山東省泰安市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

山東省泰安市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．乘積展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)為（

）A．9 B．12 C．18 D．242．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量的分布列為012則（

）A． B． C． D．4．（1+2x2）（1+x）4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．245．函數(shù)在處取得極值10，則（

）A．5 B． C．0 D．0或6．將甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到花樣滑冰，冰球，冰壺3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則甲，乙兩人分配到同一個(gè)項(xiàng)目的概率為（

）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)“你當(dāng)然不會(huì)是最差．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況？（

）A．27種 B．36種 C．54種 D．72種8．已知，，，，則，，，的大小關(guān)系正確的為（

）A． B．C． D．二、多選題9．某體育器材廠生產(chǎn)一批乒乓球，設(shè)乒乓球的直徑為（單位：厘米），若，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．越小，越大10．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線是曲線的切線B．有三個(gè)零點(diǎn)C．D．若在上有最大值，則的取值范圍為11．對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同構(gòu)造等式，這種方法稱(chēng)為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項(xiàng)式定理，可以得到很多有趣的組合恒等式.例如：考察恒等式，左邊的系數(shù)為，而右邊，的系數(shù)為，因此可得到組合恒等式.利用算兩次的思想方法或其他方法，可以得出下面有關(guān)組合數(shù)的等式，正確的是（

）A．B．C．D．三、填空題12．用這9個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是.13．已知，，，則.14．若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值集合為.四、解答題15．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中.(1)若，求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；(2)若展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，求最小的正整數(shù)的值.16．在一盒中裝有大小形狀相同的10個(gè)球，其中5個(gè)紅球，3個(gè)黑球，2個(gè)白球.(1)若從這10個(gè)球中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽1個(gè)球，每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為，求的分布列；(2)若從這10個(gè)球中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽取1個(gè)球，每次抽取后都不放回，設(shè)取到紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列和均值.17．已知.(1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；(2)當(dāng)，且時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值.18．甲，乙兩人參加投籃比賽，比賽規(guī)則如下：首次投籃者由抽簽決定，后續(xù)兩人輪流投籃，每人每次投一個(gè)球，投進(jìn)得1分，投不進(jìn)不得分，兩人投進(jìn)與否相互獨(dú)立，甲乙兩人各完成一次投籃記為一輪比賽.比賽過(guò)程中，只要有選手領(lǐng)先對(duì)方2分，則該選手獲勝且比賽結(jié)束（不管該輪比賽有沒(méi)有完成）.已知甲每次投進(jìn)的概率為，乙每次投進(jìn)的概率為.第一輪投籃后甲乙兩人各積1分的概率為.記比賽結(jié)束時(shí)甲乙兩人的投籃總次數(shù)為.(1)求；(2)求在的情況下，乙獲勝的概率；(3)求甲在3輪比賽之內(nèi)獲勝的概率.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)于函數(shù)，，若存在，使，則稱(chēng)函數(shù)與為“互補(bǔ)函數(shù)”，，為“互補(bǔ)數(shù)”.已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與為“互補(bǔ)函數(shù)”且互補(bǔ)數(shù)為.（ⅰ）是否存在，使？并說(shuō)明理由；（ⅱ）若，，請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示的最小值.

