第一章 建模概念及建模方法論課件

第一章

建模概念及建模方法論第一章建模概念及建模方法論一、數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性

由于數(shù)學(xué)的重要性和廣泛應(yīng)用，在國際上“數(shù)學(xué)”（Mathematics）已逐漸被“數(shù)學(xué)科學(xué)”(MathematicalSciences）代替.

第二次世界大戰(zhàn)后，新技術(shù)、特別是高技術(shù)像雨后春筍般出現(xiàn).數(shù)學(xué)的應(yīng)用，從傳統(tǒng)的機(jī)械制造等領(lǐng)域迅速擴(kuò)展到這些高新技術(shù)中.第一章建模概念及建模方法論

目前，數(shù)學(xué)在航空航天技術(shù)，先進(jìn)制造技術(shù)，信息技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)安全，能源勘探開發(fā)，環(huán)境保護(hù)和生態(tài)，經(jīng)濟(jì)管理，城市規(guī)劃和交通，基因工程和生物信息技術(shù)，生物醫(yī)學(xué)和疾病防治等方面起著非常重要的作用.科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力.第一章建模概念及建模方法論*信息時(shí)代高科技的競爭本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競爭；*“高技術(shù)”本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)

(Mathematical-Technique)；*數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)；

*產(chǎn)生新的科研手段：基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的仿真技術(shù).

*計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展促使數(shù)學(xué)得以廣泛應(yīng)用；第一章建模概念及建模方法論二、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel):重結(jié)果；數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling):重過程

模型:所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬,具有事物中感興趣的主要性質(zhì).*對(duì)實(shí)體本身的模擬如:飛機(jī)形狀進(jìn)行模擬的模型飛機(jī)；*對(duì)實(shí)體某些屬性的模擬如:對(duì)飛機(jī)性能進(jìn)行模擬的航模比賽飛機(jī)；

第一章建模概念及建模方法論*對(duì)實(shí)體某些屬性的抽象如:一張地質(zhì)圖是某地區(qū)地礦情況的抽象

任何一個(gè)模型僅為真實(shí)系統(tǒng)某一方面的理想化，決不是真實(shí)系統(tǒng)的重現(xiàn).

數(shù)學(xué)模型(E.A.Bendar定義)：關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而做的抽象、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).第一章建模概念及建模方法論數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界簡化而本質(zhì)的描述.

是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述.治愈癱瘓死亡

狀態(tài)（可能）

行動(dòng)（人能控制）等待治療例1.1大夫的決策問題第一章建模概念及建模方法論

可使我們明確大夫的決策取決于目標(biāo)的設(shè)定及治療原則等.此模型表達(dá)了大夫能做什么,可能出現(xiàn)的結(jié)果.

數(shù)學(xué)模型是思考的工具

構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)模型可幫助我們進(jìn)行交流、獲得理解、加強(qiáng)對(duì)所采取的行動(dòng)及結(jié)果的預(yù)測能力，它應(yīng)有助于思考過程.第一章建模概念及建模方法論

數(shù)學(xué)建模：創(chuàng)立一個(gè)數(shù)學(xué)模型的全過程

是運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法、數(shù)學(xué)的語言去近似地刻畫實(shí)際問題，并加以解決的全過程.

數(shù)學(xué)建模法是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.

例1.1生物醫(yī)學(xué)專家根據(jù)藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間和空間變化的數(shù)學(xué)模型，可用來分析藥物的療效，有效地指導(dǎo)臨床用藥.第一章建模概念及建模方法論

例1.2.廠長經(jīng)理們籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷售的數(shù)學(xué)模型，可獲取盡可能高的經(jīng)濟(jì)效益.諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者建立了大量的數(shù)學(xué)模型，為世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出卓越貢獻(xiàn)：人類時(shí)間價(jià)格模型；教師與畢業(yè)生的增長模型；房屋出售問題模型；最優(yōu)消費(fèi)和組合投資問題；第一章建模概念及建模方法論Selton連鎖店博弈模型；平穩(wěn)人口模型；固定匯率和浮動(dòng)匯率的貨幣動(dòng)力學(xué)人類時(shí)間價(jià)格的度量；考慮技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)…….第一章建模概念及建模方法論三、

