結(jié)構(gòu)化視域下小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”板塊教學(xué)的設(shè)計及實施

【摘要】新課標(biāo)強調(diào)，在教學(xué)中建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系，促進學(xué)生從內(nèi)到外深度理解知識、發(fā)展結(jié)構(gòu)性思維?！捌叫兴倪呅蚊娣e”的教學(xué)重在讓學(xué)生經(jīng)歷測量活動，逐步推理面積計算方法，從整體化的視角進行“面積”概念本質(zhì)的統(tǒng)一化：面積的大小=每排面積單位個數(shù)×排數(shù)，從而讓學(xué)生建構(gòu)與表達平面圖形面積概念和計算方法的一致性，有效發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化教學(xué)教學(xué)一致性教學(xué)設(shè)計小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)平面圖形的面積圖形與幾何是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，其中，“圖形的認識和測量”是有效發(fā)展學(xué)生量感和推理意識的重要板塊?！捌叫兴倪呅蚊娣e”是小學(xué)階段平面圖形面積教學(xué)中的重要內(nèi)容，它承接在長方形、正方形面積的基礎(chǔ)之上的教學(xué)，又引領(lǐng)三角形面積、梯形面積及圓面積的教學(xué)，地位突出、作用巨大。教材中，這一內(nèi)容的教學(xué)通過引導(dǎo)學(xué)生通過剪切、平移等方法，逐步推理得到平行四邊形的面積計算公式，這無法滿足新課標(biāo)提倡結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識和教學(xué)一致性的要求。因此，統(tǒng)整教材、系統(tǒng)設(shè)計成為教學(xué)這一內(nèi)容的必然路徑。本文圍繞這節(jié)課的設(shè)計與實踐，探尋新課標(biāo)背景下小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計與實踐的可能樣態(tài)。一、新、舊教材過渡時期的嘗試與破局如何基于新課標(biāo)，對教材內(nèi)容和結(jié)構(gòu)進行有效的整編和調(diào)整是每位教師面臨的難題。因此，筆者進行了“平行四邊形面積”一課教學(xué)前的解構(gòu)和分析，并形成了初步的想法和實踐指向。（一）關(guān)注核心理念，確立素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)新課標(biāo)將“圖形的認識與測量”并為一個主題，這不是詞語的簡單合并，而是在表達圖形的認識離不開測量，測量的過程也是認識圖形的過程。因此，本節(jié)課應(yīng)定性為一節(jié)數(shù)學(xué)測量課，而非一節(jié)面積計算課。教師要以“量起源于量”為核心理念，引導(dǎo)學(xué)生在圖形的測量過程中，逐步建構(gòu)知識體系和認知結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中，可嘗試讓學(xué)生在利用已有經(jīng)驗測量平行四邊形面積的過程中，體會到平行四邊形面積的大小與一組相互垂直的線段有關(guān)，即底和高，從而從圖形的關(guān)鍵元素上引導(dǎo)學(xué)生感知圖形的面積的計算方法，從而更加系統(tǒng)、深刻地完成平行四邊形面積計算方法的逐步建構(gòu)，有效提升量感和增強推理意識。其中，還逐步指引學(xué)生經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的過程，培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)歷程中發(fā)展提升知識技能和學(xué)科素養(yǎng)。（二）重在具身學(xué)習(xí)，豐富學(xué)生參與的學(xué)習(xí)歷程具身學(xué)習(xí)是有效幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要方式，同時具身學(xué)習(xí)可以有效對接學(xué)生已有的實踐經(jīng)驗，幫助學(xué)生形成具有生長性的認知結(jié)構(gòu)。因此，本節(jié)課重在讓學(xué)生經(jīng)歷測量過程，讓學(xué)生在“面積的大小=每排面積單位個數(shù)×排數(shù)”的概念本質(zhì)的基礎(chǔ)上，充分進行“面積單位個數(shù)”的測量，逐步積累有效的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。