（正確/錯(cuò)誤）9.隨機(jī)變量X的期望值E(X)一定是X的可能取值之一。（正確/錯(cuò)誤）10.在概率論中，互斥事件一定不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但獨(dú)立事件可以同時(shí)發(fā)生。（正確/錯(cuò)誤）三、填空題（每題1分，共5分）11.拋擲一枚公平的四面骰子，得到偶數(shù)的概率是_______。12.一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為：P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.4,P(X=3)=0.3，則X的方差Var(X)是_______。13.如果隨機(jī)變量X服從泊松分布Poisson(λ)，且E(X)=3，則λ的值是_______。14.在一個(gè)班級(jí)中，有30%的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，隨機(jī)選擇兩名學(xué)生，他們都不喜歡數(shù)學(xué)的概率是_______。15.如果隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，且E(X)=2,E(Y)=3,Var(X)=4,Var(Y)=9，則E(XY)的值是_______。四、簡答題（每題2分，共10分）16.簡述什么是隨機(jī)變量，并給出一個(gè)例子。17.解釋什么是離散型隨機(jī)變量的分布列。18.什么是二項(xiàng)分布，它有什么特點(diǎn)？19.簡述泊松分布的概念及其應(yīng)用場景。20.解釋什么是隨機(jī)變量的期望值和方差。五、應(yīng)用題（每題2分，共10分）21.一個(gè)籃子里有5個(gè)蘋果，其中3個(gè)是紅的，2個(gè)是綠的。隨機(jī)取出兩個(gè)蘋果，求取出的兩個(gè)蘋果顏色相同的概率。22.一個(gè)班級(jí)有50名學(xué)生，其中有20名女生。隨機(jī)選擇5名學(xué)生參加比賽，求至少有3名女生的概率。23.拋擲一枚不公平的硬幣，得到正面的概率是0.6。連續(xù)拋擲3次，求至少得到2次正面的概率。24.一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為：P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.4,P(X=3)=0.1。求X的期望值和方差。25.如果隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立，且X服從二項(xiàng)分布B(4,0.3)，Y服從二項(xiàng)分布B(5,0.4)，求P(X=2,Y=3)。六、分析題（每題5分，共10分）26.一個(gè)盒子里有10個(gè)球，其中3個(gè)是紅色的，5個(gè)是藍(lán)色的，2個(gè)是綠色的。隨機(jī)取出3個(gè)球，求取出的球顏色互不相同的概率。并分析這個(gè)概率與盒子里球的總數(shù)和顏色分布的關(guān)系。27.一個(gè)隨機(jī)變量X服從泊松分布Poisson(λ)。已知P(X=0)=0.2，求λ的值。并分析泊松分布在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)缺點(diǎn)。七、實(shí)踐操作題（每題5分，共10分）28.設(shè)計(jì)一個(gè)模擬投擲兩個(gè)公平六面骰子的實(shí)驗(yàn)，并計(jì)算兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率。要求描述實(shí)驗(yàn)步驟，并給出至少10次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。29.一個(gè)班級(jí)有30名學(xué)生，其中有10名男生和20名女生。隨機(jī)選擇5名學(xué)生參加比賽，設(shè)計(jì)一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)來計(jì)算至少有3名女生的概率。要求描述實(shí)驗(yàn)步驟，并給出至少八、專業(yè)設(shè)計(jì)題（每題2分，共10分）30.設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)變量X，使其服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，并給出其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)。31.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)來估計(jì)一個(gè)袋子里紅球和藍(lán)球的比例，假設(shè)袋子里有足夠多的球。描述實(shí)驗(yàn)步驟，并解釋如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果估計(jì)比例。32.設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)變量Y，使其服從二項(xiàng)分布B(n,p)，其中n和p為已知數(shù)。給出Y的分布列，并計(jì)算其期望值和方差。33.設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)變量Z，使其服從正態(tài)分布N(,)，其中和為已知數(shù)。給出Z的概率密度函數(shù)，并計(jì)算其期望值和方差。34.設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)來估計(jì)一個(gè)硬幣得到正面和反面的概率。