立體幾何建系困難問題習(xí)題及答案

1.已知三棱錐P-ABC(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中，四邊形ABCD為邊長等于√2的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：(1)證明：平面PAC⊥平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求二面角P-BC-M的余弦值.圖一圖二點(diǎn)P在面BCDE的射影O落在BE上.(1)求證：面PCE⊥面PBE;(2)求平面PCD與平面PBE所成銳二面角的余弦值.3.如圖1,在矩形ABCD中，AB=3√5,BC=2√5,點(diǎn)E在線段DC上，且DE=√5,現(xiàn)將△AED沿AE折到△AED'的位置，連結(jié)CD',BD',如圖2.圖2(1)若點(diǎn)P在線段BC上，且,證明：AE⊥DP;(2)記平面AD'′E與平面BCD'的交線為1.若二面角B-AE-D'為,求1與平面D'CE所成角的正弦值.PA=PD,PA與平面PBC所成角的正弦值為(1)求側(cè)棱PA的長；(2)設(shè)E為AB中點(diǎn)，若PA≥AB,求二面角B-PC-E的余弦值.1.【答案】(1)見解析；(2)【解析】(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為0,連接BO,PO.∵POC平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.∴當(dāng)OM最短時(shí)，即M是PA的中點(diǎn)時(shí)，∠BMO最大.則O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,1),設(shè)平面MBC的法向量為m=(x?,y1,z),則由得：令x?=1,得y?=1,z=3,即m=(1,1,3).設(shè)平面PBC的法向量為n=(x?,y?,z?),.由圖可知，二面角P-BC-M的余弦值為2.【答案】(1)詳見解析；(2)【解析】(1)在四棱錐P-BCDE中，BE=CE=√2,BC=2,從而有CE⊥BE,由線面垂直定理可證CE⊥面PBE,又CEc面PCE,由面面垂直判斷定定理即證面PCE⊥面PBE.(2)由條件知OP⊥面BCDE,過點(diǎn)E做OP的平行線EZ,又由(1)知EC⊥面PBE,以EB、EC、EZ分別為x、y、z軸建立如圖所示：設(shè)面PCD的法向量為n?=(x,y,z),則有從而可得面PCD的一個(gè)法向量為n?=(1,-1,-3),設(shè)平面PCD與平面PBE所成銳二面角為θ,與(n,n?〉互補(bǔ)，則故平面PCD與平面PBE所成二面角的余弦值為3.【答案】(1)詳見解析；(2)【解析】證明：(1)先在圖1中連結(jié)DP,在Rt△ADE中，由AD=BC=2√5,DE=√5,解：(2)延長AE,BC交于點(diǎn)Q,連接D'Q,根據(jù)公理3得到直線D'Q即為1,再根據(jù)二面角定義得到.在平面POD'內(nèi)過點(diǎn)O作底面垂線，以O(shè)為原點(diǎn)，分別為OA,OP,及所作垂線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,-1,√3),E(-1,0,0),Q(-11,0,0),C(-3,4,0),D'Q=(-11,1,-√3),EC=(-2,4,0),ED=(1設(shè)平面D'EC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由,取y=1,∴1與平面D'CE所成角的正弦值【解析】(1)取AD中點(diǎn)0,BC中點(diǎn)M,連結(jié)OP,OM,∵PA=PD,∴OP⊥AD,又∵ABCD是正方形，∴OA⊥OM,以O(shè)為原點(diǎn)OA,OM,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖),則設(shè)P(0,0,c)(c>0),則,CB=(10,0),設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x?,y?,z),則有取z?=1,則y?=c,從而n?=(0,c,1),設(shè)PA與平面PBC所成角為α,∵