相比于傳統(tǒng)意義上的從“割補”“轉(zhuǎn)化”的路徑去研究平行四邊形的面積，本節(jié)課在兩次測量活動的過程中引導(dǎo)學(xué)生觀察比較、主動思考、推理想象，讓學(xué)生自然完成了從“直接測量”到“間接測量”的過渡，逐步探索出平行四邊形的面積計算公式。（三）打通前后聯(lián)系，建構(gòu)融通一致的認知結(jié)構(gòu)“教學(xué)一致性”是新課標(biāo)對數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)和實踐的重點要求，也是有效發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的必然要求。因此，在這節(jié)課中，如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的一致性值得重點關(guān)注。筆者在研究中主要從教學(xué)內(nèi)容和思想方法兩個層面體現(xiàn)教學(xué)一致性。首先，喚醒學(xué)生已有的長方形面積計算知識和推導(dǎo)的經(jīng)驗，明確“平面圖形面積的大小就是包含面積單位的多少”這一核心概念。因此，在平行四邊形面積的研究探索中，也是圍繞面積單位的多少進行測量和推理，從而打通了前后知識的聯(lián)系，完成平面圖形面積概念的一致性表達和圖形面積測量方法的一致性呈現(xiàn)。其次，在測量過程中，逐步優(yōu)化測量方法，引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，感受對應(yīng)這兩種圖形要素的關(guān)聯(lián)（底—長，高—寬），從而推理出平行四邊形面積計算公式。這體現(xiàn)了將未知問題（平行四邊形面積公式）轉(zhuǎn)化為已知知識（長方形面積公式）的數(shù)學(xué)思想方法。二、“平行四邊形面積”教學(xué)設(shè)計與評析以下呈現(xiàn)了“平行四邊形面積”一課的課堂實錄和教學(xué)評析，較為精練地展示了這節(jié)課的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和實踐過程，并為小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”板塊的結(jié)構(gòu)化教學(xué)提供設(shè)計與實踐方向。（一）借助長方形框架，孕伏圖形間聯(lián)系提問：這是一個長方形框架，指一指它的面積在哪里?；仡櫍哼€記得長方形的面積公式是如何推導(dǎo)出來的嗎？說明：長方形面積的大小就是數(shù)出長方形里包含多少個面積單位。強調(diào)：根據(jù)乘法的意義，可以優(yōu)化數(shù)的方法，只要沿著長數(shù)出每排面積單位的個數(shù)，再沿著寬數(shù)出排數(shù)，用“每排面積單位的個數(shù)×排數(shù)”就能知道包含了多少個面積單位。（二）研學(xué)探究，逐步建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.框架變形，提出猜想思考：瞧，從長方形變?yōu)槠叫兴倪呅危荛L和面積有沒有變化？明確：周長不變，仍是四條邊的總長；而對于面積變化，學(xué)生的看法不同。操作：師生一起下壓長方形框架，直觀感受圖形的面積變化。提問：平行四邊形的面積大小與它的什么有關(guān)？揭示課題：今天這節(jié)課，我們一起來深入研究平行四邊形的面積。【設(shè)計意圖】課堂教學(xué)要關(guān)注學(xué)生認知的現(xiàn)實起點和邏輯起點，注重學(xué)生現(xiàn)有的認知發(fā)展水平和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。長方形面積的概念和計算方法是學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形面積的重要知識儲備，引導(dǎo)學(xué)生主動將研究長方形面積的知識基礎(chǔ)、活動經(jīng)驗、認知方法等遷移過來，并借助活動框架變形的直觀感受，初步感知平行四邊形的面積含義，從而有效搭建新舊知識的橋梁。2.研學(xué)任務(wù)1：多方法自主測量平行四邊形的面積圍繞學(xué)習(xí)探究單中研學(xué)任務(wù)1，對提出的“平行四邊形里面包含多少個面積單位”這一問題，學(xué)生借助方格紙進行解決。①呈現(xiàn)研究結(jié)果，學(xué)生對比交流。學(xué)生上臺展示，逐一進行交流。②理解測量方法，探尋測量本質(zhì)。提問：回顧這些方法，它們有什么共同點？