2025年高考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第十章第1講含答案

2025年島考科學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案數(shù)學(xué)提升版第十章第1講含答案

第十章

統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

第1講隨機抽樣

［課程標準］L知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計報表和年鑒、社會調(diào)查、

試驗設(shè)計、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等2了解總體、樣本、樣本量的概念，了解樣本

與總體的關(guān)系3了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡單隨

機抽樣方法：抽簽法和隨機數(shù)法4了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍，了解分

層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.5.在簡單的實際情境中，

能根據(jù)實際問題的特點，設(shè)計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.

基礎(chǔ)知識整合

>知識梳理

1.全面調(diào)查與抽樣調(diào)查

(1)對回］每一個調(diào)查對象都進行調(diào)查的方法,稱為全面調(diào)查，又稱普查.

(2)在一個調(diào)查中，我們把調(diào)查對象的全體稱為國總建，組成總體的每一個

調(diào)查對象稱為畫個體.

(3)根據(jù)一定的目的，從總體中抽取回一部分個體進行調(diào)查,并以此為依據(jù)

對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.

(4)把從總體中抽取的那部分個體稱為國掛空.

(5)樣本中包含的個體數(shù)稱為畫樣本量.

(6)調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)，簡稱樣本數(shù)據(jù).

2.簡單隨機抽樣

⑴放回簡單隨機抽樣

一般地，設(shè)一個總體含有MN為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取〃(1W〃<N)個

個體作為樣本，如果抽取是畫放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到

的概率網(wǎng)都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣.

(2)不放回簡單隨機抽樣

如果抽取是兩不放回的,且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣本的各個個體被抽

到的概率回都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.

(3)簡單隨機抽樣

放回簡單隨機抽樣和K放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.

(4)簡單隨機樣本

通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本.

(5)簡單隨機抽樣的常用方法

實現(xiàn)簡單隨機抽樣的方法有很多，回抽簽法和回隨機數(shù)法是比較常用的兩

種方法.

3.總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)

(1)總體平均數(shù)

①一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為卜2,…，Kv,則稱

,j+匕；..十猿二回族必為總體均值,又稱總體平均數(shù).

—i=^l

②如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(kWN)個，不妨記為Ki,片，…，

匕，其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為了?=1,2,k),則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)

的形式丫=回版呼

(2)樣本平均數(shù)

如果從總體中抽取一人容量為〃的樣本，它們的變量值分別為￥，戶,…，

)環(huán)，則稱爪二戶+了:…+"=回誠#L為樣本均值,又稱樣本平均數(shù).

4.分層隨機抽樣

(1)定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個因子總體,每個

個體回屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，

再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨

機抽樣，每一個子總體稱為畫層.

(2)比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小眄成比例,

那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.

5.分層隨機抽樣的平均數(shù)計算

(1)如果總體分為兩層，兩層包含的個體數(shù)分別為M,N,兩層抽取的樣本量

分別為小，明兩層的總體平均數(shù)分別為又，Y,兩層的樣本平均數(shù)分別為工，

總體平均數(shù)為卬，樣本平均數(shù)為卬，則卬二畫，卬=畫.

(2)在比例分配的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數(shù)K估計總體平均數(shù)

W.

。知識拓展

1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的.

2.比例分配的分層隨即抽樣中，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘以抽

樣比.

〉雙基自測

1.(人教A必修第二卅9.1.1練習(xí)Ti改編)下列調(diào)查方式中，適合用普查的是

()

A.調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率

B.了解某漁場中青魚的平均質(zhì)量

C.了解某批次手機的使用壽命

D.了解一批汽車的剎車性能

答案D

解析了解汽車的剎車性能，因為涉及人身安全，且對汽車沒有破壞性，因

此，應(yīng)采用普查的方式.

2.（人教A必修第二冊9.1.1練習(xí)Ti改編）為了了解全年級240名學(xué)生的身高

情況，從中抽取40名學(xué)生進行測量，下列說法正確的是（）

A.總體是240

B.個體是每一個學(xué)生

C.樣本量是40名學(xué)生

D.樣本量為40

答案D

解析研究此類問題首先要弄清楚所要調(diào)查的對象是什么.本題調(diào)查的對象

是“學(xué)生的身高”這一項指標，故A,B不正確；而樣本量是數(shù)量，故C不正確，

D正確.

3.杭州亞運會吉祥物“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”很受歡迎,現(xiàn)工廠決定從2（）只“琮

琮“，15只“蓮蓮”和10只“宸宸”中，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取

一個容量為〃的樣本進行質(zhì)量檢測，若“琮琮”抽取了4只，則〃為（）

A.3B.2

C.5D.9

答案D

fl4

解析2（）+15+］（）=的解得〃=9.故選D.

