2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1部分第3章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量基本定理講義含解析蘇教版選修2-1

PAGEPAGE103.1.3空間向量基本定理eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P53])空間向量基本定理某次反恐演習(xí)中，一特殊行動(dòng)小組獲悉：“恐怖分子”將“人質(zhì)”隱藏在市華聯(lián)超市往南1000m，再往東600m處的某大廈5樓(每層樓高3.5m)，行動(dòng)小組快速趕到目的地，完成解救“人質(zhì)”的任務(wù)．“人質(zhì)”的隱藏地由華聯(lián)超市“南1000m”、“東600m”、“5樓”這三個(gè)量確定，設(shè)e1是向南的單位向量，e2是向東的單位向量，e3是向上的單位向量．問題：請(qǐng)把“人質(zhì)”的位置用向量p表示出來．提示：p＝1000e1＋600e2＋14e3.1．空間向量基本定理假如三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間隨意一點(diǎn)P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.基底空間任何一個(gè)向量，都可以用空間隨意三個(gè)向量惟一表示嗎？提示：不肯定，由空間向量基本定理知，只有三個(gè)向量e1，e2，e3不共面時(shí)，空間任何一向量才可以用e1，e2，e3惟一表示，否則不行能表示．1．基底和基向量假如三個(gè)向量e1、e2、e3不共面，那么空間的每一個(gè)向量都可由向量e1、e2、e3線性表示，我們把{e1，e2，e3}稱為空間的一個(gè)基底，e1，e2，e3叫做基向量．2．正交基底和單位正交基底假如空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底．特殊地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用{i，j，k}表示．1．空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面對(duì)量組{a，b，c}可以線性表示出空間的隨意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是惟一的．2．空間中的基底是不惟一的，空間中隨意三個(gè)不共面對(duì)量均可作為空間向量的基底．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P54])基底的概念[例1]若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．試推斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為該空間的一個(gè)基底．[思路點(diǎn)撥]推斷a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，則可作為一個(gè)基底，否則，不能作為一個(gè)基底．[精解詳析]假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在實(shí)數(shù)λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}為基底，∴a，b，c不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程組無解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作為空間的一個(gè)基底．[一點(diǎn)通]空間中任何三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以空間中的基底有無窮多個(gè)．但是空間中的基底一旦選定，某一向量對(duì)這一基底的線性表示只有一種，即在基底{a，b，c}下，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.證明三個(gè)向量能否構(gòu)成空間的一個(gè)基底，就是證明三個(gè)向量是否不共面，證明三個(gè)向量不共面常用反證法并結(jié)合共面對(duì)量定理來證明．1．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間的基底的向量組有________個(gè)．解析：如圖所設(shè)a＝，b＝，c＝，則x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四點(diǎn)不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作為空間的基底．因?yàn)閤＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作為基底．答案：32．已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，試推斷{，，}能否作為空間的一個(gè)基底？若能，試以此基底表示向量＝2e1－e2＋3e3；若不能，請(qǐng)說明理由．解：假設(shè)、、共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x、y使＝x＋y成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∵{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，∴e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)x、y使＝x＋y，∴，，不共面．故{，，}能作為空間的一個(gè)基底，設(shè)＝p＋q＋z，則有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3.∵{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p－3q＋z＝2，,2p＋q＋z＝－1，,－p＋2q－z＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝17，,q＝－5，,z＝－30.))∴＝17－5－30.用基底表示向量[例2]如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用向量a、b、c表示向量.[思路點(diǎn)撥]＝－→用表示→用、表示，用、表示→用表示→用、表示→用、表示[精解詳析]＝－，∵＝eq\f(2,3)，∴＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,3)(b＋c)，＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)(b＋c)，∴＝eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)(b＋c)＝－eq\f(1,3)a，即＝－eq\f(1,3)a.[一點(diǎn)通]用基底表示向量的方法及留意的問題：(1)結(jié)合已知條件與所求結(jié)論，視察圖形，就近表示所需向量．(2)比照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量作為新的所需向量，如此接著下去，直到全部向量都符合目標(biāo)要求為止．(3)在進(jìn)行向量的拆分過程中要正確運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則．3.如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x、y、z的值．(1)＝x＋y＋z；(2)＝x＋y＋z.解：(1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)∵＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(＋)＝＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋又＝x＋y＋z∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.4．