第一章 建模概念及建模方法論課件

第一章

建模概念及建模方法論第一章建模概念及建模方法論一、數(shù)學科學的重要性

由于數(shù)學的重要性和廣泛應用，在國際上“數(shù)學”（Mathematics）已逐漸被“數(shù)學科學”(MathematicalSciences）代替.

第二次世界大戰(zhàn)后，新技術、特別是高技術像雨后春筍般出現(xiàn).數(shù)學的應用，從傳統(tǒng)的機械制造等領域迅速擴展到這些高新技術中.第一章建模概念及建模方法論

目前，數(shù)學在航空航天技術，先進制造技術，信息技術，網絡技術和網絡安全，能源勘探開發(fā)，環(huán)境保護和生態(tài)，經濟管理，城市規(guī)劃和交通，基因工程和生物信息技術，生物醫(yī)學和疾病防治等方面起著非常重要的作用.科學技術是第一生產力.第一章建模概念及建模方法論*信息時代高科技的競爭本質上是數(shù)學的競爭；*“高技術”本質上是一種數(shù)學技術

(Mathematical-Technique)；*數(shù)學科學是一種關鍵的、普遍的、能夠實行的技術；

*產生新的科研手段：基于數(shù)學基礎的仿真技術.

*計算機的飛速發(fā)展促使數(shù)學得以廣泛應用；第一章建模概念及建模方法論二、數(shù)學模型與數(shù)學建模數(shù)學模型(MathematicalModel):重結果；數(shù)學建模(MathematicalModeling):重過程

模型:所研究的客觀事物有關屬性的模擬,具有事物中感興趣的主要性質.*對實體本身的模擬如:飛機形狀進行模擬的模型飛機；*對實體某些屬性的模擬如:對飛機性能進行模擬的航模比賽飛機；

第一章建模概念及建模方法論*對實體某些屬性的抽象如:一張地質圖是某地區(qū)地礦情況的抽象

任何一個模型僅為真實系統(tǒng)某一方面的理想化，決不是真實系統(tǒng)的重現(xiàn).

數(shù)學模型(E.A.Bendar定義)：關于部分現(xiàn)實世界為一定目的而做的抽象、簡化的數(shù)學結構.第一章建模概念及建模方法論數(shù)學模型是現(xiàn)實世界簡化而本質的描述.

是用數(shù)學符號、數(shù)學公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質屬性與內在聯(lián)系的理想化表述.治愈癱瘓死亡

狀態(tài)（可能）

行動（人能控制）等待治療例1.1大夫的決策問題第一章建模概念及建模方法論

可使我們明確大夫的決策取決于目標的設定及治療原則等.此模型表達了大夫能做什么,可能出現(xiàn)的結果.

數(shù)學模型是思考的工具

構造一個數(shù)學模型可幫助我們進行交流、獲得理解、加強對所采取的行動及結果的預測能力，它應有助于思考過程.第一章建模概念及建模方法論

數(shù)學建模：創(chuàng)立一個數(shù)學模型的全過程

是運用數(shù)學的思維方法、數(shù)學的語言去近似地刻畫實際問題，并加以解決的全過程.

數(shù)學建模法是一種數(shù)學的思考方法，是解決實際問題的一種強有力的數(shù)學工具.

例1.1生物醫(yī)學專家根據藥物濃度在人體內隨時間和空間變化的數(shù)學模型，可用來分析藥物的療效，有效地指導臨床用藥.第一章建模概念及建模方法論

例1.2.廠長經理們籌劃出一個合理安排生產和銷售的數(shù)學模型，可獲取盡可能高的經濟效益.諾貝爾經濟學獎獲得者建立了大量的數(shù)學模型，為世界經濟發(fā)展做出卓越貢獻：人類時間價格模型；教師與畢業(yè)生的增長模型；房屋出售問題模型；最優(yōu)消費和組合投資問題；第一章建模概念及建模方法論Selton連鎖店博弈模型；平穩(wěn)人口模型；固定匯率和浮動匯率的貨幣動力學人類時間價格的度量；考慮技術進步的生產函數(shù)…….第一章建模概念及建模方法論三、