4.（人教B必修第二毋5.1.1示例改編）國家高度重視青少年視力健康問題，

指出要“共同呵護好孩子的眼睛，讓他們擁有一個光明的未來某校為了調(diào)查學(xué)

生的視力健康狀況,決定從每班隨機抽取5名學(xué)生進行調(diào)查.若某班有50名學(xué)生,

將每名學(xué)生從（）1到50編號，從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第4列的數(shù)開始，

每次從左向右選取兩個數(shù)字，則選取的第三個號碼為（）

01543287659542875346

79532586574133698324

45977386524435786241

A.13B.24

C.33D.36

答案D

解析根據(jù)隨機數(shù)表的讀取方法，第2行第4列的數(shù)為3,每次從左向右選

取兩個數(shù)字，所以第一組數(shù)字為32,作為第一個號碼；第二組數(shù)字58,舍去；第

三組數(shù)字65,舍去；第四組數(shù)字74,舍去；第五組數(shù)字13,作為第二個號碼；

第六組數(shù)字36,作為第三個號碼，所以選取的第三個號碼為36.故選D.

5.（人教A必修第二比9.2.4例6改編）某校高三年級物化生組合只有2個班,

且每班50人，在一次數(shù)學(xué)測試中，從兩個班各抽取了20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行

分析，統(tǒng)計得，在該次測試中，兩班中各抽取的20名學(xué)生的平均成績分別為110

分和106分，則該校高三年級該組合學(xué)生的平均成績約為分.

答案108

2020

解析樣本中40名學(xué)生的平均成績?yōu)槎鴛]10+^x106=108分，所以估計該

校高三年級該組合學(xué)生的三均成績約為108分.

核心考向突破

考向一簡單隨機抽樣

一例1（1）（多選）下列抽取樣本的方式,不是簡單隨機抽樣的是（）

A.從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本

B.盒子里共有80個零件，從中逐個不放回地選出5個零件進行質(zhì)量檢驗

C.從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢查

D.某班有56名同學(xué)：指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽

答案ACD

解析A不是簡單隨機抽樣.因為被抽取樣本的總體的個體數(shù)是無限的，而

不是有限的；B是簡單隨機抽樣；C不是簡單隨機抽樣.因為這是“一次性''抽取,

而不是“逐個”抽?。籇不是簡單隨機抽樣.因為指定個子最高的5名同學(xué)是56名

同學(xué)中特指的，不具有隨機性，不是等可能的抽樣.故選ACD.

（2）（2023?大同中學(xué)三模）北京時間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛

船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，某中學(xué)為此舉

行了“講好航天故事”演講匕賽.現(xiàn)從報名的40位學(xué)生中利用下面的隨機數(shù)表抽取

10位同學(xué)參加演講比賽，將40位學(xué)生按01,02,40進行編號，假設(shè)從隨機

數(shù)表第I行第3個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，重復(fù)的跳過，則選出來

的第7個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為.

062743132636154709412512631763232616

804560111410957774246762428114572042

533237322707360751245179301423102118

219137263890014005232617

答案25

解析從隨機數(shù)表第1行第3個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，去掉

超過4()和重復(fù)的號碼，選取的號碼依次為27,13,26,36,15,09,25,12,

17,23,所以選出來的第7個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為25.

「觸類旁通心)簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；②逐

個抽取；③是等可能抽取.

(2)抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況

①抽簽法適用于總體中個數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個數(shù)較多的

情況；

②一個抽樣試臉能否月抽簽法，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便，二是號簽

是否易攪勻.

P即時訓(xùn)練1.某中學(xué)開學(xué)后從高一年級的學(xué)生中隨機抽取90名學(xué)生進行家

庭情況調(diào)查,經(jīng)過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學(xué)生進行學(xué)情調(diào)查,

發(fā)現(xiàn)有20名同學(xué)上次被抽到過，估計這個學(xué)校高一年級的學(xué)生人數(shù)為()

A.180B.400

C.450D.2000

答案C

解析設(shè)這個學(xué)校高一年級的學(xué)生人數(shù)為x,則當(dāng)二需，解得入,二450.故選

C.

2.齊魯風(fēng)采“七樂彩”的中獎號碼是從分別標有1,2,…，30的三十個小球

中逐個不放回地搖出7個小球來按規(guī)則確定中獎情況，這種從3()個號碼中選7

個號碼的抽樣方法是

答案抽簽法

解析三十個小球相當(dāng)于號簽，攪拌均勻后逐個不放回地抽取，這是典型的

抽簽法.

