流體力學(xué)NS方程推導(dǎo)過程

流體力學(xué)NS方程簡易推導(dǎo)過程

小菜鳥

0引言

流體力學(xué)的NS方程對于整個流體力學(xué)以及空氣動力學(xué)等領(lǐng)域的作用非常顯著，不過其公式繁

瑣，推導(dǎo)思路不容易理順，最近重新整理了一下NS方程的推導(dǎo)，記錄一下整個推導(dǎo)過程，供自己

學(xué)習(xí)，也可以供大家交流和學(xué)習(xí)。

1基本假設(shè)

空氣是由大量分子組成，分子做著無規(guī)則熱運(yùn)動，我們可以想象，隨著觀察尺度的逐漸降低,

微觀情況下流體的速度密度和溫度等物理量不可能與宏觀情況相同，其物理量存在間斷的現(xiàn)象，例

如我們在空間中取出一塊控制體，當(dāng)控制體中存在分子時，該控制體的密度等量較大，不存在時就

會為0,這在微觀尺度下是常見。不過隨著觀察尺度增加，在宏觀情況下，控制體積內(nèi)包含大量分

子，控制體積的壓力密度溫度速度等物理量存在統(tǒng)計平均結(jié)果，這個結(jié)果是穩(wěn)定的，例如流場變量

的壓力密度和溫度滿足理想氣體狀態(tài)方程。

自然界中宏觀情況的流體運(yùn)動畢竟占據(jù)大多數(shù)，NS方程限定了自己的適用條件為宏觀運(yùn)動，

采用稍微專業(yè)一點難度術(shù)語是流體滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的意思就是說，我們在流場中

隨意取出流體微團(tuán)，這個流體微團(tuán)在宏觀上是無窮小的，因此整個流場的物理量可以進(jìn)行數(shù)學(xué)上的

極限微分積分等運(yùn)算；同時，這個流體微團(tuán)在微觀上是無窮大的，微團(tuán)中包含了大量分子，以至于

可以進(jìn)行分子層面的統(tǒng)計平均，獲得我們通常見到的流場變量。

連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立需要滿足：所研究流體問題的最小空間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于分子平溝運(yùn)動自由程

（標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的平均分子自由程在十分之一微米的量級，具體值可以參考分子運(yùn)動理論），這

在大多數(shù)宏觀情況下都是成立的，也是NS方程能夠廣泛采用的基礎(chǔ)，即使在湍流中，也是成立的,

因此才保證NS方程也適用于描述湍流。

有些情況下連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不成立，存在哪些情況？第一種是空間尺度特別小，例如熱線風(fēng)速儀

的金屬絲，直徑通常在廣5微米量級，最小流體微團(tuán)已經(jīng)接近分子平均運(yùn)動自由程，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)

不能直接使用，類似情況還包括激波，激波面受到壓縮，其尺度也較小，為幾個分子平均自由程量

級，不過采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)進(jìn)行激波內(nèi)流場計算時，計算結(jié)果仍然可以得到比較合理，并且與實際

情況相符，這也給激波問題的研究和解決帶來了基礎(chǔ)性的保證；第二種是分子平均運(yùn)動自由程特別

大，分子平均運(yùn)動自由程是指兩個分子之間碰撞距離的平均值，這個結(jié)果與分子有效直徑，分子運(yùn)

動速度等相關(guān)，宏觀上來講，溫度越高、壓力越大，分子平均運(yùn)動自由程越大，而在高空情況下,

壓力非常低，自由程可能很大，并且大到與飛行器尺度相近，于是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效，此時必須考

慮稀薄氣體效應(yīng)c在層流邊界層情況下，分子平均運(yùn)動自由程與邊界層之間存在近似關(guān)系：

從這個關(guān)系中，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)馬赫數(shù)非常大但是同時雷諾數(shù)非常小的時候，流場微小尺度才可能達(dá)

到分子平均運(yùn)動自由程Imd的程度。可以想象一下，在大多數(shù)我們能觀察到的情況下，上述公式

的結(jié)果都是非常小的，滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，這個公式不成立的情況在大氣層外邊緣，此時大氣分子