從現(xiàn)實世界到數(shù)學模型

數(shù)學模型是溝通現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的理想橋梁面對各類問題如何建立數(shù)學模型？第一章建模概念及建模方法論1.世界的末日？

當一個直徑約為1000米的小行星正好在南極與南極洲大陸相撞,是否會產生災難性的影響？第一章建模概念及建模方法論2.如何控制噴泉的高度？

如何智能實時控制廣場中央的噴泉高度，以避免水霧浸濕游客的衣衫？第一章建模概念及建模方法論3.地球會變暖了嗎？能否根據地球過去50年的溫度數(shù)據，推測地球氣溫將怎樣變化？是否會即將出現(xiàn)“千年極寒”？第一章建模概念及建模方法論4.如何安排城市交通？巴黎凱旋門

在城市的交通要道，設置人流、汽車流的交通規(guī)則，避免交通阻塞，提高交通安全性.第一章建模概念及建模方法論

數(shù)學模型是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據特有規(guī)律,做出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具建立的一個數(shù)學結構.現(xiàn)實世界數(shù)學世界建立數(shù)學模型推理演繹求解翻譯為實際解答第一章建模概念及建模方法論實際解答

對現(xiàn)實對象的描述、分析、預報、

決策、控制等結果始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界例1.3一場筆墨官司

美國原子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里.

他們這種做法安全嗎？第一章建模概念及建模方法論

分析可從各個角度去分析造成危險的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能.

聯(lián)想：安全、危險問題的關鍵1）圓桶至多能承受多大的沖撞速度？

(40英尺/秒)2）圓桶和海底碰撞時的速度有多大？第一章建模概念及建模方法論問題轉為—求這種桶沉入300英尺的海底時的末速度.（原問題是什么?）可利用的數(shù)據條件：

圓桶的總重量W=527.327（磅）

圓桶受到的浮力B=470.327（磅）

圓桶下沉時受到的海水阻力D=Cv，C=0.08

思路利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移y(t)滿足的微分方程：

第一章建模概念及建模方法論方程的解為第一章建模概念及建模方法論

計算觸底時的碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時間t0=？分析

考慮圓桶的極限速度≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒）

實際極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！

第一章建模概念及建模方法論結論

解決問題的方向是正確的.解決思路避開求t0的難點

令

v(t)=v(y(t)),其中y=y(t)是圓桶下沉位移

代入(1)得第一章建模概念及建模方法論兩邊積分得函數(shù)方程：

若能求出函數(shù)v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(試一試)第一章建模概念及建模方法論*用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為

v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒）

*分析v=v(y)

是單調上升函數(shù)，而v

增大,y

也增大,可求出函數(shù)y=y(v)

兩種解決思路：令v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒)第一章建模概念及建模方法論y=238.4(英尺)＜300（英尺）問題的實際解答：

美國原子能委員會處理放射性廢物的做法是極其危險的，必須改變.

算出第一章建模概念及建模方法論例1.2渡口模型(P22實例六)

一個渡口的渡船營運者擁有一只甲板長32米,可以并排停放兩列車輛的渡船.他在考慮怎樣在甲板上安排過河車輛的位置,才能安全地運過盡量多的車輛.

分析

怎樣安排過河車輛，關心一次可以運多少輛各類車.

準備工作觀察數(shù)日，發(fā)現(xiàn)每次情況不盡相同，得到下列數(shù)據和情況：第一章建模概念及建模方法論(1)車輛隨機到達，形成一個等待上船的車列；

這是一個機理較復雜的隨機問題，是遵循“先到先服務”的隨機排隊問題.(2)來到車輛中,轎車約占40％，卡車約占55％,摩托車約占5％；(3)轎車車身長為3.5～5.5米,卡車車身長為8～10米.