如圖，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)＝a，＝b，＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示：，，，.解：連接BO，則＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝＋＝－a＋eq\f(1,2)＝－a＋eq\f(1,2)(＋)＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝＋＝＋＋eq\f(1,2)(＋)＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a.空間向量基本定理的應(yīng)用[例3]證明：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)相互平分．[思路點(diǎn)撥]利用空間向量基本定理，只要證明四條對(duì)角線的中點(diǎn)與A點(diǎn)所構(gòu)成的向量的線性表示是同一種形式即可．[精解詳析]如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1，設(shè)點(diǎn)O是AC1的中點(diǎn)，則＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋＋)＝eq\f(1,2)(＋＋)，設(shè)P，M，N分別是BD1，CA1，DB1的中點(diǎn)，則＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(＋＋)＝＋eq\f(1,2)(－＋＋)＝eq\f(1,2)(＋＋1)，同理可證：＝eq\f(1,2)(＋＋)，＝eq\f(1,2)(＋＋)．由此可知，O，P，M，N四點(diǎn)重合．故平行六面體的對(duì)角線相交于一點(diǎn)，且在交點(diǎn)處相互平分．[一點(diǎn)通]用空間向量基本定理證明立體幾何問題的步驟：(1)作出空間幾何體的圖形；(2)將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，選取一組不共面的向量作基底；(3)用基向量將其它向量表示出來；(4)利用向量的性質(zhì)得到向量的關(guān)系，進(jìn)而得到幾何結(jié)論．5．求證：在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝2.證明：因?yàn)槠叫辛骟w的六個(gè)面均為平行四邊形，所以＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)，又＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝，∴＋＋＝2.6．如圖，M、N分別是四面體O-ABC的邊OA、BC的中點(diǎn)，P、Q是MN的三等分點(diǎn)，用向量、、表示和.解：＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3).＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6).1．空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面的已知向量組{a，b，c}可以線性表示出空間隨意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是惟一的．2．空間隨意三個(gè)不共面的向量a、b、c皆可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，因此，基底有多數(shù)個(gè)，所以基底往往選擇具有特殊關(guān)系的三個(gè)不共面對(duì)量作為基底．3．由于0可視為與隨意一個(gè)非零向量共線，與隨意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)基向量中，就隱含著它們都不是0.[對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(二十)]1．空間中的四個(gè)向量a，b，c，d最多能構(gòu)成基底的個(gè)數(shù)是________．解析：當(dāng)四個(gè)向量任何三個(gè)向量都不共面時(shí)，每三個(gè)就可構(gòu)成一個(gè)基底，共有4組．答案：42.如圖所示，設(shè)O為?ABCD所在平面外隨意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若＝eq\f(1,2)＋x＋y，則x＝________，y＝________.解析：∵＝－＝eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)(＋)－＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(－)－＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(3,2)，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).答案：eq\f(1,2)－eq\f(3,2)3．已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為AC、OB，M、N分別是OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，取{，，}為基底，則＝________.解析：如圖，＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)(＋＋)．答案：eq\f(1,4)(＋＋)4．平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y－3z，則x＋y＋z＝________.解析：∵＝＋＋＝x＋2y－3z，∴x＝1,2y＝1，－3z＝1，即x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝－eq\f(1,3).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).答案：eq\f(7,6)5．設(shè)a、b、c是三個(gè)不共面對(duì)量，現(xiàn)從①a＋b，②a－b，③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c中選出一個(gè)使其與a、b構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，則可以選擇的向量為______(填寫序號(hào))．解析：依據(jù)基底的定義，∵a，b，c不共面，∴a＋c，b＋c，a＋b－c都能與a，b構(gòu)成基底．答案：③④⑤6．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，求α、β、γ的值．解：由題意a、b、c為三個(gè)不共面的向量，所以由空間向量定理可知必定存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì){α，β，γ}，使d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))7.如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AC和A1D的一個(gè)三等分點(diǎn)，且eq\f(AM,MC)＝eq\f(1,2)，eq\f(A1N,ND)＝2，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示.解：如圖所示，連接AN，則＝＋由ABCD是平行四邊形，可知＝＋＝a＋b，＝－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)(a＋b)．＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(b－c)，＝＋＝－＝b－eq\f(1,3)(b－c)＝eq\f