甘肅省酒泉市2024-2025學(xué)年高三(上)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

甘肅省酒泉市2024-2025學(xué)年高三(上)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含解析)一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(x)$的對(duì)稱中心為()A.$(1,0)$B.$(0,2)$C.$(1,2)$D.$(0,0)$2.在三角形ABC中，$\angleA=\frac{\pi}{3}$，$\angleB=\frac{\pi}{4}$，$\angleC=\frac{\pi}{12}$，若$AB=4$，則$AC$的長(zhǎng)度為()A.$2\sqrt{3}$B.$4\sqrt{3}$C.$2\sqrt{2}$D.$4\sqrt{2}$3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為()A.$n^2$B.$n^2-1$C.$n^2+n$D.$n^2+n-1$4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項(xiàng)為$a_1$，若$a_1+a_5+a_9=24$，則$a_1$的值為()A.2B.3C.4D.55.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，則$f(x)$的圖像的對(duì)稱軸為()A.$x=2$B.$x=1$C.$x=3$D.$x=0$二、填空題1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-2}$的定義域?yàn)開(kāi)_______。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1=3$，$a_5=11$，則$d$的值為_(kāi)_______。3.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，則$f(x)$的值域?yàn)開(kāi)_______。4.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1=2$，$a_3=8$，則$q$的值為_(kāi)_______。5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(x)$的零點(diǎn)為_(kāi)_______。三、解答題1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1=3$，$a_5=11$，求$a_9$的值。3.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$，求$f(x)$的圖像的對(duì)稱軸。四、解答題4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$，求$f(x)$的極值點(diǎn)及極值。五、解答題5.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}$。六、解答題6.已知三角形ABC中，$\angleA=\frac{\pi}{3}$，$\angleB=\frac{\pi}{4}$，$\angleC=\frac{\pi}{12}$，若$AB=4$，求三角形ABC的面積。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，由于$f'(x)$在$x=1$處由正變負(fù)，所以$x=1$是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是對(duì)稱中心。2.A解析：由正弦定理，$\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}$，代入已知值得$AC=\frac{AB\sinB}{\sinC}=\frac{4\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{12})}=2\sqrt{3}$。3.A解析：數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2(2n-1)+(n-1))}{2}=n^2$。4.B解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1+4d$，代入已知值得$11=3+4d$，解得$d=2$。5.A解析：函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=2x-4$，令$f'(x)=0$得$x=2$，由于$f'(x)$在$x=2$處由負(fù)變正，所以$x=2$是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是對(duì)稱軸。二、填空題1.$\{x|x\neq2\}$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-2}$的分母不能為零，所以$x-2\neq0$，即$x\neq2$。2.2解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1+4d$，代入已知值得$11=3+4d$，解得$d=2$。3.$[0,+\infty)$解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域?yàn)?x^2-4\geq0$，即$x\leq-2$或$x\geq2$，所以值域?yàn)?[0,+\infty)$。4.2解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=a_1q^2$，代入已知值得$8=2q^2$，解得$q=2$。5.$1$，$-1$，$1$解析：令$f(x)=0$得$x^3-3x^2+4x-1=0$，通過(guò)因式分解或使用求根公式可得$x=1$，$x=-1$，$x=1$。三、解答題1.$f'(x)=3x^2-6x+2$解析：對(duì)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$求導(dǎo)，得$f'(x)=3x^2-6x+2$。2.$a_9=19$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_9=a_1+8d$，代入已知值得$a_9=3+8\times2=19$。3.$x=2$解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的對(duì)稱軸是$x$軸，因?yàn)?f(x)$是偶函數(shù)。四、解答題4.極值點(diǎn)為$x=2$，極大值為$f(2)=1$，極小值為$f(0)=-1$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{2x(x+2)-(x^2-4)}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x+4}{(x+2)^2}=\frac{(x+2)^2}{(x+2)^2}=1$，令$f'(x)=0$得$x=-2$，由于$f'(x)$在$x=-2$處由正變負(fù)，所以$x=-2$是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為$f(-2)=\frac{(-2)^2-4}{-2+2}$不存在。極值點(diǎn)$x=2$處，$f(2)=\frac{2^2-4}{2+2}=1$。五、解答題5.$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}=0$解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_{n+1}=2a_n+1$，所以$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{2a_n+1}{2^{n+1}}=\frac{a_n}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}$，令$u_n=\frac{a_n}{2^n}$，則$u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2^{n+1}}$，當(dāng)$n\to\infty$時(shí)，$u_{n+1}\tou_n$，所以$\lim_{n\to\infty}u_{n+1}=\lim_{n\to\infty}u_n$，即$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2^n}=0$。六、解答題6.面積$S=\frac{1}{2}\times4\times4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$解析：由正弦定理，$\frac{AB}{\sinC}=\frac{AC}{\sinB}$，代入已知值得$AC=\frac{AB\sinB}{\sinC}=\frac{4\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{12})}=2\sqrt{3}$，同理可得$BC=2\sqrt{2}$，由海倫公式$S=\sqrt{p(p