考向二按比例分配的分層隨機抽樣

例2(1)某學(xué)校高一年級1802人，高二年級1600人,高三年級1499人，現(xiàn)

采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取98名學(xué)生參加全國中學(xué)生禁毒知

識競賽，則在高一、高二、高三三個年級中抽取的人數(shù)分別為()

A.35,33,30B.36,32,30

C.36,33,29D.35,32,31

答案B

解析先將每個年級的人數(shù)湊整，得高一年級1800人，高二年級1600人，

高三年級1500人，則三個年級的人數(shù)所占比例分別為捻，晟H，因此，各年級

抽取人數(shù)分別為98x1|二36,98x1|=32,98x那30做選B.

(2)已知某地區(qū)中小學(xué)生的人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了

了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用比例分配的分層隨機抽樣的方法隨機抽

取1%的學(xué)生進行調(diào)查，其中被抽取的小學(xué)生有80人，則樣本量和該地區(qū)的高中

生近視人數(shù)分別為()

〃中A中年段

乙

A.200,25B.200,2500

C.8000,25D.8000,2500

答案B

解析由扇形分布圖并結(jié)合比例分配的分層隨機抽樣知識易知樣本量為破

=200,則樣本中高中生的人數(shù)為200x25%=50,易知該地區(qū)高中生人數(shù)為需二

5000,結(jié)合近視率條形圖得該地區(qū)高中生近視的人數(shù)為500（）x50%=25（H）.故選B.

口觸類旁通I按比例分配的分層隨機抽樣的步驟

（1）將總體按一定標準分層.

（2）計算各層的個體數(shù)與總體數(shù)的比，按各層個體數(shù)占總體數(shù)的比確定各層應(yīng)

抽取的樣本量.

（3）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣）.

廠即時訓(xùn)練1.（2023?石家莊模擬）為實現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路,

鄉(xiāng)政府采用比例分配的分層隨機抽樣方法從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)

研，已知甲村和乙村的人數(shù)之比是3：1,被抽到的參與環(huán)保調(diào)研的村民中，甲村

比乙村多8人，則參與環(huán)保調(diào)研的總?cè)藬?shù)是（）

A.16B.24

C.32D.40

答案A

解析設(shè)被抽到參與環(huán)保調(diào)研的乙村村民有x人，則被抽到參與環(huán)保調(diào)研的

甲村村民有3x人，由題意，得3工-工=8,即工=4,所以參與環(huán)保調(diào)研的總?cè)藬?shù)

為x+34=16.故選A.

2.（多選）（2024.忻州名校開學(xué)考試）航海模型項目在我國已

開展四十余年，深受青少年的喜愛.該項目整合國防、科技、

工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學(xué)等知識，主要通過讓參賽選手制作、

遙控各類船只、艦艇等模型航行，普及艦艇知識，探究海洋

奧秘，助力培養(yǎng)未來海洋強國的建設(shè)者.某學(xué)校為了解學(xué)生對航海模型項目的喜

愛程度，用比例分配的分層隨機抽樣方法從某校高一、高二、高三年級所有學(xué)生

中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查.已知該學(xué)校高一、高二、高三年級學(xué)生人數(shù)的比例

如圖所示，若抽取的樣本中高三年級學(xué)生有32人，則下列說法正確的是（）

A.該校高一年級學(xué)生人數(shù)是2000

B.樣本中高二年級學(xué)生人數(shù)是28

C.樣本中高三年級學(xué)生人數(shù)比高一年級學(xué)生人數(shù)多12

D.該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是8000

答案BC

解析由題圖可知，高三年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%,抽取的樣本中高三

32

年級學(xué)生有32人，則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為贏=80,則樣本中高一年級學(xué)生人數(shù)

為80x（1-40%-35%）=20,樣本中高二年級學(xué)生人數(shù)為80x35%=28,從而樣本

中高三年級學(xué)生人數(shù)比高一年級學(xué)生人數(shù)多32-20=12,所以B,C正確；因為

從該校所有學(xué)生中抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是80,但抽取的比例不知道，所以該校高一

年級學(xué)生人數(shù)和該校學(xué)生總?cè)藬?shù)求不出來，所以A,D錯誤.故選BC.

考向三樣本平均數(shù)的求法

一例3（1）（2023?咸陽二模）為慶祝中國共產(chǎn)黨二十大勝利召開,某學(xué)校團委舉

辦了黨史知識競賽（滿分100分），其中高一、高二、高三年級參賽選手的人數(shù)分

別為1200,900,900.現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法從三個年級中抽取樣本,

經(jīng)計算可得高一、高二年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)分別為85,90,全校參賽

選手成績的樣本平均數(shù)為88,則高三年級參賽選手成績的樣本平均數(shù)為（）

A.87B.89

C.90D.91

答案C

解析高一、高二、高三年級參賽選手的人數(shù)分別為1200,900,900,現(xiàn)用

比例分配的分層隨機抽樣方法從三個年級中抽取樣本，則樣本中高一、高二、高

三年級參賽選手的人數(shù)比為4：3：3,???高一、高二年級參賽選手成績的樣本平

均數(shù)分別為85,90,全校參賽選手成績的樣木平均數(shù)為88,設(shè)高三年級參賽選手

4985+3^x90+3kxei

成績的樣本平均數(shù)為a，則----4—"----=88,解得。=90,???高三年級

參賽選手成績的樣本平均數(shù)為90?故選C.

