（小專(zhuān)題沖刺訓(xùn)練）四邊形壓軸題-2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題突破VIP

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)（小專(zhuān)題沖刺訓(xùn)練）四邊形壓軸題2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題突破1．如圖，已知平行四邊形，、分別是邊、的點(diǎn)，且，，聯(lián)結(jié)、．(1)如果，求證：；(2)寫(xiě)出（1）的逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論．2．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，連接、，，連接、相交于點(diǎn)，請(qǐng)你從以下三個(gè)選項(xiàng)：①；②；③中選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為補(bǔ)充條件，使得四邊形是菱形．(1)你選擇的補(bǔ)充條件是__________；（填序號(hào)）(2)根據(jù)你選擇的補(bǔ)充條件，寫(xiě)出四邊形是菱形的證明過(guò)程．3．如圖，的邊和的邊在同一條直線上，，，，連接，．(1)求證：①；②四邊形是平行四邊形．(2)若四邊形為菱形，，，求線段的長(zhǎng)．4．如圖，在矩形中，，，是邊上的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．連接，把沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)的長(zhǎng)度為．(1)的長(zhǎng)度為_(kāi)_______；（用含有的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，證明；(3)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的面積；(4)當(dāng)直線經(jīng)過(guò)矩形頂點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．5．如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在上，且，連接．(1)判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明；(2)求的大??；(3)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接用等式寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．6．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，以為斜邊向下作等腰直角，連結(jié)．(1)求證：；(2)當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)線段的長(zhǎng)度的最小值是__________；(4)當(dāng)點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部時(shí)，四邊形面積的最大值是__________，此時(shí)線段的長(zhǎng)度是__________．7．如圖1，在正方形中，，點(diǎn)P，Q分別在邊，上，．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，所在直線交直線于點(diǎn)M，連接．(1)與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖3，若點(diǎn)Q與M重合于左側(cè)，且，求t的值；(4)若，當(dāng)點(diǎn)M為中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的值．8．如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上點(diǎn)F處，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)M、N分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)．若時(shí)，求長(zhǎng)度．是否存在這樣的點(diǎn)N，使是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)點(diǎn)在邊上，連接，，，．求的長(zhǎng)．10．如圖1，四邊形是矩形，以為圓心長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作交于點(diǎn)．(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、．①如圖2所示，當(dāng)在線段上時(shí)，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（i）求證：；（ⅱ）求證：．②如圖3所示，若，，將沿直線翻折得到，其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至某一位置時(shí)，是否存在旋轉(zhuǎn)得到的與關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，在圖3中畫(huà)出，連接，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，在矩形中，，為上一點(diǎn)，且，連結(jié)，是中點(diǎn)，連結(jié)，以為直徑作；(1)用a的代數(shù)式表示___________，___________；(2)求證：必過(guò)的中點(diǎn)：(3)若與矩形各邊所在的直線相切時(shí)，求的值；(4)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，若落在矩形內(nèi)部（不包括邊界），則的取值范圍___________，（直接寫(xiě)出答案）12．如圖，在中，，分別是，的中點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)當(dāng)________時(shí)，四邊形為菱形．13．問(wèn)題背景：如圖1，在平行四邊形中，，，于點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：小知發(fā)現(xiàn)，他的做法是過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)K，請(qǐng)根據(jù)小知的做法完成的證明；(2)問(wèn)題探究：如圖2，在（1）的結(jié)論下，連接，H為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接、、，猜想線段，之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；(3)問(wèn)題拓展：如圖3，在（2）問(wèn)情況下，將沿翻折得到，連接，當(dāng)取得最小值時(shí)，此時(shí)將線段沿著所在直線進(jìn)行平移得到對(duì)應(yīng)線段，連接、，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．14．如圖1，已知四邊形是菱形．，點(diǎn)在菱形的對(duì)角線與上，的兩邊分別交邊于點(diǎn)，且連接交于點(diǎn)，在的異側(cè)．(1)當(dāng)時(shí)，①求證：；②如圖2，過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，連接．求證：四邊形是矩形；③在②的條件下，當(dāng)四邊形是正方形，時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．(2)如圖3，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積．15．如圖，矩形中，．一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿對(duì)角線方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，連接．(1)求證：；(2)四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．16．如圖1，在正方形中，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接、．(1)求證：；(2)在圖1中，若在上，且，連接，請(qǐng)判斷三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)，運(yùn)用（1）、（2）解答中積累的經(jīng)驗(yàn)，完成下列各題：①如圖2，在四邊形中，，，，是的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)；②如圖3，在菱形中，，、分別在和上，且，連接．