2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)等腰等邊三角形“三線合一”訓(xùn)練小專題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)等腰等邊三角形“三線合一”訓(xùn)練小專題1．在中，，，點D是的中點，點E是線段上的動點，過點E作交于點F，連接，若．(1)求證：；(2)求的長．2．如圖，在中，是邊上的中線，是的中點，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：；(2)若，判斷四邊形的形狀：________（填“菱形”、“矩形”或“正方形”），并證明．3．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點E，平分，交于點F．(1)求證：．(2)若，求證：四邊形是矩形．4．如圖，，是中點，，．(1)求證：四邊形是矩形．(2)若，，是上一點，且，求的長．5．在等腰中，，點是的中點，要求用尺規(guī)作圖的方法在上找一點，連結(jié)，使得．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)的做法如下：(1)①做法正確的同學(xué)有___________；②請選擇你認(rèn)為正確的一種做法給出證明；(2)用尺規(guī)作圖的方法畫出一種不同于以上三位同學(xué)的畫法．6．如圖，都是的半徑，．(1)求證：；(2)若，，求．7．如圖，，，點D是上一點（），連接，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，M為的中點，，的延長線相交于G，與相交于點F．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的長．8．如圖1，“天幕”是大家特別喜歡的一種露營設(shè)備，通常由支桿、天幕布、拉繩組成．圖2是其截面示意圖，天幕布，為可伸縮支桿，拉繩、固定在水平地面上，且點A、D、E共線，點A、C、F共線，于點B，于點O．拉繩在地面的固定點E與點B的距離，，．(1)求拉繩的長；(2)如圖3，現(xiàn)將支桿向上伸長至點，同時將固定點E、F分別移動至、，使、、共線，、、共線，且，在此過程中，拉繩長度保持不變，求的長．（結(jié)果保留根號）9．在四邊形中，(1)如圖①，求證：(2)如圖②，在邊上分別取中點M、N，連接．若，求的度數(shù)．10．如圖所示，中，D是邊上一點，E是的中點，過點A作的平行線交的延長線于F，且，連接．(1)求證：D是的中點；(2)若，試判斷四邊形的形狀，并證明．11．如圖，在中，點是邊的中點，點，G在邊上，，交于E，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求的長．12．如圖，在中，平分交于點D，點F在上，連接，E為的中點，、交于點G，連接．(1)若，求的長；(2)若點F在直線上，當(dāng)時，求的長．13．在中，，，點為的中點．(1)若，兩邊分別交于兩點．①如圖1，當(dāng)點分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當(dāng)點分別在和的延長線上時，連接，若，則______．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于，交的延長線于，連接，若，，試求的長．14．如圖，中，，點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊順時針運動，點M的速度為，點N的速度為，當(dāng)點M，點N第一次相遇時，點M，點N同時停止運動，設(shè)點M，點N的運動時間為t（）秒．(1)當(dāng)時，；當(dāng)時，．(2)當(dāng)點N在上時，；當(dāng)點N在上時，（分別用含t的代數(shù)式表示）．(3)點N在上時，請問t為何值時，是直角三角形，并說明理由．(4)連結(jié)，請問t為何值時，線段的垂直平分線經(jīng)過的某一頂點，并說明理由．15．在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B在坐標(biāo)軸上，，．點C為的中點，D為上一點．(1)如圖（1），將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．①求證：．②P為x軸上一點，且在點D左側(cè)，點D關(guān)于點P對稱的點為Q，連接，．是否存在這樣的點P，使得對于任意的點D，總有成立？若存在，請寫出P的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請說明理由．(2)如圖（2），過點C作的垂線，交y軸于點F．連接，．若，請寫出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)等腰等邊三角形“三線合一”訓(xùn)練小專題》參考答案1．(1)見解析(2)4.5【分析】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)垂直的定義即可得證；（2）根據(jù)勾股定理可得，再由三線合一定理得到，則可利用勾股定理求出的長，進而得到，據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，；（2）解：，，，點是的中點，，，，，，在中，，，解得：．2．(1)證明見解析；(2)四邊形是矩形，理由見解析．【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形、矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由是的中點，得，再通過平行線的性質(zhì)可得，然后證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證；（）由（）得，又是邊上的中線，所以，則有，從而證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可求出，最后由矩形的判定方法即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：四邊形是矩形，理由，由（）得，，∵是邊上的中線，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，是邊上的中線，∴，∴，∴四邊形是矩形．3．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義等等，熟知矩形的判定定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由平行四邊形對邊平行且相等可證明，，，再由角平分線的定義可證明，據(jù)此利用即可證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，再證明，進而可證明四邊形是平行四邊形，再由三線合一定理證明，即可證明四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，同理可得，∵平分，平分，，，，∴；（2）證明：∵，∴，四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，平分，∴，∴四邊形是矩形．4．(1)詳見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理．根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可證，，從而可證，又因為，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形是平行四邊形，又因為，可證四邊形是矩形；利用勾股定理可以求出，利用等面積法可知，從而可求的長度．【詳解】（1）證明：，是等腰三角形，是中點，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形；（2）解：在中，，，，，于，，，，解得：．5．(1)①甲、丙；②見解析(2)見解析【分析】該題考查了復(fù)雜作圖，還涉及等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識點．