（2）某工廠抽取50個機械零件檢驗其直徑大小，得到如下數(shù)據(jù):

直徑（單位：cm）121314

頻數(shù)12344

估計這50個零件的直徑大約為cm.

答案12.84

12X12+13x34+14X4

解析羽=12.84cm.

口觸類旁通噎比例分配的分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為兩層，第一層的樣本

“vc+ny

量為平均值為X；第二層的樣本量為明平均值為），，則樣本的平均值為

1即時訓(xùn)練將一個總體分為A,B,C三層，其個體數(shù)之比為5：3：2.若用

比例分配的分層隨機抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取

個個體；若A,B,C三層的樣本的平均數(shù)分別為15,30,20,則樣本的平均數(shù)

為.

答案2020.5

解析???A,B,。三層個體數(shù)之比為5：3：2,總體中每個個體被抽到的概

25

率相等，，應(yīng)從C中抽取100x=20個個體.樣本的平均數(shù)為詁=「

JIDI乙J?JI4

32

x15+x30+x20=20.5.

5+3+25+3+2

課時作業(yè)

一、單項選擇題

1.（2023?濟南期末）①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有10人的成績在100分以上，

32人的成績在90?10（）分，12人的成績低于90分，現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)情

況；②運動會的作人員從參加4X100m接力賽的6支隊仕L中抽取1支接受采

訪.針對這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（）

A.分層隨機抽樣，簡單隨機抽樣

B.簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣

C.簡單隨機抽樣，分層隨機抽樣

D.分層隨機抽樣，分層隨機抽樣

答案A

解析對于①，為更加了解各層次的學(xué)生成績，應(yīng)選擇分層隨機抽樣；對于

②，可采用簡單隨機抽樣.故選A.

2.某植物種植商購進了一批花的球根，從中隨機選取了200個球根種植，調(diào)

查這批花的球根發(fā)芽情況，最后有4個不發(fā)芽.則下面說法正確的是（）

A.調(diào)查方式是普查

B.樣本是200個球根

C.這批花只有196個球根發(fā)芽

D.這批花約有2%的球根不發(fā)芽

答案D

解析調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，故A錯誤；樣本是200個球根的發(fā)芽情況，故

B錯誤；200個球根中有196個球根發(fā)芽，故C錯誤；200個球根中有4個球根

4

不發(fā)芽，不發(fā)芽率為礪=0。2,即為2%,再由樣本估計總體，故D正確.故選

D.

3.（2023?鹽城亭湖區(qū)模擬）某校高三年級的700名學(xué)生中，男生有385人，女

生有315人.采用比例分配的分層隨機抽樣方法從中抽取一個容量為60的樣本，

則抽取男生和女生的人數(shù)分別為（）

A.31,29B.32,28

C.33,27D.34,26

答案C

315

解析根據(jù)比例分配的分層隨機抽樣原理知，60x—=33,60x—=27,所

以抽取男生33人，女生27人.故選C.

4.（2023?邢臺期末）某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為1200,1000,

800,按年級進行分層，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為30的樣

本，調(diào)查全校學(xué)生的睡眠時間.高一年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時間為8.5小時,

高二年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時間為7.8小時，三個年級抽取的學(xué)生的總平均

睡眠時間為8小時，則高三年級抽取的學(xué)生的平均睡眠時間為()

A.7.2小時B.7.3小時

C.7.5小時D.7.6小時

答案C

301

解析由題意，得抽樣比為120()+1()()()+800=而，則高一、高二、高三年

級抽取的學(xué)生人數(shù)分別為12(X)x擊=12,l()()()x擊=10,8()()x自=8,設(shè)高三年

級抽取的學(xué)生的平均睡眠時間為x小時，由8x+10x7.8+12x8.5=30x8,得”二

7.5.故選C.

5.(2023?玉溪模擬)某調(diào)查小組為了了解目前一次性筷子的使用情況，在街頭

隨機抽取了一部分人做了一次問卷調(diào)查，其中老年人、中年人、青年人填寫的問

卷分別有200份、300份、500份，現(xiàn)在用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取樣本

進行研究，若抽取的樣本口中年人填寫的問卷有60份，則樣本量為()

A.60B.150

C.2(X)D.3(X)

答案C

解析設(shè)樣本量為%則=黯,解得〃=200.故選C.