描述實(shí)驗(yàn)步驟，并解釋如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果估計(jì)概率。九、概念解釋題（每題2分，共10分）35.解釋什么是隨機(jī)變量，以及隨機(jī)變量的期望值和方差的意義。36.解釋什么是概率分布，以及常見的概率分布類型。37.解釋什么是獨(dú)立事件，以及獨(dú)立事件概率的計(jì)算方法。38.解釋什么是條件概率，以及條件概率的計(jì)算方法。39.解釋什么是貝葉斯定理，以及貝葉斯定理的應(yīng)用場景。十、思考題（每題2分，共10分）40.思考如何利用概率論和隨機(jī)變量來解決實(shí)際問題，并給出一個(gè)具體的例子。41.思考如何利用模擬實(shí)驗(yàn)來估計(jì)概率，并給出一個(gè)具體的例子。42.思考如何利用概率論和隨機(jī)變量來優(yōu)化決策，并給出一個(gè)具體的例子。43.思考如何利用概率論和隨機(jī)變量來評估風(fēng)險(xiǎn)，并給出一個(gè)具體的例子。44.思考如何利用概率論和隨機(jī)變量來預(yù)測未來，并給出一個(gè)具體的例子。十一、社會(huì)擴(kuò)展題（每題3分，共15分）45.社會(huì)擴(kuò)展題：如何利用概率論和隨機(jī)變量來解決社會(huì)問題？請給出一個(gè)具體的例子，并解釋如何應(yīng)用。46.社會(huì)擴(kuò)展題：如何利用概率論和隨機(jī)變量來改善社會(huì)福利？請給出一個(gè)具體的例子，并解釋如何應(yīng)用。47.社會(huì)擴(kuò)展題：如何利用概率論和隨機(jī)變量來促進(jìn)公平正義？請給出一個(gè)具體的例子，并解釋如何應(yīng)用。48.社會(huì)擴(kuò)展題：如何利用概率論和隨機(jī)變量來提高公共安全？請給出一個(gè)具體的例子，并解釋如何應(yīng)用。49.社會(huì)擴(kuò)展題：如何利用概率論和隨機(jī)變量來保護(hù)環(huán)境？請給出一個(gè)具體的例子，并解釋如何應(yīng)用。一、選擇題答案1.C2.B3.B4.D5.A二、判斷題答案6.錯(cuò)誤7.正確8.錯(cuò)誤9.正確10.錯(cuò)誤三、填空題答案11.1/612.5/1613.0.314.215.Poisson四、簡答題答案16.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論，主要研究隨機(jī)事件的概率、隨機(jī)變量的分布以及隨機(jī)變量之間的關(guān)系。17.隨機(jī)變量是隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量表現(xiàn)，可以是離散的或連續(xù)的。18.概率分布是描述隨機(jī)變量取不同值的概率的函數(shù)。19.期望值是隨機(jī)變量的平均值，反映了隨機(jī)變量的中心趨勢。20.方差是衡量隨機(jī)變量取值離散程度的指標(biāo)，反映了隨機(jī)變量的波動(dòng)性。五、應(yīng)用題答案21.解：由題意知，X~B(10,0.4)，所以P(X=6)=C(10,6)0.4^6(10.4)^4=0.2508。22.解：由題意知，Y~Poisson(2)，所以P(Y=3)=e^(2)2^3/3!=0.1804。23.解：由題意知，X和Y相互獨(dú)立，所以P(X=2,Y=3)=P(X=2)P(Y=3)=0.30.1804=0.05412。24.解：由題意知，Z~N(0,1)，所以P(Z>1)=1P(Z<=1)=10.8413=0.1587。25.解：由題意知，X~U(0,5)，所以P(1<=X<=3)=(31)/(50)=0.4。六、分析題答案26.解：根據(jù)題意，盒子里有10個(gè)球，其中3個(gè)是紅色的。所以，取出一個(gè)紅球的概率是3/10。這個(gè)概率與盒子里球的總數(shù)和顏色分布的關(guān)系是直接相關(guān)的。如果盒子里球的總數(shù)增加，而紅球的數(shù)量保持不變，那么取出一個(gè)紅球的概率會(huì)降低；相反，如果紅球的數(shù)量增加，那么取出一個(gè)紅球的概率會(huì)增加。27.解：根據(jù)題意，P(X=0)=0.2，所以=0。泊松分布在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)缺點(diǎn)是：優(yōu)點(diǎn)是可以用來描述稀有事件發(fā)生的概率，缺點(diǎn)是當(dāng)事件發(fā)生的頻率較高時(shí)，泊松分布的準(zhǔn)確性會(huì)降低。七、實(shí)踐操作題答案28.解：實(shí)驗(yàn)步驟如下：1.模擬投擲兩個(gè)公平的六面骰子，記錄每次投擲的結(jié)果。2.計(jì)算兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的次數(shù)。3.計(jì)算兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：投擲次數(shù)：10次，兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的次數(shù)：3次，兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率：0.3。29.解：實(shí)驗(yàn)步驟如下：1.模擬從班級(jí)中隨機(jī)選擇5名學(xué)生參加比賽，記錄每次選擇的結(jié)果。2.計(jì)算至少有3名女生的次數(shù)。3.計(jì)算至少有3名女生的概率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：選擇次數(shù)：10次，至少有3名女生的次數(shù)：6次，至少有3名女生的概率：0.6。1.概率論基礎(chǔ)：隨機(jī)事件、樣本空間、概率、條件概率、獨(dú)立事件等。2.隨機(jī)變量及其分布：離散隨機(jī)變量、連續(xù)隨機(jī)變量、概率分布、分布