IB數(shù)學HLAI2025年模擬試卷：數(shù)據(jù)分析與建模實戰(zhàn)演練

IB數(shù)學HLAI2025年模擬試卷：數(shù)據(jù)分析與建模實戰(zhàn)演練一、數(shù)據(jù)分析與描述統(tǒng)計要求：運用描述統(tǒng)計方法對給定數(shù)據(jù)進行分析，并解釋分析結(jié)果。1.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：5,7,8,9,10,11,12,13,14,15（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。（2）計算這組數(shù)據(jù)的方差和標準差。（3）判斷這組數(shù)據(jù)是否呈正態(tài)分布，并說明理由。2.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。（2）計算這組數(shù)據(jù)的方差和標準差。（3）判斷這組數(shù)據(jù)是否呈正態(tài)分布，并說明理由。二、概率與統(tǒng)計推斷要求：運用概率知識進行統(tǒng)計推斷，并解釋推斷結(jié)果。1.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10（1）假設(shè)這組數(shù)據(jù)是從一個正態(tài)分布中抽取的，求出樣本均值和樣本標準差的置信區(qū)間（置信水平為95%）。（2）假設(shè)這組數(shù)據(jù)是從一個均勻分布中抽取的，求出樣本均值和樣本標準差的置信區(qū)間（置信水平為95%）。2.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：5,7,8,9,10,11,12,13,14,15（1）假設(shè)這組數(shù)據(jù)是從一個正態(tài)分布中抽取的，求出樣本均值和樣本標準差的置信區(qū)間（置信水平為95%）。（2）假設(shè)這組數(shù)據(jù)是從一個均勻分布中抽取的，求出樣本均值和樣本標準差的置信區(qū)間（置信水平為95%）。三、線性回歸與相關(guān)分析要求：運用線性回歸和相關(guān)性分析方法對給定數(shù)據(jù)進行分析，并解釋分析結(jié)果。1.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：x（年份），y（GDP）x：2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008,2009y：1000,1100,1200,1300,1400,1500,1600,1700,1800,1900（1）建立x和y之間的線性回歸模型，并計算回歸系數(shù)。（2）計算模型的決定系數(shù)R2，并解釋其含義。（3）根據(jù)模型預測2010年的GDP。2.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：x（溫度），y（銷量）x：20,25,30,35,40,45,50y：100,150,200,250,300,350,400（1）建立x和y之間的線性回歸模型，并計算回歸系數(shù)。（2）計算模型的決定系數(shù)R2，并解釋其含義。（3）根據(jù)模型預測當溫度為55℃時的銷量。四、假設(shè)檢驗要求：運用假設(shè)檢驗方法對給定數(shù)據(jù)進行分析，并解釋檢驗結(jié)果。1.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：樣本均值=10，樣本標準差=2，樣本量=30，總體均值=9，總體標準差=1.5（1）進行單樣本t檢驗，檢驗假設(shè)H0：μ=9，H1：μ≠9。（2）計算t統(tǒng)計量、p值，并解釋檢驗結(jié)果。2.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：樣本均值=100，樣本標準差=15，樣本量=50，總體均值=95，總體標準差=12（1）進行雙樣本t檢驗，檢驗假設(shè)H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2，其中樣本1的均值=100，樣本2的均值=90。（2）計算t統(tǒng)計量、p值，并解釋檢驗結(jié)果。五、方差分析要求：運用方差分析方法對給定數(shù)據(jù)進行分析，并解釋分析結(jié)果。1.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：三個樣本，每個樣本的均值和樣本量如下：樣本1：均值=10，樣本量=10樣本2：均值=12，樣本量=10樣本3：均值=14，樣本量=10（1）進行方差分析，檢驗三個樣本均值是否存在顯著差異。（2）計算F統(tǒng)計量、p值，并解釋檢驗結(jié)果。2.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：四個樣本，每個樣本的均值和樣本量如下：樣本1：均值=20，樣本量=8樣本2：均值=22，樣本量=8樣本3：均值=24，樣本量=8樣本4：均值=26，樣本量=8（1）進行方差分析，檢驗四個樣本均值是否存在顯著差異。（2）計算F統(tǒng)計量、p值，并解釋檢驗結(jié)果。六、時間序列分析要求：運用時間序列分析方法對給定數(shù)據(jù)進行分析，并解釋分析結(jié)果。1.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：某城市過去10年的月平均降雨量如下：1月：50，2月：60，3月：70，4月：80，5月：90，6月：100，7月：110，8月：90，9月：80，10月：70，11月：60，12月：50（1）繪制月平均降雨量的時間序列圖。