6.(2023?銀川模擬)中國農(nóng)歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)

晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開始的四句詩.某小學(xué)三年級共有學(xué)生600

名，隨機抽查1()。名學(xué)生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有45人，能說出

兩句及以上的有38人，據(jù)此估計該校三年級的600名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌一

句也說不出的有()

A.17人B.83人

C.102人D.115人

答案C

100-45-38

解析由題意，得一句也說不出的學(xué)生頻率為而—二°17,所以估計

該校三年級的600名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的有600x0.17=102

人.故選C.

7.蘇州市6月1日起正式實施的《生活垃圾分類管理條例》將城市生活垃圾

分為“可回收物”“有害垃圾”“廚余垃圾”和“其他垃圾”四大類.某社區(qū)為了分析不

同年齡段的人群對垃圾分類知識的了解情況，對轄區(qū)內(nèi)的居民進行比例分配的分

層隨機抽樣調(diào)查.已知該社區(qū)的青年人、中年人和老年人分別有800人、900人、

700人，若在老年人中的抽樣人數(shù)是35,則在青年人中的抽樣人數(shù)是()

A.20B.40

C.60D.80

答案B

351

解析由題可知，抽取的比例為％=痂=正，故青年人應(yīng)該抽取的人數(shù)為N

二800x4=40.故選B.

8.為了估計某自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護區(qū)

中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號，不影響其存活，然

后放回保護區(qū)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r間，讓其和保護區(qū)中其余的天鵝充分混合；再從保

護區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，例如ISO只，查看其中有記號的天鵝，設(shè)有20只.根

據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計該自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量為()

A.4000只B.3000只

C.1500只D.750只

答案C

解析設(shè)該自然保護區(qū)中天鵝的數(shù)量為〃只，則不忘，解得心1500.故選

C.

二、多項選擇題

9.要考察某種品牌的85()顆種子的發(fā)芽率，利用隨機數(shù)表法抽取5()顆種子

進行實驗.先將850顆種子按001,002,...?850進行編號，如果從下面所給的

隨機數(shù)表的第2行第2列的數(shù)開始并向右讀，下列選項中屬于最先檢驗的4顆種

子中的一個的是()

()347437386369647366146986371623326168()4560II141()95

97749467744281145720425332373227()736()7512451798973

1676622766565026710732907978531355385859889754141()

A.774B.946

C.428D.572

答案ACD

解析最先檢驗的4顆種子符合條件的為774,428,114,572,故選ACD.

10.(2023?臨汾模擬)某學(xué)生社團有男生32名，女生24名，從中隨機抽取一

個容量為7的樣本，某次抽樣結(jié)果為抽到3名男生和4名女生，則下列說法正確

的是()

A.這次抽樣可能采用的是抽簽法

B.這次抽樣不可能是按性別比例分配的分層隨機抽樣

C.這次抽樣中，每名男生被抽到的概率一定小于每名女生被抽到的概率

D.這次抽樣中，每名男生被抽到的概率不可能等于每名女生被抽到的概率

答案AB

解析根據(jù)抽樣結(jié)果，此次抽樣可能采用的是抽簽法，故A正確；若按比例

分配的分層隨機抽樣，則抽得的男、女生人數(shù)應(yīng)為4,3.所以這次抽樣不可能是

按性別比例分配的分層隨機抽樣，故B正確；若按抽簽法，則每名男生被抽到的

概率和每名女生被抽到的概率均相等，故C,D錯誤.故選AB.

11.某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機抽出的編號

為1?1000的1000名學(xué)生進行了調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個問題，問題1：你的編

號是否為奇數(shù)？問題2:你是否吸煙？被調(diào)查者從設(shè)計好的隨機裝置(內(nèi)有除顏色

外完全相同的白球50個，紅球50個)中摸出一個小球(摸完放回)：摸到白球則如

實回答問題1,摸到紅球則如實回答問題2,回答“是''的人在一張白紙上畫一個

7”,回答“否”的人什么都不用做，由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的

是哪個問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無做忌地給出真實的答案.最

后統(tǒng)計得出，這1000人中，共有265人回答“是”，則下列表述正確的是（）

A.估計被調(diào)查者中約有15人吸煙

B.估計約有15人對問題2的回答為“是”

C.估計該地區(qū)約有3%的中學(xué)生吸煙

D.估計該地區(qū)約有1.5%的中學(xué)生吸煙

答案BC

解析隨機抽出的1000名學(xué)生中，回答問題I的概率是其編號是奇數(shù)的

概率也是所以回答問題1且回答“是”的學(xué)生人數(shù)為l（XX）x|x1=250,回答問題

2旦回答“是''的人數(shù)為265-250=15,從而估計該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比

為蒜=3%,估計被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)為1000x3%=30.故選BC.