（1）①根據(jù)作圖判斷即可；②根據(jù)尺規(guī)作圖和等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理證明即可；（2）根據(jù)題意作圖使得點是中點或即可，做法不唯一．【詳解】（1）解：①做法正確的同學(xué)有甲、丙；②甲的做法證明如下：方法一：由圖可知平分，，，，又點為的中點，；方法二：由圖可知平分，，為邊上的中線，即點為的中點，又點為的中點，是的中位線，，；丙的做法證明如下：方法一：連結(jié)由圖可知，點在的垂直平分線上，，點在的垂直平分線上，是的垂直平分線，，又點為的中點，；方法二：連結(jié)由圖可知，點在的垂直平分線上，，點在的垂直平分線上，是的垂直平分線，即點為的中點，又點為的中點，是的中位線，，．（2）解：如圖，以點D為圓心為直徑畫圓，交于點E，則．其他做法酌情給分6．(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）利用圓周角定理即可證明；（2）作于點，作于點，利用三線合一性質(zhì)得到，，得到，利用全等三角形的判定證出，得到，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：，，，又，；（2）解：如圖，作于點，作于點，，，，，，由（1）得，，，，，，又，，，，，．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明，推出，即可證明；（2）利用兩對角分別相等，證明，即可得到；（3）在上取點N，使，連接．證明，推出，，利用等角的余角相等求得，再證明，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：，，．由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，，；（2）證明：，，，．為的中點，，，，．，，，，．（3）解：如圖，在上取點N，使，連接．，M為的中點，．，，，，，．，，．，，，，．【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，再解直角三角形得出，即可得解；（2）由題意可得，，求出，再由勾股定理計算即可得解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由題意可得：，，∵，∴，∴．9．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，熟知等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對等角可得，再由角的和差關(guān)系可證明結(jié)論；（2）由三線合一定理得到，再由四邊形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴（2）解：∵，M、N分別是的中點，∴，∴，∵，∴，∴．10．(1)見解析(2)若，則四邊形是矩形，證明見解析【分析】本題考查了矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點．（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出，然后利用證明和全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量關(guān)系即可求解；（2）由（1）知平行等于，易證四邊形是平行四邊形，而，是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證，即，那么可證四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵點E為的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴D是的中點；（2）解：若，則四邊形是矩形．證明如下：∵，∴，∵，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴平行四邊形是矩形．11．(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形中位線定理．（1）根據(jù)等腰三角形三線合一得到，再利用三角形的中位線定理證明，再加上條件可證出結(jié)論．（2）先證明，再證明，可得到．【詳解】（1）證明：，，．又是邊的中點，∴，為的中位線，，，四邊形是平行四邊形．（2）解：四邊形是平行四邊形，，、分別是、的中點，，，．12．(1)6(2)5或25【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定及其性質(zhì)，對于（1），先求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，然后說明是的中位線，可得答案；對于（2），分三種情況：當(dāng)F在線段上時，當(dāng)F在線段CB延長線上時，當(dāng)F在線段BC延長線上時，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)得出答案.【詳解】（1）解：∵，∴.∵，平分，∴.∵點E是中點，∴是的中位線，（2）解：①當(dāng)F在線段上時，由（1）得，∴；②當(dāng)F在線段延長線上時，如圖1，由(1)得，此情況不成立；③當(dāng)F在線段延長線上時，如圖2，由(1)得，∴.綜上所述：的長為5或25．13．(1)①見解析；②18(2)2【分析】（1）①連接，證明即可；②連接，，得出，利用三角形面積公式進行計算即可；（2）連接，過點作，交的延長線于點，證明，得出，，證明，得出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：①如圖，連接，∵，，點為的中點，∴，，，∴，∴，∴，∴；②如圖，連接，∵，，點為的中點，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，（2）解：如圖，連接，過點作，交的延長線于點，∵，，點為的中點，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．14．(1)；(2)；(3)t為4.5或5時，是直角三角形；理由見解析(4)或或或【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和路程解答即可；（2）根據(jù)速度和時間得出路程，進而解答即可；（3）由題意當(dāng)時，點N落在上，此時點M也在上．當(dāng)點M或點N是的中點時，是直角三角形．由此構(gòu)建方程求解即可；（4）分四種情形，分別畫出圖形，構(gòu)建方程求解．【詳解】（1）解：當(dāng)，，，當(dāng)時，點M經(jīng)過的路程為，，故答案為：；；（2）解：當(dāng)點N在上時，；當(dāng)點N在上時，；故答案為：；；（3）解：t為4.5或5時，是直角三角形；理由如下：由題意當(dāng)時，點N落在上，此時點M也在上．當(dāng)點M或點N是的中點時，是直角三角形．∴或，綜上所述，t為4.5或5時，是直角三角形；（4）解：t為或或或時，線段的垂直平分線經(jīng)過的某一頂點；理由如下：如圖1中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點A時，，解得；如圖2中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點B時，，解得；如圖3中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點C時，，解得；如圖4中，當(dāng)線段的垂直平分線經(jīng)過點A時，，解得．綜上所述，滿足條件的t的值為或或或．15．(1)①見解析；②存在，(2)，證明見解析【分析】（1）①證出．，則可得出結(jié)論；②作點D關(guān)于點O的對稱點K，連接，證明，得出．則可得出結(jié)論；（2）連接，取點D關(guān)于y軸的對稱點M，連接．證明，得出．，，從而得到為等腰直角三角形．再證明，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵，∴為等腰直角三角形，．∵，∴．又∵，∴，∴．②存在