之間平均動量交換降低，導(dǎo)致粘性變得非常小，雷諾數(shù)很高，因此公式計算結(jié)果急劇降低，導(dǎo)致連

續(xù)介質(zhì)假設(shè)失效。

前面討論了連續(xù)介質(zhì)建設(shè)成立的條件以及不成立的例子，下面討論的都是連續(xù)介質(zhì)假設(shè)范圍內(nèi)

的結(jié)果。

2連續(xù)性方程：質(zhì)量守恒定律的流體表達(dá)

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，我們知道，在流場取的控制體滿足如下物理規(guī)律：控制體的總質(zhì)量不隨著

運(yùn)動而變化的，在運(yùn)動過程中控制體始終由相同流體微團(tuán)組成，因此利用流場物理量將物理規(guī)律用

數(shù)學(xué)公式表達(dá)可得：

根據(jù)引論1中的內(nèi)容，上式左邊隨體導(dǎo)數(shù)可以采用兩種形式的偏導(dǎo)數(shù)表示：

（1）微元體表達(dá)形式：

根據(jù)引論1中微元體的隨體導(dǎo)數(shù)關(guān)系可以得到：

+0▽?/=0或者▽?X」

DtpDt

（2）張量表達(dá)形式：

3動量方程：牛頓笫二定律的流體表達(dá)

根據(jù)牛頓第二定律，流場中取出控制體滿足如下規(guī)律：某一時刻，控制體中所有流體微團(tuán)的總

動量隨時間的變化率=控制體中圻有流體微團(tuán)受到的合力。控制體受力主要包括表面力和體積力，

表面力作用于物體表面，例如壓力等應(yīng)力，表面力可以分解為法向力和切向力，法向力通常為壓力，

切向力通常為粘性力（當(dāng)然這不是絕對，因為法向力還包括流場可壓縮性引起的法向應(yīng)力）；體積

力作用于流場中每一個流體微團(tuán)，例如重力，電磁力等。

因此，牛頓第二定律可以表達(dá)為：控制體總動量隨時間變化率;控制體表面力合力+控制體體積

力合力（為了推導(dǎo)方便，下面將體積力忽略，在重力等法句力影響較大時，將該項加入即可）。

利用流場變量可以將上述定律表達(dá)為數(shù)學(xué)公式：

其中根據(jù)引論1和引論2,可知方程左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，

（1）微元體表達(dá)形式：

根據(jù)引論2,上式左邊具有這兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式（一種根據(jù)定義，一種引入質(zhì)量守恒關(guān)系）:

（2）張量表達(dá)形式：

根據(jù)引論2,上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式（一種定義，一種引入質(zhì)量守恒）：

(3)補(bǔ)充說明1：粘性應(yīng)力表達(dá)式

上述公式中，我們將表面力表達(dá)為表面壓力+粘性力的形式，其中表面壓力為法句力，粘性力

由流體粘性引起，包括法向力和切向力，根據(jù)各項同性假設(shè)，粘性應(yīng)力張量可以表達(dá)為：

其中，\miu稱為動力粘性系數(shù)。

根據(jù)Stokes假設(shè)，在通常情況下，體積粘性系數(shù)4=4+(〃=0,于是上述粘性應(yīng)力表達(dá)為：

(4)補(bǔ)充說明2：粘性應(yīng)力的空間導(dǎo)數(shù)

在動量方程中，粘性應(yīng)力的空間導(dǎo)數(shù)可以表達(dá)為：

如果流場為不可壓縮s=0并且粘性系數(shù)不隨空間改變，即溫度不變，可以簡化為：

(5)補(bǔ)充說明3：動力粘性系數(shù)表達(dá)式：

該公式中動力粘性系數(shù)是流體的基本變量，該系數(shù)表征流體分子之間動量交換的快慢程度，與

流場的溫度相關(guān)，與壓力等其他變量關(guān)系較小，在溫度為100到1900K范圍，可以采用Sutherland

公式進(jìn)行表達(dá)：

其中，Tref=110.3,TO和\miu0則可以采用任何溫度的結(jié)果，例如在常溫288K情況下，動力粘

性系數(shù)為1.7894X105。

4能量方程：能量守恒定律的流體表達(dá)

根據(jù)能量守恒定律，流場中取出控制體滿足如下物理規(guī)律：

控制體的總能量增加=控制體受到外力做功+外界向控制體熱傳導(dǎo)