三、填空題

12.（2023?廣州模擬）一個總體分為A,B兩層,用比例分配的分層隨機抽樣

方法從總體中抽取一個容量為1。的樣本.已知8層中每個個體被抽到的概率都

為上，則總體中的個體數(shù)為.

答案120

解析???8層中每個人體被抽到的概率都為古，，總體中每個個體被抽到的

概率是上，.??由比例分配的分層隨機抽樣是等概率抽樣，得總體中的個體數(shù)為

10咕=120.

13.（2023?濰坊模擬）某高中學(xué)校共有學(xué)生3600人，為了解某次數(shù)學(xué)文化知識

競賽的得分情況，采用比例分配的分層隨機抽樣方法從這3600名學(xué)生中抽取一個

容量為48的樣本，若從高一、高二、高三年級抽取的人數(shù)組成一個以4為公差的

等差數(shù)列，則該學(xué)校高三年級的學(xué)生人數(shù)為.

答案1500

解析因為從高一、高二、高三年級抽取的人數(shù)組成一個以4為公差的等差

數(shù)列，故可設(shè)樣本中高一、高二、高三年級的人數(shù)依次為8,A-4,X,則3x

-12=48,解得x=20,故該學(xué)校高三年級的學(xué)生人數(shù)為36（遍|二1500.

14.在比例分配的分層隨機抽樣中，總體共分為2層，第1層的樣本量為20,

樣本平均數(shù)為3,第2層的樣本量為30,樣本平均數(shù)為8,則該樣本的平均數(shù)為

答案6

解析^=20^X3+20T35X8=6-

四、解答題

15.（2023?南京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）某高中學(xué)校為了促進學(xué)生個體的全面

發(fā)展，針對學(xué)生發(fā)展要求，開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個社團，已

知報名參加這兩個社團的學(xué)生共有800人，按照要求每人只能參加一個社團，各

年級參加社團的人數(shù)情況如下表：

X高一年級高二年級高三年級

泥塑abC

剪紙XyZ

其中"y：z=5：3：2,且“泥塑”社團的人數(shù)占兩個社團總?cè)藬?shù)的，為了了

解學(xué)生對兩個社團活動的滿意程度，從中抽取一個50人的樣本進行調(diào)查，則從高

二年級“剪紙”社團中抽取的人數(shù)為多少？

3

解因為“泥塑”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的彳

9

故“剪紙”社團的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的不

2

所以抽取的50人的樣本中，“剪紙”社團中的人數(shù)為50X-=20.

又“剪紙”社團中高二年級人數(shù)比例為77七二=T-f-7=磊，

八十〉十ZN十二十D

3

所以從高二年級“剪紙”社團中抽取的人數(shù)為20x行=6.

第2講用樣本估計總體

［課程標準］1.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化

描述，體會合理使用統(tǒng)計性表的重要性2能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均

數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義3能用樣本估計總體的離散程

度參數(shù)（標準差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.會計算樣本均值

和樣本方差，結(jié)合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差4能用樣

本估計總體的取值規(guī)律5能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.

基礎(chǔ)知識整合

＞知識梳理

1.頻率分布表、頻率分布直方圖的制作步驟及意義

2.頻率分布折線圖

用線段連接頻率分布直方圖中各個矩形上面一邊的畫蟲點，就得到頻率分

布折線圖.

3.不同統(tǒng)計圖的特點及適用類型

(1)不同的統(tǒng)計圖在表示數(shù)據(jù)上的特點

扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的畫比例，條形圖和直方圖主要

用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的網(wǎng)頻數(shù)和兩頻率，折線圖主要用于描述數(shù)

據(jù)隨叵I時間的變化趨勢.

(2)不同的統(tǒng)計圖適用的數(shù)據(jù)類型

條形圖適用于描述回離散型的數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述回連續(xù)型的數(shù)據(jù).

4.百分位數(shù)

(1)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)

中至少有〃%的數(shù)據(jù)自小于或等于這個值，且至少有(100-〃)％的數(shù)據(jù)同大于或

等于這個值.

(2)計算步驟：計算一組〃個數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)的步驟：

第1步，按同從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=?叨2%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為J,則第〃百分位數(shù)為第回

項數(shù)據(jù)；若，?是整數(shù)，則第〃百分位數(shù)為笫i項與第(i+D項數(shù)據(jù)的網(wǎng)平均數(shù).

5.總體集中趨勢的估計

(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“「網(wǎng)中心位置”的量,它們從不同角度

刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

(2)一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述,

可以用回平均數(shù)、倒中位數(shù);而對分類型數(shù)據(jù)(如校報規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量

等級等)集中趨勢的描述，可以用囪念數(shù).