若，，求線段的長(zhǎng)度．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《（小專(zhuān)題沖刺訓(xùn)練）四邊形壓軸題-2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題突破》參考答案1．(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）如果，可得四邊形是菱形，則，，，證明，即可得；（2）先證明關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而證明得出，則，從而得出，即可得出四邊形是菱形，則【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）解：逆命題：如果，則，真命題；如圖，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，設(shè)，，∵，，∴，∴∴，∴∵是對(duì)角線，∴∴即∴到的距離相等，且位于的兩側(cè)，又∴關(guān)于對(duì)稱連接，如圖∵四邊形是平行四邊形，且，關(guān)于對(duì)稱，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，寫(xiě)出命題的逆命題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．(1)①或③(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）添加合適的條件即可；（2）證四邊形是平行四邊形，再由一組臨邊相等的平行四邊形是菱形，或?qū)蔷€垂直的平行四邊形是菱形即可證明．【詳解】（1）解：補(bǔ)充條件①或③皆可，（答案不唯一）；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，即．∵，∴四邊形是平行四邊形．補(bǔ)充條件①：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形．補(bǔ)充條件③：∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形．注：答案不唯一，上面任意一種方案正確均給分（選項(xiàng)②不能作為補(bǔ)充條件）．3．(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)得，即可證得；②由①得，可得、，證得，即可得證四邊形是平行四邊形．（2）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得、、，利用勾股定理求出，利用面積法求出，再利用勾股定理求出，計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：①，，在和中，，；②由（1）知，，，，四邊形是平行四邊形．（2）解：如圖，連接，交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，在中，，，，，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定和菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．(1)(2)見(jiàn)詳解(3)或(4)或【分析】（1）根據(jù)線段和差即可得解；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，可得，進(jìn)而可得，由，得，即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)直角的不同可分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可推出，以此得到，即可求解；②當(dāng)時(shí)，可得M，，C三點(diǎn)共線，由，，根據(jù)勾股定理可得，則，再根據(jù)勾股定理，列出方程，求解，進(jìn)而求面積即可．（4）分兩種情況：①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)矩形頂點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)直線經(jīng)過(guò)矩形頂點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖形分別求解即可．【詳解】（1）解：，的長(zhǎng)度為，，故答案為：；（2）證明：為中點(diǎn)，，由折疊可得，，，，，，；（3）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，，，∵，∴，，，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，，，∴三點(diǎn)共線，，，在中，，，在中，由勾股定理得，即，解得：，∴；綜上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的面積為或；（4）解：①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)矩形頂點(diǎn)時(shí)，如圖所示：由（3）可得的長(zhǎng)為；②當(dāng)直線經(jīng)過(guò)矩形頂點(diǎn)時(shí)，如圖所示：連接，在中，，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，即，，，綜上所述，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)矩形頂點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換、勾股定理、矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意對(duì)不同的直角進(jìn)行分情況討論，再分別利用勾股定理和翻折的性質(zhì)解答．5．(1)，見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明，后根據(jù)等量代換解答即可．（2）過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)M，點(diǎn)G作于點(diǎn)N，利用三角形的全等，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)解答即可．（3）連接，過(guò)點(diǎn)P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)點(diǎn)P，C關(guān)于直線對(duì)稱，得到，根據(jù)（2）得，得到，證明，得到，得到，繼而證明．【詳解】（1）解：，理由如下：∵正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)M，點(diǎn)G作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，∵正方形，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵∴，∴，∵，∴．（3）證明：連接，過(guò)點(diǎn)P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵點(diǎn)P，C關(guān)于直線對(duì)稱，∴，根據(jù)（2）得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，對(duì)稱思想，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)見(jiàn)解析(2)(3)1(4)，【分析】（1）先利用線段的中點(diǎn)證得，再利用矩形的性質(zhì)證得，進(jìn)而證得，，然后利用即可證明；（2）先證明，再列出比例式，然后利用矩形的性質(zhì)、線段中點(diǎn)的意義，分別求出，，代入比例式后求得，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得；（3）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合矩形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)證明，推出點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)沿到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在平行于的直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡只占直線的一部分），根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)時(shí)，最短，畫(huà)出圖形，再利用矩形的性質(zhì)與判定求解，即可解題；（4）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證明為矩形，再利用證明，設(shè)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可用表示出，，根據(jù)四邊形的面積，得到關(guān)于的二次函數(shù)，最后結(jié)合二次函數(shù)的最值情況求出四邊形的面積最大值．