從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁面對(duì)各類問題如何建立數(shù)學(xué)模型？第一章建模概念及建模方法論1.世界的末日？

當(dāng)一個(gè)直徑約為1000米的小行星正好在南極與南極洲大陸相撞,是否會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難性的影響？第一章建模概念及建模方法論2.如何控制噴泉的高度？

如何智能實(shí)時(shí)控制廣場中央的噴泉高度，以避免水霧浸濕游客的衣衫？第一章建模概念及建模方法論3.地球會(huì)變暖了嗎？能否根據(jù)地球過去50年的溫度數(shù)據(jù)，推測地球氣溫將怎樣變化？是否會(huì)即將出現(xiàn)“千年極寒”？第一章建模概念及建模方法論4.如何安排城市交通？巴黎凱旋門

在城市的交通要道，設(shè)置人流、汽車流的交通規(guī)則，避免交通阻塞，提高交通安全性.第一章建模概念及建模方法論

數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有規(guī)律,做出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型推理演繹求解翻譯為實(shí)際解答第一章建模概念及建模方法論實(shí)際解答

對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的描述、分析、預(yù)報(bào)、

決策、控制等結(jié)果始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界例1.3一場筆墨官司

美國原子能委員會(huì)（現(xiàn)為核管理委員會(huì)）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里.

他們這種做法安全嗎？第一章建模概念及建模方法論

分析可從各個(gè)角度去分析造成危險(xiǎn)的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能.

聯(lián)想：安全、危險(xiǎn)問題的關(guān)鍵1）圓桶至多能承受多大的沖撞速度？

(40英尺/秒)2）圓桶和海底碰撞時(shí)的速度有多大？第一章建模概念及建模方法論問題轉(zhuǎn)為—求這種桶沉入300英尺的海底時(shí)的末速度.（原問題是什么?）可利用的數(shù)據(jù)條件：

圓桶的總重量W=527.327（磅）

圓桶受到的浮力B=470.327（磅）

圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力D=Cv，C=0.08

思路利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移y(t)滿足的微分方程：

第一章建模概念及建模方法論方程的解為第一章建模概念及建模方法論

計(jì)算觸底時(shí)的碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時(shí)間t0=？分析

考慮圓桶的極限速度≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

實(shí)際極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！

第一章建模概念及建模方法論結(jié)論

解決問題的方向是正確的.解決思路避開求t0的難點(diǎn)

令

v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)是圓桶下沉位移

代入(1)得第一章建模概念及建模方法論兩邊積分得函數(shù)方程：

若能求出函數(shù)v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(試一試)第一章建模概念及建模方法論*用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為

v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）

*分析v=v(y)

是單調(diào)上升函數(shù)，而v

增大,y

也增大,可求出函數(shù)y=y(v)

兩種解決思路：令v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒)第一章建模概念及建模方法論y=238.4(英尺)＜300（英尺）問題的實(shí)際解答：

美國原子能委員會(huì)處理放射性廢物的做法是極其危險(xiǎn)的，必須改變.

算出第一章建模概念及建模方法論例1.2渡口模型(P22實(shí)例六)

一個(gè)渡口的渡船營運(yùn)者擁有一只甲板長32米,可以并排停放兩列車輛的渡船.他在考慮怎樣在甲板上安排過河車輛的位置,才能安全地運(yùn)過盡量多的車輛.

分析

怎樣安排過河車輛，關(guān)心一次可以運(yùn)多少輛各類車.

準(zhǔn)備工作觀察數(shù)日，發(fā)現(xiàn)每次情況不盡相同，得到下列數(shù)據(jù)和情況：第一章建模概念及建模方法論(1)車輛隨機(jī)到達(dá)，形成一個(gè)等待上船的車列；

這是一個(gè)機(jī)理較復(fù)雜的隨機(jī)問題，是遵循“先到先服務(wù)”的隨機(jī)排隊(duì)問題.(2)來到車輛中,轎車約占40％，卡車約占55％,摩托車約占5％；(3)轎車車身長為3.5～5.5米,卡車車身長為8～10米.