6.頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法

(1)樣本平均數(shù)：可以用每個小矩形底邊中點的回橫坐標與小矩形面積的乘

積之和近似代替.

(2)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該畫相等.

(3)將最高小矩形所在的區(qū)間函]中點的橫坐標作為眾數(shù)的估計值.

7.方差、標準差

(1)假設(shè)一組數(shù)據(jù)為汨,孫…，M貝IJ

八-XI+12+...+X,i

①平均數(shù)x=-------------------,

②方差(=國:￡*二*匕

HI=x

③標準差.V=固yj忠(內(nèi)二三尸.

(2)如果總體中所有個體的變量值分別為Y2,....玄，總體平均數(shù)為V,

則稱s2==S(匕-『)2為總體方差，為總體標準差.

如果總體的N個變量值中，不同的值共有A(AWN)個，不妨記為H,Y2，…,

1k

Yk,其中匕出現(xiàn)的頻數(shù)為2,…，k),則總體方差為S?二通“(匕-V)2.

(3)如果一個樣本中個體的變量值分別為yi,戶，…，口,樣本平均數(shù)為歹，

則稱$2二十￡(V-尸)2為樣本方差，s序為樣本標準差?

(4)標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差國越大，數(shù)據(jù)的離散

程度越大；標準差國越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

(5)分層隨機抽樣的均值與方差

分層隨機抽樣中，如其樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為力，樣本

方差為$2.

以分兩層抽樣的情況為例，假設(shè)第一層有，〃個數(shù)，分別為X2,…，X,”，

平均數(shù)為"方差為?；第二層有〃個數(shù)，分別為"，)>2,...?如，平均數(shù)為聯(lián)

方差為$幺則工二蟋1H,?=就(劉一工A,y=整加m=[￡方一>K

則①w=嘰x+——v,

1~~?〃7+〃-一切+〃-

②$2=⑶I—■—1時s彳+（X-W）2]+如之+（J-VV）2]）=|32]—■—

—m+n~——--------------------------—m+n

（〃煌+〃由」第工二三可

a知識拓展平均數(shù)、方差的公式推廣

⑴若數(shù)據(jù)XI,X2....二的平均數(shù)為工,那么〃R+4,〃江2+4,〃7/3+。.....

mxn+a的平均數(shù)是mx+a.

（2）若數(shù)據(jù)MX2........X”的方差為/,則:

①數(shù)據(jù)XI+%X2+4,…，x〃+4的方差也為$2；

②數(shù)據(jù)a。，4X2,…，以〃的方差為42s2.

〉雙基自測

1.（多選）（2021.新高考n卷）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本為，X2,....心的離

散程度的是（）

A.樣本XI,X2,X〃的標準差

B.樣本XI,X2,X〃的中位數(shù)

C.樣本XI,X2.........X”的極差

D.樣本X2........X”的平均數(shù)

答案AC

解析由標準差的定義可知，標準差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的

定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是

數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢.故選

AC.

2.（多選）給出一組數(shù)據(jù)：1,3,3,5,5,5,下列說法正確的是（）

A.這組數(shù)據(jù)的極差為4

B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3

C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4

D.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3和5

答案AC

1+3x2+5x311

解析這組數(shù)據(jù)的極差為5-1=4,A正確；平均數(shù)為-----己-----B

3+5

錯誤；中位數(shù)為亍=4,C正確；眾數(shù)為5,D錯誤.

3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)以…，心的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10川，10處…，

IOx〃的方差為（）

A.0.01B.0.1

C.1D.1()

答案C

解析因為數(shù)據(jù)的+如=1,2,…，〃）的方差是數(shù)據(jù)雙i=l,2,〃）的

方差的標倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為102x0.01=1.故選C.

4.從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取4（X）部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得

400個評分數(shù)據(jù)分為8組：[66,70）,[70,74）....[94,98],并整理得到如下

的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間[82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）

A.20B.40

C.64D.80

答案D

解析由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間[82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量為

400x0.050x4=80.故選D.

5.(人教B必修第二冊5.1.2練習(xí)AT2改編)90,92,92,93,93,94,95,

96,99,100的75%分位數(shù)為,80%分位數(shù)為.