（2）計算月平均降雨量的趨勢和季節(jié)性成分。2.閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答下列問題：數(shù)據(jù)：某公司過去5年的季度銷售額如下：第一季度：100萬，第二季度：120萬，第三季度：110萬，第四季度：130萬（1）繪制季度銷售額的時間序列圖。（2）計算季度銷售額的趨勢和季節(jié)性成分。本次試卷答案如下：一、數(shù)據(jù)分析與描述統(tǒng)計1.（1）平均數(shù)=(5+7+8+9+10+11+12+13+14+15)/10=10.5中位數(shù)=(10+11)/2=10.5眾數(shù)=10（出現(xiàn)頻率最高）（2）方差=[(5-10.5)2+(7-10.5)2+(8-10.5)2+(9-10.5)2+(10-10.5)2+(11-10.5)2+(12-10.5)2+(13-10.5)2+(14-10.5)2+(15-10.5)2]/10=3.25標準差=√3.25≈1.802（3）根據(jù)數(shù)據(jù)分布，可以判斷這組數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，因為數(shù)據(jù)分布左右對稱，且分布范圍在平均數(shù)附近。2.（1）平均數(shù)=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20)/20=10.5中位數(shù)=(10.5+11)/2=10.75眾數(shù)=無（每個數(shù)出現(xiàn)頻率相同）（2）方差=[(1-10.5)2+(2-10.5)2+...+(20-10.5)2]/20=28.25標準差=√28.25≈5.328（3）根據(jù)數(shù)據(jù)分布，可以判斷這組數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，因為數(shù)據(jù)分布左右對稱，且分布范圍在平均數(shù)附近。二、概率與統(tǒng)計推斷1.（1）正態(tài)分布中，樣本均值和樣本標準差的置信區(qū)間計算公式為：置信區(qū)間=樣本均值±(t值*樣本標準差/√樣本量)其中t值為對應(yīng)自由度和置信水平的t分布值。（2）均勻分布中，樣本均值和樣本標準差的置信區(qū)間計算公式為：置信區(qū)間=樣本均值±(t值*樣本標準差/√樣本量)其中t值為對應(yīng)自由度和置信水平的t分布值。2.（1）正態(tài)分布中，樣本均值和樣本標準差的置信區(qū)間計算公式為：置信區(qū)間=樣本均值±(t值*樣本標準差/√樣本量)其中t值為對應(yīng)自由度和置信水平的t分布值。（2）均勻分布中，樣本均值和樣本標準差的置信區(qū)間計算公式為：置信區(qū)間=樣本均值±(t值*樣本標準差/√樣本量)其中t值為對應(yīng)自由度和置信水平的t分布值。三、線性回歸與相關(guān)分析1.（1）線性回歸模型為y=ax+b，其中a為斜率，b為截距。根據(jù)數(shù)據(jù)計算斜率a和截距b：a=(NΣ(xy)-ΣxΣy)/(NΣ(x2)-(Σx)2)b=(Σy-aΣx)/N（2）決定系數(shù)R2表示模型對數(shù)據(jù)的擬合程度，計算公式為：R2=(Σ(yi-y?)2)/(Σ(yi-?)2)其中yi為實際觀測值，y?為樣本均值，?為模型預測值。（3）根據(jù)模型預測2010年的GDP，將2010代入模型計算。2.（1）線性回歸模型為y=ax+b，其中a為斜率，b為截距。根據(jù)數(shù)據(jù)計算斜率a和截距b：a=(NΣ(xy)-ΣxΣy)/(NΣ(x2)-(Σx)2)b=(Σy-aΣx)/N（2）決定系數(shù)R2表示模型對數(shù)據(jù)的擬合程度，計算公式為：R2=(Σ(yi-y?)2)/(Σ(yi-?)2)其中yi為實際觀測值，y?為樣本均值，?為模型預測值。（3）根據(jù)模型預測當溫度為55℃時的銷量，將55代入模型計算。四、假設(shè)檢驗1.（1）單樣本t檢驗的計算公式為：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/√樣本量)（2）計算t統(tǒng)計量后，查找對應(yīng)自由度和置信水平的t分布表，得到p值。如果p值小于顯著性水平（通常為0.05），則拒絕原假設(shè)H0。2.（1）雙樣本t檢驗的計算公式為：t=(樣本1均值-樣本2均值)/√[(樣本1方差/樣本1樣本量)+(樣本2方差/樣本2樣本量)]（2）計算t統(tǒng)計量后，查找對應(yīng)自由度和置信水平的t分布表，得到p值。如果p值小于顯著性水平（通常為0.05），則拒絕原假設(shè)H0。五、方差分析1.（1）方差分析的計算公式為：F=(組間均方/組內(nèi)均方)組間均方=(樣本1均值2+樣本2均值2+樣本3均值2)/3-((樣本1均值+樣本2均值+樣本3均值)/3)2組內(nèi)均方=(樣本1方差+樣本2方差+樣本3方差)/3（2）計算F統(tǒng)計量后，查找對應(yīng)自由度和顯著性水平的F分布表，得到p值。如果p值小于顯著性水平（通常為0.05），則拒絕原假設(shè)H0。2.（1）方差分析的計算公式為：F=(組間均方/組內(nèi)均方)組間均方=(樣本1均值2+樣本2均值2+樣本3均值2+樣本4均值2)/4-((樣本1均值+樣本2均值+樣本3均值+樣本4均值)/4)2組內(nèi)均方=(樣本1方差+樣本2方差+樣本3方差+樣本4方差)/4（2）計算F統(tǒng)計量