說明：這些測量方法都解決了有幾個面積單位的問題，抓住了研究問題的本質(zhì)。③比較優(yōu)化，篩選最優(yōu)方法。提問：你比較喜歡哪種方法？明確：將平行四邊形沿高剪開，平移、拼接成長方形，方便數(shù)出面積單位的個數(shù)?！驹O(shè)計意圖】在第一次研究中，重點圍繞“圖形面積測量的本質(zhì)就是看這個圖形包含多少個面積單位”展開教學(xué)，這既是面積內(nèi)涵的本質(zhì)呈現(xiàn)，也是學(xué)生在長方形面積學(xué)習(xí)過程中的已有經(jīng)驗。教師引導(dǎo)學(xué)生借助方格紙進行直接測量，并在測量過程中對比不同測量方法的優(yōu)劣，再通過交流研討，遷移已有知識經(jīng)驗，初步感知平行四邊形面積的概念內(nèi)涵和測量方法。3.研學(xué)任務(wù)2：優(yōu)化測量方法，轉(zhuǎn)化推理方法啟迪：用你最喜歡的方法測量兩個平行四邊形，并看看有什么新發(fā)現(xiàn)。研究：研學(xué)任務(wù)單呈現(xiàn)兩種不同形狀的平行四邊形，學(xué)生隨機測量，并進行對比研究與思考。交流：深入交流，體會將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形進行研究的方法，以及兩種圖形要素之間的聯(lián)系，感受推理的數(shù)學(xué)研究方法。發(fā)現(xiàn)：長方形的長相當(dāng)于平行四邊形的底，寬相當(dāng)于平行四邊形的高。提煉：總結(jié)平行四邊形面積的計算方法為“底×高”?！驹O(shè)計意圖】第二次測量是在第一次測量的基礎(chǔ)上的進一步操作，重點圍繞“怎樣很快知道平行四邊形包含多少個面積單位”這一問題進行活動探究，讓學(xué)生在測量過程中感受到平行四邊形面積大小的決定因素是一組垂直線段（底和高），為平行四邊形面積計算公式的揭示奠定基礎(chǔ)。這一測量活動有效突破了學(xué)生思維提升的難點，實現(xiàn)了從直接測量面積到間接測量面積的方法進階。（三）歸納總結(jié)，指向深遠談話：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們一起測量研究了平行四邊形的面積公式。通過這節(jié)課，你有什么收獲？（四）前后呼應(yīng)，結(jié)構(gòu)聯(lián)系回顧：回到課前的框架問題，面積究竟是變大了，還是變小了？為什么？思考：下壓形成的平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為怎樣的長方形？原來的長方形又是由怎樣的平行四邊形轉(zhuǎn)化來的？總結(jié)：圖形之間有著密切的聯(lián)系，我們要能夠在千絲萬縷的變化中抓住知識的本質(zhì)。【設(shè)計意圖】課開始時的問題到這里并沒有得到正面解決，學(xué)生仍然對“在長方形到平行四邊形的變化過程中，面積如何變化”這一問題存疑。經(jīng)過這節(jié)課的充分操作和深度思考，學(xué)生已經(jīng)能夠從理性的角度對這一問題進行精準(zhǔn)解答。這一設(shè)計既呼應(yīng)了前面遺留的學(xué)習(xí)疑惑，更深度完成了知識技能的轉(zhuǎn)化與提升，促進了學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的進一步優(yōu)化。（五）思維縱深，感悟一致性觀察：長方形面積=長×寬，正方形面積=邊長×邊長，平行四邊形面積=底×高。提問：仔細觀察圖形，你有哪些大膽的發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)：它們的面積大小都與兩條相互垂直的線段長度有關(guān)，面積計算的本質(zhì)都是求面積單位的個數(shù)。猜想：其他的平面圖形的面積是不是也可以找到類似的兩條互相垂直的線段，量出它們的長度并相乘得到呢？延伸：同學(xué)們的目光很敏銳，提出的猜想也很大膽和前瞻，就讓我們帶著新的問題和這節(jié)課的收獲，一起走出課堂，讓探究和思考延續(xù)?！驹O(shè)計意圖】“一致性”是這節(jié)課的重要內(nèi)容，學(xué)生在已知基礎(chǔ)上，經(jīng)過操作深化、理性思考，逐步感受到平面圖形面積的大小都與每排面積單位的個數(shù)和排數(shù)有關(guān)，體會面積概念內(nèi)涵的一致性。這一環(huán)節(jié)，重在讓學(xué)生能夠在足夠充分的學(xué)習(xí)歷程和學(xué)習(xí)收獲的基礎(chǔ)上，有理有據(jù)地關(guān)注到平面圖形面積大小的概念一致性和計算方法的相似性，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，也讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一致性和整體性。