第一章建模概念及建模方法論解決方法

采用模擬模型方法.分析

需考慮以下問題：(1)應(yīng)該怎樣安排摩托車？

(2)下一輛到達(dá)的車是什么類型？(3)怎樣描述一輛車的車身長度？

(4)如何安排到達(dá)車輛加入甲板上兩列車隊(duì)中的哪一列中去？

第一章建模概念及建模方法論解決問題思路：(1)認(rèn)為摩托車不會(huì)占有實(shí)際空間.(2)確定即將到達(dá)車輛類型，利用隨機(jī)模擬方法00.550.951卡車轎車摩托車(3)確定隨機(jī)到達(dá)車輛的身長車.第一章建模概念及建模方法論汽車類型及車身長模擬原理分析(4)關(guān)于車輛的排放.

甲板可停放兩列汽車，可供停車的總長為32×2=64米

排放原則兩列盡可能均衡.(怎樣實(shí)現(xiàn)？)

第一章建模概念及建模方法論

據(jù)人口學(xué)家們預(yù)測,到2033年,世界人口將突破100億,每年增加近1億人口,以后還會(huì)迅猛增長.人們開始考慮,我們賴以生存的地球究竟是否能承受如此的增長.現(xiàn)建立數(shù)學(xué)模型來預(yù)測人口的增長.

分析

設(shè)任意時(shí)刻的人口總數(shù)為N(t)，影響一個(gè)地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的最顯著的因素應(yīng)包括哪些？

例2.3人口增長模型第一章建模概念及建模方法論影響因素個(gè)體的出生、死亡

遷入、遷出

年齡結(jié)構(gòu)

性別比例……第一章建模概念及建模方法論

現(xiàn)僅考慮出生和死亡對(duì)人口數(shù)的影響.

在時(shí)間段

t內(nèi)，出生和死亡人口數(shù)的變化將依賴于以下因素：1.時(shí)間間隔

t的長短；

2.時(shí)間間隔開始時(shí)的人口基數(shù).

1.建模過程

做最簡單的假設(shè)：時(shí)間間隔

t內(nèi)的出生人數(shù)=b

N(t)

t

時(shí)間間隔

t內(nèi)的死亡人數(shù)=d

N(t)

t第一章建模概念及建模方法論b和d分別是出生率和死亡率.得到一個(gè)初始模型N(t+

t)

N(t)=(b

d)N(t)

t

（1）針對(duì)時(shí)間區(qū)間

t的兩種情況進(jìn)一步討論：1）

t是一個(gè)確定的單位時(shí)間(比如

t=1年)令

Nk=N(k)=N(k

t),k=1,2,3,…得到關(guān)于序列Nk,k=1,2,3,…的差分方程:Nk+1=(b

d+1)Nk

k=1,2,3,…（2）第一章建模概念及建模方法論

根據(jù)上一年的人口數(shù)可推算出第二年的人口數(shù)以及逐年的人口數(shù).

2）在很短的時(shí)間區(qū)間

t內(nèi)，將人口數(shù)Ｎ(t)視為一個(gè)連續(xù)變量.具有很小躍變的曲線可視為平滑曲線將(1)改寫為第一章建模概念及建模方法論令

t

0,有（3）

模型分析

等式左端（以及右端）可以理解為“相對(duì)增長率”

對(duì)相對(duì)增長率做不同的假設(shè)可以建立不同的數(shù)學(xué)模型，并得到不同的解曲線.1）假設(shè)人口凈增長率b和凈死亡率d均為常數(shù)，凈相對(duì)增長率r=b

d

也是常數(shù).第一章建模概念及建模方法論

初始條件N0=N(0)，方程(3)的解為

N(t)=N0ert,t≥0

模型分析

假若凈增長率r>0,人口的預(yù)測值將以er為公比按幾何級(jí)數(shù)無限增長.（參見P60例3.4.6）原因

假設(shè)條件過于簡單.不太符合實(shí)際

英國神父Malthus在分析了一百多年人口統(tǒng)計(jì)資料的基礎(chǔ)上建立的模型.

第一章建模概念及建模方法論

實(shí)際上隨著人口不斷增長，環(huán)境資源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年齡和性別結(jié)構(gòu)等都會(huì)對(duì)出生和死亡產(chǎn)生影響，只能在極小的時(shí)間段內(nèi)才可以把人口凈增長率r近似地看著常數(shù).第一章建模概念及建模方法論3.

模型改進(jìn)將“人口