備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第十三章 §13.3 絕對值不等式

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪復習（人教A版-理）第十三章§13.3絕對值不等式一、選擇題1.若實數(shù)\(a\)，\(b\)滿足\(|a|=3\)，\(|b|=4\)，則\(|a+b|\)的取值范圍是：（1）\([-7,7]\)（2）\([-5,5]\)（3）\([-1,1]\)（4）\([1,7]\)2.若\(|x-1|<2\)，則\(x\)的取值范圍是：（1）\((1,3)\)（2）\([-1,3]\)（3）\((1,-1)\)（4）\([-3,1]\)二、填空題3.若\(|x-3|=5\)，則\(x\)的值為__________。4.若\(|2x-4|=8\)，則\(x\)的取值范圍是__________。5.若\(|x+2|+|x-1|=3\)，則\(x\)的取值范圍是__________。三、解答題6.（1）解不等式\(|2x-3|<5\)。（2）若\(|x-2|+|x+1|=5\)，求\(x\)的取值范圍。7.（1）若\(|2x-1|=|x+3|\)，求\(x\)的值。（2）若\(|x-3|+|x+5|=8\)，求\(x\)的取值范圍。8.（1）若\(|x-2|-|x+1|=3\)，求\(x\)的取值范圍。（2）若\(|2x-5|+|x+1|=6\)，求\(x\)的取值范圍。四、應用題要求：根據(jù)下列條件，求解對應的絕對值不等式，并解釋你的解法。9.若\(|2x-5|\leq3\)表示\(x\)在數(shù)軸上的點的集合，求這個集合對應的區(qū)間。10.若\(|x-3|\geq2\)表示\(x\)在數(shù)軸上的點的集合，求這個集合對應的區(qū)間。五、證明題要求：證明下列絕對值不等式成立，并給出證明過程。11.證明：對于任意實數(shù)\(a\)和\(b\)，有\(zhòng)(|a+b|\leq|a|+|b|\)。12.證明：對于任意實數(shù)\(a\)和\(b\)，若\(a\geq0\)且\(b\geq0\)，則\(|a-b|=|a|-|b|\)。六、綜合題要求：結(jié)合所學知識，解決下列問題。13.（1）已知\(|x-1|=|x+2|\)，求\(x\)的值。（2）若\(|x-1|+|x+2|=10\)，求\(x\)的取值范圍。（3）根據(jù)第（1）問和第（2）問的結(jié)果，分析\(x\)在數(shù)軸上的位置。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（4）\([1,7]\)解析思路：由絕對值的定義，\(|a|=3\)意味著\(a\)可以是\(3\)或\(-3\)，同理\(|b|=4\)意味著\(b\)可以是\(4\)或\(-4\)。因此，\(a+b\)的可能值有\(zhòng)(3+4=7\)，\(3-4=-1\)，\(-3+4=1\)，\(-3-4=-7\)。絕對值\(|a+b|\)的最小值是\(|-7|=7\)，最大值是\(|7|=7\)，所以取值范圍是\([1,7]\)。2.答案：（2）\([-1,3]\)解析思路：\(|x-1|<2\)可以拆分為兩個不等式：\(x-1<2\)和\(-(x-1)<2\)。解這兩個不等式得到\(x<3\)和\(x>-1\)，所以\(x\)的取值范圍是\((-1,3)\)。二、填空題3.答案：\(x=8\)或\(x=-2\)解析思路：由\(|x-3|=5\)，可得\(x-3=5\)或\(x-3=-5\)，解得\(x=8\)或\(x=-2\)。4.答案：\(x=6\)或\(x=-1\)解析思路：由\(|2x-4|=8\)，可得\(2x-4=8\)或\(2x-4=-8\)，解得\(x=6\)或\(x=-1\)。5.答案：\(x\)的取值范圍是\((-1,1)\)解析思路：由\(|x+2|+|x-1|=3\)，可以分析\(x\)在\(-2\)和\(1\)之間的不同情況。當\(x\geq1\)時，不等式變?yōu)閈(x+2+x-1=3\)，解得\(x=1\)，但不符合\(x\geq1\)的條件。當\(-2\leqx<1\)時，不等式變?yōu)閈(x+2-x+1=3\)，滿足條件。當\(x<-2\)時，不等式變?yōu)閈(-x-2-x+1=3\)，解得\(x=-1\)，但不符合\(x<-2\)的條件。因此，\(x\)的取值范圍是\((-1,1)\)。三、解答題6.（1）解不等式\(|2x-3|<5\)。解析思路：將不等式分為兩部分，\(2x-3<5\)和\(-(2x-3)<5\)，分別解得\(x<4\)和\(x>-1\)，所以\(x\)的取值范圍是\((-1,4)\)。（2）若\(|x-2|+|x+1|=5\)，求\(x\)的取值范圍。解析思路：根據(jù)\(x\)的不同取值范圍，分別計算\(|x-2|+|x+1|\)的值，當\(x\geq2\)時，表達式為\(x-2+x+1=2x-1\)，解得\(x=3\)；當\(-1\leqx<2\)時，表達式為\(2-x+x+1=3\)，滿足條件；當\(x<-1\)時，表達式為\(-x+2-x-1=-2x+1\)，解得\(x=2\)，但不符合\(x<-1\)的條件。因此，\(x\)的取值范圍是\([-1,3]\)。7.（1）若\(|2x-1|=|x+3|\)，求\(x\)的值。解析思路：將絕對值不等式拆分為兩部分，\(2x-1=x+3\)和\(2x-1=-(x+3)\)，分別解得\(x=4\)和\(x=-1\)。（2）若\(|x-3|+|x+5|=8\)，求\(x\)的取值范圍。解析思路：根據(jù)\(x\)的不同取值范圍，分別計算\(|x-3|+|x+5|\)的值，當\(x\geq3\)時，表達式為\(x-3+x+5=2x+2\)，解得\(x=3\)；當\(-5\leqx<3\)時，表達式為\(3-x+x+5=8\)，滿足條件；當\(x<-5\)時，表達式為\(-x+3-x-5=-2x-2\)，解得\(x=-1\)，但不符合\(x<-5\)的條件。因此，\(x\)的取值范圍是\([-5,3]\)。8.（1）若\(|x-2|-|x+1|=3\)，求\(x\)的取值范圍。解析思路：根據(jù)\(x\)的不同取值范圍，分別計算\(|x-2|-|x+1|\)的值，當\(x\geq2\)時，表達式為\(x-2-(x+1)=-3\)，解得\(x=2\)；當\(-1\leqx<2\)時，表達式為\(2-x-(x+1)=1-2x\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)，但不符合\(-1\leqx<2\)的條件；當\(x<-1\)時，表達式為\(-x+2-(-x-1)=3\)，滿足條件。因此，\(x\)的取值范圍是\((-\infty,-1)\)。（2）若\(|2x-5|+|x+1|=6\)，求\(x\)的取值范圍。解析思路：根據(jù)\(x\)的不同取值范圍，分別計算\(|2x-5|+|x+1|\)的值，當\(x\geq\frac{5}{2}\)時，表達式為\(2x-5+x+1=3x-4\)，解得\(x=2\)；當\(-1\leqx<\frac{5}{2}\)時，表達式為\(5-2x+x+1=