廣東省佛山一中2013-2014學年高二下學期期中考試（數學文）

廣東省佛山一中2013-2014學年高二下學期期中考試（數學文）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=x^3-3x+1，則f(x)的圖像的對稱中心是（）A.(0,1)B.(0,-1)C.(1,0)D.(1,1)2.設a>0，b>0，且a+b=1，則2ab的最大值是（）A.1B.2C.1/2D.1/43.在等差數列{an}中，a1=1，公差d=2，則前n項和Sn=（）A.n^2+nB.n^2+2nC.n^2-2nD.n^2-n4.已知等比數列{an}中，a1=1，公比q=2，則第5項a5=（）A.16B.8C.4D.25.已知圓的方程x^2+y^2-2x-6y+9=0，則該圓的半徑是（）A.3B.2C.1D.0二、填空題要求：將答案填入空格內。6.若等差數列{an}中，a1=3，公差d=2，則第10項a10=_______。7.若等比數列{an}中，a1=1，公比q=3，則第4項a4=_______。8.若函數f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的零點為_______。9.若直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4，則斜邊長為_______。10.若圓的方程為x^2+y^2-6x-2y+1=0，則該圓的圓心坐標為_______。三、解答題要求：寫出解答過程，解答過程要完整，步驟要清晰。11.已知函數f(x)=2x^3-3x^2+2x-1，求f(x)的極值。12.已知數列{an}的通項公式為an=2n-1，求前n項和Sn。四、證明題要求：證明下列各題。13.證明：若數列{an}滿足an>0，且an+1=an+1/n，則數列{an}單調遞增。14.證明：若函數f(x)=ax^2+bx+c（a>0）在區(qū)間[0,1]上單調遞增，則b≥2a。15.證明：在任意三角形ABC中，設AB=c，BC=a，CA=b，則有a^2+b^2≥c^2。五、應用題要求：解答下列各題。16.一輛汽車以60千米/小時的速度行駛，剎車后每秒減速1米/秒。求汽車從剎車到停止所需的時間和剎車過程中的最大行駛距離。17.已知某工廠生產一批產品，生產成本與生產數量的關系為C(x)=1000x+5000，其中x為生產數量。若產品每件售價為150元，求利潤函數L(x)。18.已知函數f(x)=x^3-3x+4，求f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。六、綜合題要求：解答下列綜合題。19.已知函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的單調區(qū)間。20.已知等差數列{an}和等比數列{bn}的首項分別為a1和b1，公差和公比分別為d和q，且a1=3，b1=2，d=1，q=3/2。求等差數列和等比數列的前n項和。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數f(x)=x^3-3x+1的導數f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。由于f(x)在x=-1時取得極大值，在x=1時取得極小值，且f(-1)=f(1)=1，所以對稱中心為(0,1)。2.C解析：由a+b=1，得2ab≤(a+b)^2/4=1/4，當且僅當a=b=1/2時取等號，所以2ab的最大值為1/4。3.A解析：等差數列的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=1，d=2，得Sn=n(1+(1+(n-1)*2))/2=n^2+n。4.B解析：等比數列的通項公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=1，q=2，得a5=1*2^(5-1)=8。5.A解析：圓的標準方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)為圓心坐標，r為半徑。將圓的方程x^2+y^2-2x-6y+9=0化為標準方程得(x-1)^2+(y-3)^2=1，所以半徑r=1。二、填空題6.21解析：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，得a10=3+(10-1)*2=21。7.27解析：等比數列的通項公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=1，q=3，得a4=1*3^(4-1)=27。8.1,3解析：令f(x)=x^2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，所以f(x)的零點為1和3。9.5解析：根據勾股定理，斜邊長c=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。10.(3,1)解析：圓的標準方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)為圓心坐標，r為半徑。將圓的方程x^2+y^2-6x-2y+1=0化為標準方程得(x-3)^2+(y-1)^2=1，所以圓心坐標為(3,1)。三、解答題11.極大值f(-1)=2，極小值f(1)=0解析：函數f(x)=2x^3-3x^2+2x-1的導數f'(x)=6x^2-6x+2。令f'(x)=0得x=1/3或x=1。當x<1/3時，f'(x)>0；當1/3<x<1時，f'(x)<0；當x>1時，f'(x)>0。所以f(x)在x=1/3處取得極大值，f(-1)=2；在x=1處取得極小值，f(1)=0。12.Sn=n^2解析：數列{an}的通項公式為an=2n-1，所以前n項和Sn=a1+a2+...+an=(2*1-1)+(2*2-1)+...+(2*n-1)=n^2。四、證明題13.證明：設an+1-an=1/n>0，則an+1>an，所以數列{an}單調遞增。解析：由an+1-an=1/n>0，得an+1>an，所以數列{an}單調遞增。14.證明：由f'(x)=2ax+b，得f'(0)=b≥0，f'(1)=2a+b≥2a>0。所以函數f(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增，且b≥2a。解析：由f'(x)=2ax+b，得f'(0)=b≥0，f'(1)=2a+b≥2a>0。所以函數f(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增，且b≥2a。15.證明：由a^2+b^2-c^2=(a-b)^2+2ab≥0，得a^2+b^2≥c^2。解析：由a^2+b^2-c^2=(a-b)^2+2ab≥0，得a^2+b^2≥c^2。五、應用題16.時間t=60秒，最大行駛距離d=1800米解析：汽車剎車過程中的加速度a=-1米/秒^2，根據v=u+at，得0=60-t，解得t=60秒。根據s=ut+1/2at^2，得s=60*60+1/2*(-1)*60^2=1800米。17.利潤函數L(x)=150x-(1000x+5000)=-850x-5000解析：利潤函數L(x)=收入-成本=150x-(1000x+5000)=-850x-5000。18.最大值f(2)=5，最小值f(-2)=-11解析：函數f(x)=x^3-3x+4在區(qū)間[-2,2]上的導數f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0得x=±1。當x<-1時，f'(x)>0；當-1<x<1時，f'(x)<0；當x>1時，f'(x)>0。所以f(x)在x=-2處取得最大值，f(-2)=-11；在x=1處取得最小值，f(1)=5。六、綜合題19.單調遞增區(qū)間(-∞,1)和(1,+∞)，單調遞減區(qū)間(1,2)解析：函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1的導數f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0得x=1或x=3。當x<1時，f'(x)>0；當1<x<3時，f'(x)<0；當x>3時，f'(x)>0。所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,1)和(1,+∞)，單調遞減區(qū)間為(1,2)。20.等差數列的前n項和Sn=n^2+2n，等比數列的前n項和