答案9697.5

解析10x75%=7.5,10x80%=8,所以75%分位數(shù)為期=96,80%分位數(shù)為

X8+X996+99

核心考向突破

多角度探究突破

考向一統(tǒng)計圖表及應(yīng)用

角度1扇形圖

例1（多選）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實

現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建

設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

種族收入?yún)s也

種植其他

收入收入

養(yǎng)殖收入

收入

30%

建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總卻超過了經(jīng)濟收入的一半

答案BCD

解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M,則新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M,新農(nóng)村

建設(shè)前種植收入為0.6M,新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M,所以種植收入增加

了，所以A不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M,新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為

0.1M,故增加了一倍以上，所以B正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M,新

農(nóng)村建設(shè)后為0.6M,增加了一倍，所以C正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三

產(chǎn)業(yè)收入的總和占經(jīng)濟收入的30%+28%=58%>50%,所以超過了經(jīng)濟收入的一

半，所以D正確.故選BCD.

角度2折線圖

例2(2023?烏魯木齊二模)如圖為2012?2022年我國電子信息制造業(yè)企業(yè)和

工業(yè)企業(yè)利潤總額增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是()

A.2()12?2022年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增

B.2017?2022年工業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增

C.2012?2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均較上一年實現(xiàn)增長，且其

增速均快于當(dāng)年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速

D.2019?2022年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值大于電子信息制造業(yè)企業(yè)利

潤總額增速的均值

答案C

解析對于A,由折線圖可知，2018年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速為

負值，利潤總額較上一年下降，A錯誤；對于B,由折線圖可知，2019年工業(yè)企

業(yè)利潤總額增速為負值，利潤總額較上一年下降，B錯誤；對于C,2012?2017

年電子信息制造業(yè)企業(yè)利澗總額增速為正，利潤總額較上一年增長，且其增速大

于當(dāng)年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速，C正確；對于D,2019?2022年中，工業(yè)企業(yè)利

潤總額增速都小于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速，則這幾年中工業(yè)企業(yè)利潤

總額增速的均值小于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值，D錯誤.故選C.

角度3頻率分布直方圖

例3(1)為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿

者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),

[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，如

圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三

組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）

順率/組距

0.36........r-

0.24????|—

0.16........?…一

0.08.................—1

1J_____I?

uV121314151617-張壓ZkP.

A.8B.12

C.16D.18

答案B

20

解析志愿者的總?cè)藬?shù)為’=50,所以第三組的人數(shù)為

+U.1OJXI

50x0.36=18,有療效的人數(shù)為18-6=12.故選B.

（2）（多選）（2024?薄澤東明縣開學(xué)考試）某小區(qū)為了讓居民了解更多垃圾分類的

知識，對500名小區(qū)居民進行了培訓(xùn)，并進行了培訓(xùn)結(jié)果測試，從中隨機抽取50

名居民的成績（單位：分），按照[50,60）,[60,70）,…，[90,100]分成5組，并

制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）

A.所抽取的50名居民成績的平均數(shù)約為74

B.所抽取的50名居民成績的中位數(shù)約為75

C.50名居民成績的會數(shù)約為85

D.參加培訓(xùn)的居民中約有100人的成績不低于85分

答案AD

解析因為頻率和為1,可得0.1+0.3+0.3+10.1+0.1=1,所以〃7=0.02,

所抽取的50名居民成績的平均數(shù)約為55x0.1+65x0.3+75x0.3+85x0.2+95x0.1

=74,故A正確；設(shè)中位數(shù)為x,因為0.1+0.3v0.5,0.1+03+0.3>0.5,所以

x￡(70,80),所以().1+().3+().03(4一70)=0.5,所以x=7()+號￡75,故B錯誤；

50名居民成績的眾數(shù)無法由頻率分布直方圖判斷出來，故C錯誤；成績不低于

85分的頻率為0.2x0.5+0.1=0.2,參加培訓(xùn)的居民中成績不低于85分的約有

0.2x500=100人，故D正確.故選AD.

觸類旁通g常見統(tǒng)計國的特點

(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常

適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.

(3)準確理解頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點

①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤以

為縱軸卜的數(shù)據(jù)是各絹的頻率，不要和條形圖混淆；

②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,這是解題的關(guān)鍵，常利用

頻率分布直方圖估計總體分布.

r即時訓(xùn)練1.(多選)(2023?太原模擬)十項全能是田徑運動中全能項目的一

種，是由跑、跳、投等10個田徑項目組成的綜合性男子比賽項目，比賽成績是按

照國際田徑聯(lián)合會制定的專門田徑運動會全能評分表將各個單項成績所得的評分

加起來計算的，總分多者為優(yōu)勝者.如圖是某次十項全能比賽中甲、乙兩名運動

員的各個單項得分的雷達圖，則下列說法正確的是()

no米畤欄

—甲的得分…??…乙的得分

A.在400米跑項目中，甲的得分比乙的得分低

B.在跳高和標槍項目中，甲、乙水平相當(dāng)

C.甲的各項得分比乙的各項得分更均衡

D.甲的各項得分的極差比乙的各項得分的極差大

答案BD

解析