山東省泰安市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678910答案DDCABBCDACBD題號(hào)11答案ABD1．D【詳解】從第一個(gè)括號(hào)中選一個(gè)字母有3種方法，從第二個(gè)括號(hào)中選一個(gè)字母有2種方法，第三個(gè)括號(hào)中選一個(gè)字母有4種方法，故根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有（項(xiàng)）．故選：D2．D【詳解】依題意，，因?yàn)?，所以，所以切線方程為，即，故選：D.3．C【詳解】易知，解得；所以分布列為012因此.故選：C4．A【詳解】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．5．B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由在處取得極值10，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上遞增，無(wú)極值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，所以.故選：B6．B【詳解】將5名志愿者分為3組，每組的人數(shù)分別為1、1、3或2、2、1，當(dāng)每組的人數(shù)分別為1、1、3時(shí)，不同的方案共有種，當(dāng)每組的人數(shù)分別為2、2、1，不同的方案共有種；總的分配方案數(shù)為，除了甲乙剩余3人分成兩類(lèi)：一類(lèi)是3個(gè)項(xiàng)目各一個(gè)志愿者，不同的方案共有種；一類(lèi)是一個(gè)項(xiàng)目一個(gè)志愿者，一個(gè)項(xiàng)目0個(gè)志愿者，一個(gè)項(xiàng)目2個(gè)志愿者，不同的方案共有種；乙兩人分配到同一個(gè)項(xiàng)目的分配方案共種，所以甲，乙兩人分配到同一個(gè)項(xiàng)目的概率為，故選：B7．C【詳解】解：由題意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3種情況；再排甲，也有3種情況；余下3人有種排法．故共有種不同的情況．故選：C.8．D【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；因?yàn)?，，又，故A錯(cuò)；，所以，故B錯(cuò)；因?yàn)?，故C錯(cuò)；因?yàn)?，所以，所以，故D對(duì)；故選：D9．AC【詳解】對(duì)于正態(tài)分布，其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．已知，則該正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)．所以，選項(xiàng)正確．，，，．由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤．因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，3.95與4.05關(guān)于對(duì)稱(chēng)．所以，C選項(xiàng)正確．越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中在均值附近，正態(tài)分布曲線越“瘦高”．那么越小，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．10．BD【詳解】對(duì)于A，由，則，由直線，則其斜率為，令，即，解得，，可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由，，，，即，則函數(shù)在，，分別存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B可知函數(shù)在取得極大值，由，則，解得，故D正確.故選：BD.11．ABD【詳解】A選項(xiàng)，，左邊的系數(shù)為，右邊，故的系數(shù)為，故，A正確；B選項(xiàng)，在個(gè)人中選人搞衛(wèi)生工作，其中人擦窗戶(hù)，人拖地，共有多少種不同的方法？方法一：先從在個(gè)人中選人，再?gòu)倪x出的人中選出人擦窗戶(hù)，共有種不同的方法；方法二：先從在個(gè)人中選人擦窗戶(hù)，再?gòu)氖Ｓ嗟娜酥羞x人拖地，故共有種方法；故，B正確；C選項(xiàng)，，，左邊的系數(shù)為，右邊的系數(shù)為，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由題干可得，故，即①，由C可知，，則②，故①-②得，所以，D正確.故選：ABD12．448【詳解】用這9個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是.故答案為：.13．/【詳解】由全概率公式可得，則由題意可得，解得.故答案為：14．【詳解】令有且僅有一個(gè)根，且所以，在上有且僅有一個(gè)根，當(dāng)，則令且，則所以在上單調(diào)遞增，x趨向于0時(shí)，x趨向于1時(shí)所以當(dāng)，則令在上單調(diào)遞減，且，x趨向于+∞時(shí)所以綜上所得，故答案為：.15．(1)60(2)5【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式的通項(xiàng)為令，解得所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)，由于展開(kāi)式含有常數(shù)項(xiàng)，可得即，又即當(dāng)時(shí)，取最小值5，此時(shí)展開(kāi)式含有常數(shù)項(xiàng)，因此最小的正整數(shù)的值為5.16．(1)分布列見(jiàn)解析(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）若每次抽取后最放回，則每次取到黑球的概率均為，取到小球的個(gè)數(shù)∴∴的分布列為0123（2）若每次抽取后都不放回，取到小球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布∴的分布列為012317．(1)(2).【詳解】（1）因，則，因在上為增函數(shù)，則即在上恒成立，則，又在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，則，故的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，，則，設(shè)，，則，則在單調(diào)遞增，因，，則存在使，即，所以當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則所以，又因，故的最大值為.18．(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意可知：∴（2）當(dāng)時(shí)，甲，乙兩人共投籃3次由于比賽結(jié)束，故有一人投籃2次全進(jìn)，另一人投籃1次未進(jìn)設(shè)“時(shí)，比賽結(jié)束”，“乙獲勝”；（3）若甲在3輪比賽之內(nèi)獲勝，則兩人可能的投籃總次數(shù)為3，4，5，6設(shè)“甲獲勝”，“時(shí)比賽結(jié)束”當(dāng)時(shí)，若甲勝，兩人的投籃情況一定為：甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)，∴當(dāng)時(shí)，若甲勝，兩人的投籃情況一定為：乙不進(jìn)，甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)，則當(dāng)時(shí)，若甲勝，兩人的投籃情況可能為：甲不進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)；甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲不進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)；甲進(jìn)，乙進(jìn)，甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)；∴當(dāng)時(shí)，若甲勝，則乙先投籃，兩人的投籃情況可能為：乙不進(jìn)，甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲不進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)；乙不進(jìn)，甲不進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)；乙不進(jìn)，甲進(jìn)，乙進(jìn)，甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)；乙進(jìn)，甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)，乙不進(jìn)，甲進(jìn)；∴∴甲在3輪比賽之內(nèi)獲勝的概率為19．(1)答案見(jiàn)解析(2)（?。┐嬖冢碛梢?jiàn)解析；（ⅱ）【詳解】（1）∵，∴，①當(dāng)時(shí)