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，∴，，∴，∴；（2）解：如圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為斜邊向下作等腰直角，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，解得，又，∴．（3）解：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，，，，，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為斜邊向下作等腰直角，∴，，，，為定值，且，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)沿到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在平行于的直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡只占直線的一部分），根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)時(shí)，最短，如圖，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，，，，，為等腰直角三角形，有，，；即的最小值為1，故答案為：1；（4）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，∴，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，即，又，，∴四邊形為矩形，∴，，由（3）可知，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，，∴（），設(shè)，∴，∴，，四邊形的面積==，∵點(diǎn)在矩形內(nèi)部，∴，解得，，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積有最大值．即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積有最大值．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰直三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)相似三角形，列出比例式求出待求線段的長(zhǎng)．7．(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)(4)或【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，證明，得出，，令交于，再由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解；（2）過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，由正方形的性質(zhì)可得，，證明，得出，，從而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，即可得解；（3）過(guò)點(diǎn)作交于，由題意可得為等腰直角三角形，則，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合題意得出，從而可得，，最后再由勾股定理計(jì)算即可得解；（4）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，連接、，作交于，作交于，作交于；當(dāng)時(shí)，連接、，作交于，作交的延長(zhǎng)線于，作交于；分別求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，即，∵，∴，∴，，令交于，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∵在四邊形中，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于，由題意可得：為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，由勾股定理可得：，∴，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去），故；（4）解：由題意可得：為等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，，∴，如圖，當(dāng)時(shí)，連接、，作交于，作交于，作交于，由（1）可得：，∵點(diǎn)M為中點(diǎn)，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，連接、，作交于，作交的延長(zhǎng)線于，作交于，同理可得：，，∴，∴；綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定由性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類(lèi)討論的思想是解此題的關(guān)鍵．8．(1)；(2)①；②的值為或．【分析】（1）由翻折可知：，設(shè)，則．在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．（2）①由（1）可得：，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，證明，得到，求出，則，，設(shè)，則，證明，得到，即，求解即可；是直角三角形，只有或，分兩種情形畫(huà)出圖形分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，，由翻折可知：，設(shè)，則，在中，，∴，在中，則有：，∴，∴；（2）解：①由（1）可得：，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，在中，，設(shè)，則，在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴；②∵是直角三角形，，∴只有或，當(dāng)時(shí)，如圖：∵，，，∴，∴，在中，，在中，，∵，∴，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖：，，，，，，，，，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形性質(zhì)得，則，再根據(jù)點(diǎn)F是的中點(diǎn)，得四邊形是平行四邊形，再結(jié)合即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)菱形性質(zhì)得，則，再根據(jù)矩形性質(zhì)得，，證明，進(jìn)而得和相似，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是菱形，，，∴，，在中，由勾股定理得：，∵四邊形是矩形；∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的外角，∴，∴，又∵，∴，∴，即，解得：．10．(1)四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析(2)①（?。┮?jiàn)解析（ⅱ）見(jiàn)解析②存在，，圖見(jiàn)解析【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，結(jié)合可證明四邊形是菱形；（2）①（i）證明，，根據(jù)可證明；（ii）證明，，根據(jù)證明即可；②根據(jù)題意畫(huà)出，求出，得出，根據(jù)勾股定理可求出．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：∵四邊形是矩形，∴，即；又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：①（i）∵四邊形是矩形∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵菱形中，，∴，即，又∵，∴，（ii）由旋轉(zhuǎn)得，，又∵菱形中，，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴；②存在，如圖，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，B是定點(diǎn)，且A、B是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即的垂直平分線為對(duì)稱軸．