三、追尋“潛移默化”的結(jié)構(gòu)化教學(xué)新課標(biāo)背景下的教學(xué)需要注重一致性、結(jié)構(gòu)化的表達，以有效發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。但結(jié)構(gòu)化教學(xué)的呈現(xiàn)并不是空想出來的，也不是生硬呈現(xiàn)的，需要通過精心的設(shè)計、深度的建構(gòu)和精準(zhǔn)的評價進行滲透和呈現(xiàn)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)歷程中自然流暢地完成知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)的有效建構(gòu)，獲得素養(yǎng)的提升。（一）“明暗”相輔，教學(xué)設(shè)計注重全面性結(jié)構(gòu)化教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂上的體現(xiàn)并不僅僅是教學(xué)內(nèi)容方面的，還有更加高階的數(shù)學(xué)思想方法方面的。因此，在教學(xué)設(shè)計時，不僅要注重教學(xué)一致性“明線”的設(shè)計，還要注重其“暗線”的設(shè)計。例如，在本節(jié)課中，教學(xué)一致性的“明線”主要是指“所有的平面圖形面積的概念內(nèi)涵都是包含面積單位的多少”，所采用的研究方法都是“測量—優(yōu)化—推理”，快速完成“每排面積單位的個數(shù)×排數(shù)”的解答。這是明面上的數(shù)學(xué)內(nèi)容一致性的呈現(xiàn)，也是幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化知識的必然設(shè)計路徑。而這節(jié)課教學(xué)一致性的“暗線”則是指將“未知問題轉(zhuǎn)化為已知知識”的數(shù)學(xué)思想方法，這是引導(dǎo)學(xué)生深度體悟、充分感知數(shù)學(xué)核心思想的關(guān)鍵步驟。在設(shè)計中，明、暗兩條線索整體推進、相輔相成，幫助學(xué)生更加全面、完整地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。（二）活動建構(gòu)，教學(xué)實踐注重直觀化小學(xué)生處在從直觀思維過渡到抽象思維的關(guān)鍵時期，必要的直觀操作活動可以幫助學(xué)生更好地感知和體悟。在教學(xué)中，如果直接告知學(xué)生所有平面圖形的面積概念內(nèi)涵和測量方法，缺乏相應(yīng)的主動操作、對比感知、系統(tǒng)內(nèi)化，那么學(xué)生對于知識技能一致性的感悟就是無本之源，所形成的知識結(jié)構(gòu)也是碎片化和零散化的。因此，在教學(xué)中，兩次測量活動就十分重要。學(xué)生在測量活動中，圍繞活動主題和要求，主動探索、逐漸釋疑，直觀地感受到面積概念的內(nèi)涵，完成平行四邊形面積計算方法的提煉。另外，兩次測量活動是遞進升級的。學(xué)生在第一次全面展開測量的基礎(chǔ)上，積累相關(guān)活動經(jīng)驗，并在方法對比中感知測量方法的優(yōu)劣，從而在第二次活動中快速測量，進一步發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的關(guān)鍵要素，獲得最終結(jié)論。通過直觀的操作活動，學(xué)生在感受知識的一致性、完整建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)時，更有依據(jù)和學(xué)理。（三）系統(tǒng)測評，教學(xué)評價注重進階性教學(xué)評價是教學(xué)活動的重要環(huán)節(jié)，全面、精準(zhǔn)的教學(xué)評價可以有效監(jiān)測課堂教學(xué)效果，提升課堂教學(xué)效果。本節(jié)課中，測評的方式設(shè)計多元、形式多樣，既有課堂練習(xí)，也有主動發(fā)言，還有猜想衍生等，這些都有效評價了學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)效果和對關(guān)鍵本質(zhì)的內(nèi)化程度。例如，基礎(chǔ)的面積計算練習(xí)，可以體現(xiàn)學(xué)生對平行四邊形面積計算方法的應(yīng)用熟練程度；真實情境的實際問題，可以體現(xiàn)學(xué)生對知識本質(zhì)和研究歷程理解的內(nèi)化程度；課堂猜想，則是將學(xué)生對平面圖形面積知識一致性和研究結(jié)構(gòu)化的理解