空間角（精講）（原卷版）

7.3空間角（精講）空間角的概念及范圍空間角解題思路夾角范圍線線角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為則線面角l為平面α的斜線，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))二面角平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，設(shè)二面角大小為φ，則一．異面直線所成的角1.幾何法:平移法求異面直線所成的角(1)作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；（2）證：證明作出的角是異面直線所成的角；（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．2.向量法(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.二．直線與平面所成角1.幾何法一作(找)角，二證明，三計(jì)算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.2.向量法（1）斜線的方向向量（2）平面的法向量（3）斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（或鈍角的補(bǔ)角），取其余角就是斜線和平面所成的角.三．二面角1.幾何法方法一：定義法：找出二面角的平面角方法二：垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2.向量法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小；（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.考法一線線角【例11】（2023·河南洛陽）如圖四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【例12】（2023秋·陜西漢中）在三棱錐中，，的邊長均為6，P為AB的中點(diǎn)，則異面直線PC與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·北京）如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開學(xué)考試）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面為正方形，是正三角形，，平面平面，則與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．考法二線面角【例21】（2023秋·福建福州）如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．

(1)求證：平面平面ABCD；(2)已知，求直線BN與平面ACN所成角的正弦值．【例22】（2023秋·湖北）如圖，在四棱臺(tái)中，底面，M是中點(diǎn).底面為直角梯形，且，，.

(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【一隅三反】1．（2022秋·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．2．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，A，為底面圓上兩點(diǎn)，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.3．（2023春·北大附中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，.

(1)設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.考法三二面角【例31】（2023秋·廣東）如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

(1)證明：平面BCD.(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.【例32】（2023春·湖南永州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在正方體中，E、F分別是棱AB、CD的中點(diǎn).

(1)求證：面；(2)求二面角的大小.【一隅三反】1．（2023秋·山西呂梁·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)．(1)若，求證：平面平面；(2)若，，求平面與平面的夾角的余弦值．2．（2023秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長；(2)若為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.4．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，.(1)證明：平面平面ABCD；(2)若，，求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.考法四動(dòng)點(diǎn)問題求角【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點(diǎn).(1)平面⊥平面ABF(2)若平面⊥平面，設(shè)平面與平面所成角為，是否存在點(diǎn)G，使得，若存在確定G點(diǎn)位置；若不存在，請說明理由.【一隅三反】1．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點(diǎn).(1)平面平面，證明：；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，試確定點(diǎn)的位置.2．（2023秋·湖南衡陽·高三?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面圖形中，，，，，沿