第一章建模概念及建模方法論解決方法

采用模擬模型方法.分析

需考慮以下問題：(1)應該怎樣安排摩托車？

(2)下一輛到達的車是什么類型？(3)怎樣描述一輛車的車身長度？

(4)如何安排到達車輛加入甲板上兩列車隊中的哪一列中去？

第一章建模概念及建模方法論解決問題思路：(1)認為摩托車不會占有實際空間.(2)確定即將到達車輛類型，利用隨機模擬方法00.550.951卡車轎車摩托車(3)確定隨機到達車輛的身長車.第一章建模概念及建模方法論汽車類型及車身長模擬原理分析(4)關于車輛的排放.

甲板可停放兩列汽車，可供停車的總長為32×2=64米

排放原則兩列盡可能均衡.(怎樣實現(xiàn)？)

第一章建模概念及建模方法論

據人口學家們預測,到2033年,世界人口將突破100億,每年增加近1億人口,以后還會迅猛增長.人們開始考慮,我們賴以生存的地球究竟是否能承受如此的增長.現(xiàn)建立數(shù)學模型來預測人口的增長.

分析

設任意時刻的人口總數(shù)為N(t)，影響一個地區(qū)總人口數(shù)的最顯著的因素應包括哪些？

例2.3人口增長模型第一章建模概念及建模方法論影響因素個體的出生、死亡

遷入、遷出

年齡結構

性別比例……第一章建模概念及建模方法論

現(xiàn)僅考慮出生和死亡對人口數(shù)的影響.

在時間段

t內，出生和死亡人口數(shù)的變化將依賴于以下因素：1.時間間隔

t的長短；

2.時間間隔開始時的人口基數(shù).

1.建模過程

做最簡單的假設：時間間隔

t內的出生人數(shù)=b

N(t)

t

時間間隔

t內的死亡人數(shù)=d

N(t)

t第一章建模概念及建模方法論b和d分別是出生率和死亡率.得到一個初始模型N(t+

t)

N(t)=(b

d)N(t)

t

（1）針對時間區(qū)間

t的兩種情況進一步討論：1）

t是一個確定的單位時間(比如

t=1年)令

Nk=N(k)=N(k

t),k=1,2,3,…得到關于序列Nk,k=1,2,3,…的差分方程:Nk+1=(b

d+1)Nk

k=1,2,3,…（2）第一章建模概念及建模方法論

根據上一年的人口數(shù)可推算出第二年的人口數(shù)以及逐年的人口數(shù).

2）在很短的時間區(qū)間

t內，將人口數(shù)Ｎ(t)視為一個連續(xù)變量.具有很小躍變的曲線可視為平滑曲線將(1)改寫為第一章建模概念及建模方法論令

t

0,有（3）

模型分析

等式左端（以及右端）可以理解為“相對增長率”

對相對增長率做不同的假設可以建立不同的數(shù)學模型，并得到不同的解曲線.1）假設人口凈增長率b和凈死亡率d均為常數(shù)，凈相對增長率r=b

d

也是常數(shù).第一章建模概念及建模方法論

初始條件N0=N(0)，方程(3)的解為

N(t)=N0ert,t≥0

模型分析

假若凈增長率r>0,人口的預測值將以er為公比按幾何級數(shù)無限增長.（參見P60例3.4.6）原因

假設條件過于簡單.不太符合實際

英國神父Malthus在分析了一百多年人口統(tǒng)計資料的基礎上建立的模型.

第一章建模概念及建模方法論

實際上隨著人口不斷增長，環(huán)境資源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年齡和性別結構等都會對出生和死亡產生影響，只能在極小的時間段內才可以把人口凈增長率r近似地看著常數(shù).第一章建模概念及建模方法論3.

模型改進將“人口