采用流場變量可以將該物理定律表達(dá)為數(shù)學(xué)形式(e=CvT表示流場內(nèi)能，內(nèi)能可以采用定容比熱

乘以溫度得到)：

其中，根據(jù)引論1和2可知，方程左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式：

(3)微元體表達(dá)形式:

根據(jù)引論1和2可知上式具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式:

表達(dá)形式

A:總能公式E=e+v2/2

根據(jù)引論1和引論2,上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式:

B:內(nèi)能公式6=￡“2/2

DE將總能關(guān)系

DT

式代入上述公式可得:

Ded(叫)+((?/)+《女吳du：d

p——=------一語+'也—“因此可得

14v

DtdXj'\Mox.,，陽dx.〃

JJ\iJ(的陽（的J

內(nèi)能關(guān)系式為:

根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。

C：*含公式h=e+p/rou

將內(nèi)能關(guān)系式代入上式可得:

根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。

D：總給公式hO=h+v2/2=E+p/rou

注意上式中采用了引論2中的內(nèi)容，將焙關(guān)系式代入上式可得:

于是可得總焙關(guān)系式為:

根據(jù)引論1和引論2上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。

E：炳公式Tds=dh-dp/rou

根據(jù)炳公式，可得病的隨體導(dǎo)數(shù)為:

根據(jù)引論1和引論2,上式左邊具有兩種偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)形式，略。

根據(jù)場公式，可以知道，病的增加主要來自兩個部分，一是粘性力引起，二是熱傳導(dǎo)引起，如

果流場中粘性應(yīng)力和熱傳導(dǎo)都可以忽略，則流場滿足等炳關(guān)系。

（3）補(bǔ)充說明：粘性力耗散

幾個公式中都存在粘性力的做功項，稱之為耗散項fai,該項具體表達(dá)式可以表示為:

也=巴外+%二也

①

=%3

dxJ.2\dxJ.dxidxk

;巴=巴區(qū)+冬duL：

—￡-+—JL［為物j3［的―+--

2dXjGX.

2\dxJ.tdx}dx{

=加"4國+4卷+4A；3+2(4+Aj+2(43+Aj+2(4+4)2卜4〃(4+4+4『}

二夕3[2A：+2芯+2A；3+(A2+&I)'+(/+A.32)2+(+'尸卜2(AI+A?2+%)~}

=§3[(4+AJ2+(4+/)2+(A,+AJ2]+6A：+6A；,+6D_2(O+A,,+A”)2}

=々3[(42+41)2+(&+A32)2+(Al+/)2]+2[(A]-&2尸+(&2-演)2+(&-AI尸]}

=M[(A2+A21)2+(&+人2)2+(&+A3)2]+￥[(A1-A22)2+(%-43)2+(演-AI)2]

5附件：隨體導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)（控制體/微元體？包含密度？）

引論1：控制體和微元體的隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)式

利用隨體導(dǎo)數(shù)物理定義和教學(xué)上導(dǎo)數(shù)定義（求極限方法）容易得到第一個公式，利用控制體積

分量的隨體導(dǎo)數(shù)物理定義，也容易得到第二個公式，在流體力學(xué)教材中也很容易找到這兩種隨體導(dǎo)

數(shù)的定義c

為什么這么做，寫出這樣一個公式？因為隨體導(dǎo)數(shù)是拉格朗日觀點，隨體導(dǎo)數(shù)非常符合物理思

維，利用隨體導(dǎo)數(shù)很容易表達(dá)物理規(guī)律，例如牛頓第二定律F=ma,因此推導(dǎo)公式過程中經(jīng)常采用

隨體導(dǎo)數(shù)。不過流場中物理量通常采用隨時間和空間變化的四維函數(shù)，直接利用該函數(shù)無法得到隨

體導(dǎo)數(shù)，只能得到一些偏導(dǎo)數(shù)，需要根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的物理定義將隨體導(dǎo)數(shù)表達(dá)成合成偏導(dǎo)數(shù)形式。

引論2：包含密度的控制體和微元體隨體導(dǎo)數(shù)

在后續(xù)方程推導(dǎo)中經(jīng)常出現(xiàn)包含密度的隨體導(dǎo)數(shù)情況，將包含密度的隨體導(dǎo)數(shù)利用連續(xù)性方程

進(jìn)行化簡，可以極大簡化推導(dǎo)難度。包含密度的