如圖：∵，，∵四邊形是矩形，四邊形是菱形，∴，，∴，∵∴，∴，∴．11．(1)，；(2)見(jiàn)解析(3)a的值為或(4)【分析】本題是圓和四邊形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、矩形與折疊問(wèn)題，第三問(wèn)和第四問(wèn)中采用分類(lèi)討論的思想，注意不要丟解，第四問(wèn)有難度，準(zhǔn)確畫(huà)出圖形是關(guān)鍵．（1）如圖1，根據(jù)勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，代入可得結(jié)果；（2）如圖1，證明四邊形是矩形，得，所以必過(guò)的中點(diǎn)；（3）因?yàn)椴豢赡芘c邊和相切，所以分兩種情況：①如圖2，當(dāng)與邊相切時(shí)，根據(jù)中，，列式，求的值；②如圖3，當(dāng)與邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)：且，列式可得結(jié)論；（4）分別計(jì)算當(dāng)最小和最大時(shí)，即在邊上和邊上，作輔助線，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，由線段垂直平分線的性質(zhì)列式可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，四邊形是矩形，，在中，，，由勾股定理得：，設(shè)交于，連接，是的直徑，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，由勾股定理得：，，故答案為：；；（2）解：如圖1，設(shè)交于，連接，是的直徑，，，四邊形是矩形，，是的中點(diǎn)，即必過(guò)的中點(diǎn)；（3）解：分兩種情況：①如圖2，當(dāng)與邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接、交于，則，由（2）得，，，，，，，，四邊形為矩形，，，，，在中，，，解得，，，②如圖3，當(dāng)與邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接，則，連接，交于，同理可得，，，，由（1）知：且，，解得，綜上所述，若與矩形各邊所在的直線相切時(shí)，的值為或；（4）解：如圖4，當(dāng)?shù)膶?duì)稱點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，連接交于，連接、，過(guò)作，交于，交于，則，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，是的垂直平分線，，，由（1）（2）得：，，，由勾股定理得：即，解得：（舍，，當(dāng)時(shí)，落在矩形外部（包括邊界）；如圖5，當(dāng)落在邊上時(shí)，連接、，設(shè)交于，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，四邊形為矩形，，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，是的垂直平分線，，，，，，，在中，，解得（負(fù)值舍去），的取值范圍是：，故答案為：．12．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定，理解并掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）由題意可知為的中位線，得，結(jié)合，即可證明四邊形為平行四邊形；（2）由直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得，再結(jié)合四邊形為平行四邊形可知四邊形為菱形．【詳解】（1）證明：∵，分別是，的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，即，又∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；理由如下：∵，是的中點(diǎn)，∴，又∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形為菱形．故答案為：．13．(1)見(jiàn)詳解(2)，(3)3【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，過(guò)點(diǎn)F作交AB于點(diǎn)K，利用角度直角的互余關(guān)系可得，由，，可得，可知，，可證，即可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，連接，結(jié)合題意可知是等腰直角三角形，則，再證，進(jìn)而可證明，得，，再證得，，可證得是等腰直角三角形，根據(jù)，即為的中點(diǎn)，可得結(jié)論；（3）連接，，由軸對(duì)稱可知，，，，可知為等腰直角三角形，則，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)作，則，得，可知，，即在上方，且距離為2的直線上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，取的中點(diǎn)，則，，即在上，再證，則，即此時(shí)為的中點(diǎn)，亦即在上，得，可知四邊形是矩形，則，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于，則四邊形是矩形，得，，則，由平移可知，，作，且，則四邊形是平行四邊形，可知，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，此時(shí)在上，再證，得，即可求解．【詳解】（1）證明：在平行四邊形中，，∵，則，∴，過(guò)點(diǎn)F作交AB于點(diǎn)K，∵，則，∴，∵，，∴，∴，，∴，；（2）解：，，理由如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，連接，∵，，則是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∴，又∵為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∵，即為的中點(diǎn)，∴，；（3）連接，，由軸對(duì)稱可知，，，，∵，，∴為等腰直角三角形，則，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)作，則，，∴，∴，∴，，即在上方，且距離為2的直線上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，取的中點(diǎn)，則，，即在上，∴，則，∵，∴，則，即此時(shí)為的中點(diǎn)，亦即在上，∴，即，可知四邊形是矩形，則，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于，則四邊形是矩形，∴，，則，由平移可知，，作，且，則四邊形是平行四邊形，∴，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，此時(shí)在上，令交于，交于，∵在上，，，∴，又∵，∴，則∴，由（2）可知，由軸對(duì)稱可知，∴，又∵，∴，∴，∴，綜上，的最小值為3．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，證得在上方，且距離為2的直線上，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；③；(2)【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得垂直平分，即可證明；②由菱形的性質(zhì)以及已知條件證明可得，再說(shuō)明可證四邊形是平行四邊形，再說(shuō)明即可證明結(jié)論；③如圖：連接，是等邊三角形，即，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得，，進(jìn)而得到；再說(shuō)明，進(jìn)而得到，，再結(jié)合四邊形是正方形可得，即；然后由勾股定理列方程求得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．（2）如圖：連接交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得、、，再結(jié)合已知條件運(yùn)用勾股定理可得，即或；經(jīng)分析不符合題意；當(dāng)時(shí)，如圖：過(guò)M作，易證可得，進(jìn)而得到；再根據(jù)30度直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得、，然后根據(jù)以及三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖：∵四邊形是菱形，∴平分，即，∵，∴，即是線段的垂直平分線，∴；②∵四邊形是菱形，∴，，，，∵∴，即，∵，∴